对数与对数函数
知识梳理
1.对数的概念
(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:
(2)a的取值范围 .?
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)= ;?
②loga= ;?
③logaMn= (n∈R).?
(2)对数的性质:=N(a>0,且a≠1,N>0).
(3)对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
3.对数函数的图像与性质
函数
y=logax(a>0,且a≠1)
a>1
0
图像
性质
定义域: ?
值域:R
过定点 ?
当x>1时,y>0;
当0当x>1时,y<0;
当00
在(0,+∞)内
是 ?
在(0,+∞)内
是 ?
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数 (a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线 对称.?
1.对数的性质(a>0,且a≠1,b>0)
(1)loga1=0;
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)log2x2=2log2x.
( )
(2)函数y=log2x及y=lo3x都是对数函数.
( )
(3)当x>1时,若logax>logbx,则a( )
(4)函数f(x)=lg与g(x)=lg(x-2)-lg(x+2)是同一个函数.
( )
(5)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),.
( )
2.(2020陕西西安中学八模,理3)已知x·log32=1,则4x=( )
A.4
B.6
C.
D.9
3.(2020山东历城二中模拟四,3)已知a=lo,b=lo,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.bB.aC.cD.b4.若函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|05.(2020河北保定一模,理13)若2a=10,b=log510,则= .?
关键能力学案
考点
对数式的化简与求值
【例1】化简下列各式:
(1)lg+lg
70-lg
3-;
(2)log3·log5.
思考对数运算的一般思路是什么?
解题心得对数运算的一般思路
(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
对点训练1(1)(2020全国1,文8)设alog34=2,则4-a=( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山东泰安一模,5)已知定义在R上的函数f(x)的周期为4,当x∈[-2,2)时,f(x)=x-x-4,则f(-log36)+f(log354)=( )
A.
B.-log32
C.-
D.+log32
考点
对数函数的图像及其应用
【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的图像大致是( )
(2)已知当0变式发散将本例(2)中的“4x=logax有解”改为“4x解题心得应用对数型函数的图像可求解的问题:
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,也常利用数形结合思想;
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.
对点训练2(1)函数f(x)=loga|x|+1(0(2)函数y=|log2x|-x的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
考点
对数函数的性质及其应用
(多考向探究)
考向1 比较含对数的函数值的大小
【例3】(1)(2020全国3,文10)设a=log32,b=log53,c=,则( )
A.aB.aC.bD.c(2)(2020河北沧州一模,理9)已知a=log0.30.5,b=log30.5,c=log0.50.9,则( )
A.abB.a+bC.acD.ab解题心得比较含对数的函数值的大小,首先应确定对应函数的单调性,然后比较含对数的自变量的大小,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).
对点训练3(1)(2020山西太原二模,理3)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则( )
A.aB.aC.bD.c(2)(2020全国3,理12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.aB.bC.bD.c考向2 解含对数的函数不等式
【例4】(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若正实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是( )
A.[1,2]
B.0,
C.,2
D.(0,2]
(2)设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(0,1)
解题心得解简单对数不等式,先统一底数,化为形如logaf(x)>logag(x)(a>0,且a≠1)的不等式,再借助y=logax的单调性求解,当a>1时,logaf(x)>logag(x)?当0logag(x)?
对点训练4(1)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是 .?
(2)不等式log(x-3)(x-1)≥2的解集为 .?
考向3 对数型函数的综合问题
【例5】已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
解题心得有关对数型函数的综合问题要注意三点:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
对点训练5(1)(2020山东潍坊一模,7)已知定义在R上的偶函数f(x)=2|x-m|-1,记a=f(-ln
3),b=f(-log25),c=f(2m),则( )
A.aB.aC.cD.c(2)已知函数f(x)=loga(ax2-x+3)在[1,3]上递增,则a的取值范围是 .?
1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐标进行判定.
2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和03.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.
1.在运算性质logaMn=nlogaM中,要特别注意M>0的条件,当n∈N+,且n为偶数时,在无M>0的条件下应为logaMn=nloga|M|.
2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:
(1)定义域优先的原则.
(2)要有分类讨论的意识.
2.6 对数与对数函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.(1)指数 对数 幂 真数 底数
(2)a>0,且a≠1
2.(1)①logaM+logaN ②logaM-logaN ③nlogaM
3.(0,+∞) (1,0) 增函数 减函数
4.y=logax y=x
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.D ∵x·log32=1,∴x=log23,∴4x==9,故选D.
3.D a=lo>lo=1,b=lo4.A 函数y'=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y'|05.1 ∵2a=10,∴a=log210,又b=log510,∴=lg2+lg5=lg10=1.
