平面向量基本定理及向量的坐标表示
知识梳理
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a= .其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .把一个向量分解为两个 的向量,叫作把向量正交分解.?
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作=a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得=xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对 叫作向量a的坐标,记作a= .?
3.平面向量的坐标运算
运算
坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2))
和
a+b=(x1+x2,y1+y2)
差
a-b=(x1-x2,y1-y2)
数乘
λa=(λx1,λy1),其中λ∈R
设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b? .?
5.向量的夹角
已知两个 向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作 .?
1.若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0.
2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为.
3.已知△ABC的重心为G,若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.
( )
(2)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.
( )
(3)在△ABC中,向量的夹角为∠ABC.
( )
(4)已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.
( )
(5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是.
( )
2.(2020安徽皖豫名校联考,理3)已知向量m=(2,λ),n=(-1,3),若(2m+n)∥(m-n),则实数λ的值为( )
A.6
B.3
C.-3
D.-6
3.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
A.
B.2
C.5
D.50
4.已知向量a=(1,-2),同时满足条件①a∥b,②|a+b|<|a|的一个向量b的坐标为 .?
5.(2020北京海淀区调研)在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且.延长AD交BC于点E,若=λ+μ,则λ-μ的值是 .?
关键能力学案
考点
平面向量基本定理的应用
【例1】(1)(2020河南郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=( )
A.
B.
C.-
D.-
(2)(2020山东聊城一中高三模考)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设=a,=b,则下列结论不正确的是
( )
A.a+b
B.=-a+b
C.=-a+b
D.=-a+b
思考用平面向量基本定理解决问题的一般思路是什么?
解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
对点训练1(1)直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2=3=λ-μ(λ,μ∈R),则μ-λ=( )
A.-
B.1
C.
D.-3
(2)(2020湖南湘潭三模,文8)已知向量a,b是两个不共线的向量,且=3a+5b,=4a+7b,=a+mb,若A,B,C三点共线,则m=( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
(3)设e1,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2= .?
考点
平面向量的坐标运算
【例2】(1)(2020河南高三质检,8)在边长为2的正方形ABCD中,E为CD的中点,AE交BD于点F.若=x+3y,则x+y=( )
A.1
B.
C.-
D.-
(2)已知M(3,-2),N(-5,-1),且,则点P的坐标为( )
A.(-8,1)
B.-1,-
C.1,
D.(8,-1)
(3)(2020湖南常德一模,文4)平面向量a与b的夹角为120°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( )
A.4
B.3
C.2
D.
思考利用向量的坐标运算解决问题的一般思路是什么?
解题心得1.向量问题坐标化
向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.
2.巧借方程思想求坐标
向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.
3.妙用待定系数法求系数
利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.
对点训练2(1)已知点A(1,-2),若向量与向量a=(2,3)同向,且||=,则点B的坐标为( )
A.(2,3)
B.(-2,3)
C.(3,1)
D.(3,-1)
(2)(2020安徽合肥一中模拟,10)如图,矩形LMNK,LM=6,sin
∠MLN=,☉E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+μ,则λ+μ的最小值是( )
A.1
B.
C.
D.5
(3)(2020山东济宁5月模拟,13)已知向量a=(-4,6),b=(2,x),满足a∥b,其中x∈R,那么|b|= .?
考点
平面向量共线的坐标表示
(多考向探究)
类型1 利用向量共线求向量或点的坐标
【例3】已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为 .?
类型2 利用向量共线求参数
【例4】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则= .?
解题心得平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略
(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.
对点训练3(1)设向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
(2)(2020北京东城一模,11)已知向量a=(m,1),b=(1,-2),c=(2,3),若a-b与c共线,则实数m= .?
1.只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可以用这个平面的一组基底e1,e2线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的.
2.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解.
3.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示,其中坐标运算法则是运算的关键,通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理,从而用向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题.
4.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用.