关键能力·学案
例1解(1)原式=lg-
=lg10-
=1-|lg3-1|=lg3.
(2)原式=log3·log5[10-(]=(log3-1)·log5(10-3-2)
=·log55=-.
对点训练1(1)B (2)A (1)因为alog34=log34a=2,所以4a=32=9,所以4-a=.故选B.
(2)由题意,f(log354)=f(log354-4)=flog3,∵当x∈[-2,2)时,f(x)=x-x-4,且-log36∈[-2,2),log3∈[-2,2),∴f(-log36)+f(log354)=-(-log36)-4+-log3-4=+log36-log3-8=6++log39-8=.故选A.
例2(1)C (2)0, (1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;又函数y=2log4(1-x)在定义域内递减,排除D.故选C.
(2)
构造函数f(x)=4x和g(x)=logax.当a>1时不满足条件,当0变式发散,1 设函数f(x)=4x和g(x)=logax,可知当a>1时不满足条件,当0,所以a的取值范围为,1.
对点训练2(1)A (2)C (1)由于函数f(x)=loga|x|+1(00时,f(x)=loga|x|+1(0(2)函数y=|log2x|-x的零点个数即为方程|log2x|=x的实数根的个数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=|log2x|及y=x的图像(图像略),不难得出两个函数的图像有2个交点,故选C.
例3(1)A (2)D (1)∵a=log32=lo23=log98<1,∴a<.
∵b=log53=lo33=log2527>1,
∴b>.又c=,∴a(2)∵0=log0.31log30.50=log0.51∵=log0.50.3+log0.53=log0.50.9=c,即0<=c<1,
∴ab综上,ab对点训练3(1)B (2)A (1)∵log51log24=2,
∵0.51<0.50.2<0.50,
∴(2)∵a=log53=lo34=log12581<1,∴a<.
∵b=log85=lo54=log512625>1,∴b>.
∵55<84,∴b=log85=lo55<1,∴b<.
∵134<85,∴c=log138=lo85>1,∴c>.
综上,a例4(1)C (2)C (1)因为loa=-log2a,所以f(log2a)+f(loa)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2,故选C.
(2)由题意可得解得a>1或-1对点训练4(1)(-∞,-2)∪0, (2){x|4当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.
所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪0,.
(2)原不等式等价于解得4例5解(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),所以解得-1(2)f(x)为奇函数.证明如下:
由(1)知f(x)的定义域为{x|-1故f(x)为奇函数.
(3)因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1由f(x)>0,得>1,解得0对点训练5(1)C (2)0,∪(1,+∞)
(1)根据题意,有f(-x)=f(x),即2|x-m|-1=2|-x-m|-1,可得m=0,
则f(x)=2|x|-1=
则f(x)在(0,+∞)上递增,
a=f(-ln3)=f(ln3),b=f(log25),c=f(20)=f(1),
又0<1(2)令t=ax2-x+3,则原函数化为y=f(t)=logat.
当a>1时,f(t)为定义域上的增函数,所以要保证t=ax2-x+3在[1,3]上递增,
所以解得a>1.
当0故a的取值范围为0,∪(1,+∞). 指数与指数函数
知识梳理
1.根式
(1)根式的概念
xn=a?
(2)根式的性质
①()n=a(n∈N+).
②
2.实数指数幂
(1)分数指数幂的表示
①正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N+,n>1).
②正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N+,n>1).
③0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指数幂没有意义.?
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras= (a>0,r,s∈Q).?
②(ar)s= (a>0,r,s∈Q).?
③(ab)r= (a>0,b>0,r∈Q).?
(3)无理数指数幂
一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个 的实数.整数指数幂的运算性质 于实数指数幂.?
3.指数函数的图像和性质
函 数
y=ax(a>0,且a≠1)
0a>1
图 像
图像特征
在x轴 ,过定点 ?
当x逐渐增大时,图像逐渐下降
当x逐渐增大时,图像逐渐上升
续 表
性
质
定义域
?
值域
?
单调性
在R上是 ?
在R上是 ?
函数
值变
化规律
当x=0时, ?
当x<0时, ;?
当x>0时, ?
当x<0时, ;?
当x>0时, ?
1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像过三个定点:(1,a),(0,1),.
2.指数函数y=ax与y=bx的图像特征,在第一象限内,图像越高,底数越大;在第二象限内,图像越高,底数越小.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)=π-4.
( )
(2)与()n都等于a(n∈N+).
( )
(3)(-1=(-1.
( )
(4)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.( )
(5)若am>an,则m>n.