5.向量中必须掌握的三个结论
(1)若a与b不共线,λa+μb=0,则λ=μ=0;
(2)已知=λ+μ(λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1;
(3)平面向量的基底中一定不含零向量.
1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标,当向量的起点是原点时,其终点坐标就是向量坐标.
2.若a,b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.
5.2 平面向量基本定理及
向量的坐标表示
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.不共线 λ1e1+λ2e2 基底 互相垂直
2.(x,y) (x,y)
4.x1y2-x2y1=0
5.非零 a⊥b
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2.D 依题意,2m+n=(3,2λ+3),m-n=(3,λ-3).因为(2m+n)∥(m-n),所以λ-3=2λ+3,解得λ=-6.
3.A 由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=,故选A.
4.(-1,2)(答案不唯一) ∵a∥b,∴b=λa(λ∈R),|a+b|<|a|?|a+λa|<|a|?|a(1+λ)|<|a|?|1+λ|<1.∴-2<λ<0,不妨取λ=-1,∴向量b的坐标为(-1,2).
5.- 设=x,∵,∴.
∵E,B,C三点共线,∴=1,x=.根据平面向量基本定理,得λ=,μ=.因此λ-μ==-=-.
关键能力·学案
例1
(1)C (2)C (1)如图,取AB的中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,所以,所以=,于是-=-,故选C.
(2)对于A,a+b,故A正确;对于B,=-=-a+b,故B正确;对于C,=-=-a+b,故C错误;对于D,=-=-a+b,故D正确.故选C.
对点训练1(1)A (2)A (3)a-b
(1)=λ-μ=λ-μ()=(λ-μ)-μ=2(λ-μ)-3μ.因为E,M,F三点共线,所以2(λ-μ)+(-3μ)=1,即2λ-5μ=1,所以μ-λ=-.
(2)由A,B,C三点共线,得=x+(1-x)=(4-x)a+(7-2x)b,故解得m=1.
(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.
因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,
所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得所以
即e1+e2=a-b.
例2(1)B (2)B (3)C
(1)
(方法1)建立以A为原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴的平面直角坐标系,则=(2,0),=(0,2),x+3y=(2x,6y).根据题意,得=(1,2),则=,所以2x=,6y=,则x=,y=,x+y=.故选B.
(方法2)根据题意,得,所以DF=FB,所以DF=DB,所以)=,又因为=x+3y,所以解得所以x+y=,故选B.
(2)设P(x,y),则=(x-3,y+2),而×(-8,1)=-4,,所以解得所以点P的坐标为-1,-.
(3)由题目条件,两向量如图所示:
可知b=-,则|a+2b|=2,故选C.
对点训练2(1)C (2)B (3)
(1)设=(x,y),则=ka(k>0),即
由||=得k=1,故=(1,-2)+(2,3)=(3,1).故选C.
(2)由已知建系如图,由LM=6,sin∠MLN=,解得MN=,
则M3,-,N(3,0),L-3,-,设P(cosθ,sinθ),
因为=λ+μ=cosθ-3,sinθ+,=(-6,0),=0,.
所以=cosθ-3,sinθ+=λ(-6,0)+μ0,,
即解得
所以λ+μ=sinθ-cosθ=sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,
λ+μ的最小值是.故选B.
(3)因为a∥b,所以-4x-2×6=0,解得x=-3,因此|b|=.
例3(3,3) (方法1)由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),则=(4λ-4,4λ).又因为=(-2,6),由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
(方法2)设点P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且共线,所以,即x=y.
又因为=(x-4,y),=(-2,6),且共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
例4- 因为,所以a与b不共线.a-3b=(2,3)-3(-1,2)=(5,-3)≠0,那么当ma+nb与a-3b共线时,有,即得=-.
对点训练3(1)A (2)3 (1)由题意易知,,其中=(2m-1,1),=(-2n-1,2),
所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),得+2n=1.
+2n≥2,当且仅当m+1=n时,等号成立.所以,即m+n≤-3.故m+n的最大值为-3,故选A.
(2)由题意,得a-b=(m-1,3),因为a-b与c共线,所以3(m-1)=2×3,解得m=3. 平面向量的数量积与平面向量的应用
知识梳理
1.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积,记作a·b
续 表
投影
|a|cos
θ叫作向量a在b方向上的投影,|b|cos
θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
2.向量数量积的运算律
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
数乘结
合律
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数)
3.平面向量数量积的性质及坐标表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.
向量的有
关概念
几何表示
坐标表示
模
|a|=
|a|=
数量积
|a||b|cos
θ
x1x2+y1y2
夹角
cos
θ=
cos
θ=
A(x1,y1),
B(x2,y2)
两点的距离
|AB|=||
|AB|=
a⊥b的充
要条件
a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|与
|a||b|的关系
|a·b|≤
|a||b|
|x1x2+y1y2|≤
4.向量在平面几何中的应用
(1)要证AB=CD,可转化为证明或||=||.
(2)要证两线段AB,CD平行,只要证存在唯一实数λ≠0,使等式=λ成立即可.
(3)要证两线段AB,CD垂直,只需证=0.
(4)求夹角问题,利用夹角公式cos
θ=.
1.平面向量数量积运算的常用公式:
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
2.当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
3.a与b的夹角θ为锐角,则有a·b>0,反之不成立(θ为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(θ为π时不成立).
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)一个非零向量在另一个非零向量方向上的投影为数量,且有正有负.
( )
(2)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.
( )
(3)若a·b=0,则必有a⊥b.
( )
(4)(a·b)·c=a·(b·c).
( )
(5)在△ABC中,若<0,则△ABC为钝角三角形.
( )
2.(2020全国3,理6)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos
=( )
A.-
B.-
C.
D.
3.(2019全国2,理3)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
4.(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m= .?
5.(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45°,ka-b与a垂直,则k= .?
关键能力学案
考点
平面向量数量积的运算
【例1】(1)(2020新高考全国1,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是
( )
A.(-2,6)
B.(-6,2)
C.(-2,4)
D.(-4,6)
(2)(2020北京,13)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足),则||= ;= .?
思考求向量数量积的运算有几种形式?
解题心得1.求两个向量的数量积有三种方法:
(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(其中θ是向量a与b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用数量积的几何意义.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加减运算或数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.
对点训练1(1)(2020北京朝阳期中,7)在△ABC中,AB=4,AC=3,且||=||,则=( )
A.-12
B.-9
C.9
D.12
(2)(2020北京海淀期中,14)在边长为2的正三角形ABC中,M是BC的中点,D是线段AM的中点.①若=x+y,则x+y= ;②= .?
考点
平面向量的模及应用
【例2】(1)(2020陕西二模,文3)已知向量a=(1,-1),b=(x,2),且a⊥b,则|a+b|的值为( )
A.
B.
C.2
D.
(2)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .?
思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?
解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.
2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.
对点训练2(1)(2020湖南衡阳高三一模,文5)若|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则|a-b|=( )
A.2
B.2
C.0
D.
(2)已知向量满足||=||=2,点C在线段AB上,且||的最小值为,则|t|(t∈R)的最小值为( )
A.
B.
C.
D.2
考点
平面向量数量积的应用
(多考向探究)
考向1 求平面向量的夹角
【例3】(1)(2019全国1,理7)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2020山西太原三模,文8)已知向量e1,e2是夹角为的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
思考两向量数量积的正负与两向量的夹角有怎样的关系?
考向2 求参数的值或范围
【例4】(2020河北5月模拟,理9)已知=(1,0),=(-2,2).若(λ+μ)⊥且|μ|=,则λ+μ的值为( )
A.4
B.±4
C.6
D.±6
思考两向量的垂直与其数量积有何关系?
考向3 在三角函数中的应用
【例5】(2020河南高三质检,17)已知向量a=(2sin
x,-sin
2x),b=(-2sin
x,2),函数f(x)=a·b+2+1.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的递减区间.