( )
2.(2020山东实验中学月考,3)已知m
A.m>n>0
B.0>m>n
C.n>m>0
D.0>n>m
3.(2020广东广州模拟,4)已知函数f(x)=x,则不等式f(a2-4)>f(3a)的解集为( )
A.(-4,1)
B.(-1,4)
C.(1,4)
D.(0,4)
4.(2020天津卷,6)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )
A.aB.bC.bD.c5.不等式<2-2x的解集是 .?
关键能力学案
考点
指数幂的化简与求值
【例1】(1)化简(x<0,y<0)的化简结果为( )
A.2x2y
B.2xy
C.4x2y
D.-2x2y
(2)= (a>0,b>0).?
解题心得指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数.
对点训练1化简下列各式:
(1)(a>0,b>0);
(2)-+(0.002-10(-2)-1+()0.
考点
指数函数的图像及其应用
(多考向探究)
考向1 指数函数型图像的判别
【例2】(2020安徽马鞍山二模,理7)已知函数f(x)=,则f(x)的图像大致为( )
解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,.
2.已知函数解析式判断其图像一般是依据函数的单调性、奇偶性,再结合一些特殊点,判断所给的图像是否符合,若不符合则排除.
对点训练2函数f(x)=1-e|x|的图像大致是( )
考向2 指数函数图像的应用
【例3】(1)若函数y=|3x-1|的图像与直线y=m有两个不同交点,则实数m的取值范围是 .?
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .?
变式发散1若本例(1)的条件变为:方程3|x|-1=m有两个不同实根,则实数m的取值范围是 .?
变式发散2若本例(1)的条件变为:函数y=|3x-1|+m的图像不经过第二象限,则实数m的取值范围是 .?
解题心得1.对于有关指数型函数图像的应用问题,一般是从最基本的指数函数的图像入手,通过平移、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.
对点训练3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)函数f(x)=ax-b的图像如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0
B.a>1,b>0
C.00
D.0(3)若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是 .?
考点
指数函数的性质及其应用
(多考向探究)
考向1 指数函数单调性的应用
【例4】(1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则( )
A.a>c>b
B.a>b>c
C.c>a>b
D.b>c>a
(2)若x0是方程x=的解,则x0属于区间( )
A.,1
B.
C.
D.0,
解题心得比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图像比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.
对点训练4(1)(2019全国1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( )
A.aB.aC.cD.b(2)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,1)
B.(-4,3)
C.(-3,4)
D.(-1,2)
考向2 解简单的指数方程或指数不等式
【例5】(1)不等式<2-2x的解集是 .?
(2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3)
B.(1,+∞)
C.(-3,1)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
解题心得解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性:
(1)af(x)=ag(x)?f(x)=g(x);
(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0对点训练5(1)已知函数f(x)=a+的图像过点1,-,若-≤f(x)≤0,则实数x的取值范围是 .?
(2)方程4x+|1-2x|=11的解为 .?
考向3 指数型函数与函数性质的综合
【例6】(1)函数f(x)=a+(a,b∈R)是奇函数,且图像经过点ln
3,,则函数f(x)的值域为( )
A.(-1,1)
B.(-2,2)
C.(-3,3)
D.(-4,4)
(2)若不等式1+2x+4x·a>0在x∈(-∞,1]时恒成立,则实数a的取值范围是 .?
解题心得指数函数的综合问题,主要涉及单调性、奇偶性、最值问题,应在有关性质的基础上,结合指数函数的性质进行解决,而指数函数性质的重点是单调性,注意利用单调性实现问题的转化.
对点训练6(1)函数y=的值域是( )
A.(-∞,4)
B.(0,+∞)
C.(0,4]
D.[4,+∞)
(2)函数y=x-x+1在x∈[-3,2]上的值域是 .?
1.比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值.
2.指数型函数、方程及不等式问题,可利用指数函数的图像、性质求解.
3.与指数型函数有关的恒成立问题:
(1)当a>1时,af(x)≥ag(x)恒成立?f(x)≥g(x)恒成立?f(x)-g(x)≥0恒成立?[f(x)-g(x)]min≥0.
(2)当0解决与指数函数有关的问题时,若底数不确定,应注意对a>1及02.5 指数与指数函数
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.(1)③0 (2)①ar+s ②ars ③arbr
(3)确定 同样适用
3.上方 (0,1) R (0,+∞) 减函数
增函数 y=1 y>1 01
考点自诊
1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.A 因为指数函数y=x在R上递减,所以由mn>0,故选A.
3.B 因为函数f(x)=x在R上递减,所以由不等式f(a2-4)>f(3a),得a2-4<3a,解得-14.D ∵b==30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.85.{x|x>3或x<-1} ∵<2-2x,∴.