思考利用向量求解三角函数问题的一般思路是什么?
考向4 在解析几何中的应用
【例6】(2020全国3,文6)在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
思考在向量与解析几何相结合的题目中,向量起到怎样的作用?
解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.
2.若a,b为非零向量,cosθ=(夹角公式),则a⊥b?a·b=0.
3.求一向量在另一向量上的投影有两种方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的数量积求.
4.解决与向量有关的三角函数问题的一般思路是应用转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.
5.向量在解析几何中的作用
(1)载体作用:解决向量在解析几何中的问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用数量积与共线定理可解决垂直、平行问题.特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
对点训练3(1)(2020湖南长郡中学联考)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为 .?
(2)(2020山东模考卷,3)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=( )
A.3
B.2
C.-2
D.-3
(3)(2020福建师大附中段考,10)设圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则的取值范围是( )
A.-8,
B.-16,
C.[-8,1]
D.[-16,1]
(4)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos
B,-sin
B),且m·n=-.
①求sin
A的值;
②若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.
1.平面向量的坐标表示与向量表示的比较:
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a与b的夹角.
有关概念向量表示坐标表示向量a的模|a|==|a|=a与b的数量积a·b=|a||b|cosθa·b=x1x2+y1y2a与b共线的
充要条件a∥b(b≠0)?a=λba∥b?x1y2-x2y1=0非零向量a,b垂直
的充要条件a⊥b?a·b=0a⊥b?x1x2+y1y2=0向量a与b的夹角cosθ=cosθ=
2.计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.
4.向量在三角函数中的应用
对于向量与三角函数结合的题目,其解题思路是用向量运算进行转化,化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形等问题.
5.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用,主要是以向量的数量积给出一种条件,通过向量转化,进而利用直线和圆锥曲线的位置关系等相关知识来解答.
6.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解、合成与向量的加减法相似,因此可以用向量的知识来解决某些物理问题;物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).
1.根据两个非零向量夹角为锐角或钝角与数量积的正、负进行转化时,不要遗漏向量共线的情况.
2.|a·b|≤|a||b|当且仅当a∥b时等号成立.
3.注意向量夹角和三角形内角的关系.
1.平面向量与三角形的“重心”问题
【例1】已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],λ∈R,则点P的轨迹一定经过( )
A.△ABC的内心
B.△ABC的垂心
C.△ABC的重心
D.AB边的中点
答案C
解析取AB的中点D,则2,
因为[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],
所以[2(1-λ)+(1+2λ)]=,又因为=1,
所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
2.平面向量与三角形的“垂心”问题
【例2】已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
答案B
解析因为+λ,所以=λ.
所以·λ=λ=λ(-||+||)=0.
所以,则点P在边BC的高线上.故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
3.平面向量与三角形的“内心”问题
【例3】在△ABC中,AB=5,AC=6,cos
A=,O是△ABC的内心,若=x+y,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( )
A.
B.
C.4
D.6
答案B
解析根据向量加法的平行四边形法则可知,动点P的轨迹是以OB,OC为邻边的平行四边形及其内部,其面积为△BOC的面积的2倍.
在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a=7.
设△ABC的内切圆的半径为r,则bcsinA=(a+b+c)r,解得r=,
所以S△BOC=×a×r=×7×.
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC=.
4.平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】已知在△ABC中,AB=1,BC=,AC=2,点O为△ABC的外心,若=x+y,则有序实数对(x,y)为( )
A.
B.
C.-
D.-
答案A
解析取AB的中点M和AC的中点N,连接OM,ON,则-(x+y)=-x-y-(x+y)=-y-x,
由,得-x-y=0,
①
由,得-y-x=0.
②
又因为=()2=-2,所以=-,
③
把③代入①,②得解得故实数对(x,y)为.