∵y=在R上递减,
∴x2-3>2x,解得x>3或x<-1,
故答案为{x|x>3或x<-1}.
关键能力·学案
例1(1)D (2) (1)=(16x8y4=[24·(-x)8·(-y)4
=·(-x·(-y
=2(-x)2(-y)=-2x2y.
(2)原式=.
对点训练1解(1)原式==ab-1=.
(2)原式=-++1=-+50-10(+2)+1=+10-10-20+1=-.
例2A 函数的定义域为{x|x≠0},故排除B,由函数的解析式易得f(x)=-f(-x),则函数为奇函数,故排除C,D,故选A.
对点训练2A 由题知f(x)=1-e|x|是偶函数,图像关于y轴对称,故排除B,D,又e|x|≥1,则f(x)≤0,故排除C,故选A.
例3(1)(0,1) (2)[-1,1]
(1)如图,函数y=|3x-1|的图像是由函数y=3x的图像向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的,而直线y=m的图像是平行于x轴的一条直线.如图所示,由图像可得,如果曲线y=|3x-1|与直线y=m有两个公共点,则m的取值范围是(0,1).
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图像如图所示.
由图像可得,若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则-1≤b≤1.故b的取值范围是[-1,1].
变式发散1(0,+∞) 作出函数y=3|x|-1与y=m的图像如图所示,数形结合可得m的取值范围是(0,+∞).
变式发散2(-∞,-1] 作出函数y=|3x-1|+m的图像如图所示.
由图像知m≤-1,即m∈(-∞,-1].
对点训练3(1)A (2)D (3)0, (1)因为0(2)由图像知f(x)是减函数,所以00,所以b<0.故选D.
(3)①当0因为y=2a与y=|ax-1|的图像有两个交点,所以0<2a<1.所以0②当a>1时,y=|ax-1|的图像如下图,
而此时直线y=2a不可能与y=|ax-1|的图像有两个交点.
综上,a的取值范围是0,.
例4(1)B (2)C (1)因为y=0.3x是减函数,所以0.30.3>0.30.4,即c1,即a>b,则a>b>c,故选B.
(2)设f(x)=x-,f(0)=1>0,f=-,由幂函数y=递增,得f=->0;f=-,由指数函数y=x递减,得f=-<0.所以对点训练4(1)B (2)D (1)因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1,又0(2)∵(m2-m)·4x-2x<0在区间(-∞,-1]上恒成立,∴m2-m<在区间(-∞,-1]上恒成立.∵y=在(-∞,-1]上递减,∴当x∈(-∞,-1]时,y=≥2,∴m2-m<2,解得-1例5(1){x|x>3,或x<-1} (2)C
(1)∵<2-2x,
∴<2x.
∵y=x在R上递减,
∴x2-3>2x,
解得x>3或x<-1,故不等式解集为{x|x>3,或x<-1}.
(2)当a<0时,不等式f(a)<1可化为a-7<1,则a<8,即a<-3,因为y=x在定义域内是减函数,所以a>-3,则-3对点训练5(1)0, (2)x=log23 (1)∵f(x)=a+的图像过点1,-,∴a+=-,解得a=-,即f(x)=-.
∵-≤f(x)≤0,
∴-≤0,
∴,
∴2≤4x+1≤3,
即1≤4x≤2,∴0≤x≤.
(2)当x≥0时,原方程化为4x+2x-12=0,即(2x)2+2x-12=(2x-3)(2x+4)=0,解得2x=3,或2x=-4(舍).∴x=log23.
当x<0时,原方程化为4x-2x-10=0.令t=2x,则t2-t-10=0(0由求根公式得t=均不符合题意,故x<0时,方程无解.
例6(1)A (2)-,+∞ (1)函数f(x)为奇函数,定义域是R,则f(0)=a+=0,又函数图像过点ln3,,则f(ln3)=a+.结合两式可得a=1,b=-2,则f(x)=1-.因为ex>0,所以ex+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,即函数f(x)的值域为(-1,1).故选A.
(2)从已知不等式中分离出实数a,得a>-x+x.因为函数y=x和y=x在R上都是减函数,所以当x∈(-∞,1]时,x≥,x≥,所以x+x≥,从而得-x+x≤-.故实数a的取值范围为-,+∞.
对点训练6(1)C (2),57 (1)设t=x2+2x-1,则y=t,且y=t为关于t的减函数.因为t=(x+1)2-2≥-2,所以0(2)因为x∈[-3,2],若令t=x,则t∈,8.
则y=t2-t+1=t-2+.
当t=时,ymin=;
当t=8时,ymax=57.
所以函数y的值域为,57.