5.3 平面向量的数量积与
平面向量的应用
必备知识·预案自诊
考点自诊
1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
2.D ∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos=.
3.C 由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
4.5 由a⊥b,可得a·b=1×(m+1)+(-1)×(2m-4)=0,解得m=5.
5. 由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=.∵ka-b与a垂直,∴(ka-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=.
关键能力·学案
例1
(1)A (2) -1
(1)如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),∴=2x+0×y=2x.
∵-1(2)
以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(2,1),则点P(2,1),∴=(-2,1),=(0,-1),
因此,||==0×(-2)+1×(-1)=-1.
对点训练1(1)B (2) 1 (1)因为||=||,所以以AB,AC为邻边组成的四边形的对角线相等,所以该四边形为矩形.
故=()·(-)=-=-9+||||cosA=-9+0=-9.
(2)如下图,)==,所以x=,y=,x+y=.
=·×2×2×cos60°+×4==1.
例2(1)D (2)5 (1)由a⊥b,得a·b=x-2=0,解得x=2.所以a+b=(3,1),所以|a+b|=.故选D.
(2)建立平面直角坐标系如图所示,则A(2,0),
设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
所以|+3|=(0≤y≤b),所以当y=b时,|+3|取得最小值5.
对点训练2(1)D (2)D (1)∵|a|=,|b|=2,(a-b)⊥a,
∴(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2,
∴|a-b|=.故选D.
(2)由于||=||=2,说明O点在AB的垂直平分线上.当C是AB的中点时,||取最小值,最小值为,此时的夹角为45°,的夹角为45°,
∴的夹角为90°,∴|t|2=+t2-2t=4t2+4(t∈R),当t=0时,4t2+4的最小值是4,
即|t|的最小值是2.故选D.
例3(1)B (2)C (1)因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,
则cosθ=,
所以a与b的夹角为,故选B.
(2)根据条件,∵|e1|=|e2|=1,e1·e2=,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6++2=-,a2=4+4e1·e2+=7,
b2=9-12e1·e2+4=7.
∴cos==-,∴a与b的夹角为.
例4B 因为=(1,0),=(-2,2),所以=(-1,2),由|μ|=,得|μ|=,所以|μ|=.因为(λ+μ)⊥,所以(λ+μ)·=0,即λ+μ=0,即-2λ+6μ=0,所以λ=3μ,所以λ+μ=4μ=±4.故选B.
例5解(1)因为a=(2sinx,-sin2x),b=(-2sinx,2),所以a·b=-4sin2x-2sin2x=-4-2sin2x=2cos2x-2sin2x-2.所以f(x)=2cos2x-2sin2x+1=4cos2x++1,故函数f(x)的最小正周期是T==π.
(2)由f(x)=4cos2x++1,得2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).
例6A 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.
设A(-a,0),则B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.
对点训练3(1) (2)A (3)C (1)由|a+b|=|a-b|,得a⊥b,则a·b=0,
将|a+b|=|a|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2,所以b2=a2.
设a+b与a-b的夹角为θ,所以cosθ=.又因为θ∈[0,π],所以θ=.
(2)因为a=(1,1),b=(-1,3),所以a-λb=(1+λ,1-3λ).又因为(a-λb)⊥c,c=(2,1),所以2(1+λ)+(1-3λ)=0,即2+2λ+1-3λ=0,解得λ=3.
(3)
圆M,圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点P,点A,B分别是圆M,圆N上的两动点,则=
||||cos∠APB,当三点A,P,B共线,两个向量方向相反时,数量积取得最小值为2×4×(-1)=-8.当∠BPN=60°,∠APB=60°时,
=||||cos∠APB=1×2×=1.则的取值范围是[-8,1].
(4)解①由m·n=-,
得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-,所以cosA=-.
因为0所以sinA=.
②由正弦定理得,
则sinB=,
因为a>b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=.
由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×-,解得c=1,c=-7(舍去),
故向量方向上的投影为
||cosB=ccosB=1×.