2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高一年级上学期期中考试数学试卷
时间：90分钟，满分100分
一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分，请将每题的结果填写到答题纸上相应的位置）
1.已知集合，用列举法表示集合
2.不等式的解集为
3.设集合，集合，若，则
4.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是
5.关于的方程两个根同号，则的取值范围是
6.集合有且仅有两个子集，则=
7.已知，则取得最小值时的值是
8.已知，，试用、表示
9.若正数满足，则的最小值为
10.对任意的实数，若不等式恒成立，则的取值范围是
11.已知正数满足，则的最小值为_________.
12.定义实数运算则，则实数的取值范围___________.
二．选择题（本大题满分16分，每小题4分）
13．关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围为(
).
【A】
【B】
【C】
【D】
14.若，则下列结论不正确的是
【A】
【B】
【C】
【D】
15.下列结论中正确的个数有(
)
(1)幂函数的图像一定过原点；
(2)当时，幂函数在其定义域上是严格减函数；
(3)当时，幂函数在其定义域上是严格增函数；
（4）函数既是二次函数，又是幂函数.
【A】0
【B】1
【C】2
【D】3
16.当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题；
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则;
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是（
）
【A】①
【B】②【C】③【D】④
三、解答题（本大题满分42分，其中第17题每题8分，第18，19每题10分，第20题14分）
(本题满分8分)
画出幂函数的大致图像.
18.(本题满分10分，第(1)题4分，第(2)题6分)
已知关于的不等式：.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若不等式的解集为,求实数的取值范围.
19.(本题满分10分)
求证：若，且可被5整除，则中至少有一个能被5整除.
20.(本题满分14分，第(1)题4分，第(2)题4分，第(3)题6分)
已知.
(1)试比较与的大小；
(2)当时，证明：，并指出等号成立的条件；
(3)判断“”是“”的什么条件？并名理由.2020-2021学年上海市嘉定区第一中学高一年级上学期期中考试数学试卷
时间：90分钟，满分100分
一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分，请将每题的结果填写到答题纸上相应的位置）
1.已知集合，用列举法表示集合
【答案】
【解析】
2.不等式的解集为
【答案】
【解析】
当时，恒成立；
当时，或，解得或
综上所述，
3.设集合，集合，若，则
【答案】
【解析】
4.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】
5.关于的方程两个根同号，则的取值范围是
【答案】
【解析】
6.集合有且仅有两个子集，则=
【答案】
或
【解析】集合有且仅有两个子集
方程只有一个根，
当时，，成立
当时，即，方程只有一个根，
或
7.已知，则取得最小值时的值是
【答案】
【解析】
当且仅当即时取得最小值
8.已知，，试用、表示
【答案】
【解析】，
9.若正数满足，则的最小值为
【答案】
【解析】正数满足
则
当且仅当时“=”成立.
10.对任意的实数，若不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】
【解析】时，则
时，则
时，则
综上所述，
11.已知正数满足，则的最小值为_________.
【答案】1
【解析】
当且仅当时取等号.
12.定义实数运算则，则实数的取值范围___________.
【答案】
【解析】由题可得，解得可得范围
二．选择题（本大题满分16分，每小题4分）
13．关于的不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围为(
).
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】B
【解析】可取特殊值，当时，符合，排除AD，当时，不符号，所以排除C选B.
14.若，则下列结论不正确的是
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】
C
【解析】因为同号，所以C应该为.
15.下列结论中正确的个数有(
)
(1)幂函数的图像一定过原点；
(2)当时，幂函数在其定义域上是严格减函数；
(3)当时，幂函数在其定义域上是严格增函数；
（4）函数既是二次函数，又是幂函数.
【A】0
【B】1
【C】2
【D】3
【答案】
A
【解析】对于幂函数而言不过原点，且在上为减函数，所以（1）跟（2）错。而对于幂函数，在是增函数，所以（3）错由幂函数定义可知系数为1，（4）错。所以选A.
16.当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题；
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则;
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是（
）
【A】①
【B】②【C】③【D】④
【答案】
③
【解析】选择题，可取值，，③不对。
三、解答题（本大题满分42分，其中第17题每题8分，第18，19每题10分，第20题14分）
(本题满分8分)
画出幂函数的大致图像.
解：因为是幂函数，所以，；
所以.
18.(本题满分10分，第(1)题4分，第(2)题6分)
已知关于的不等式：.
(1)若不等式的解集为，求的值；
(2)若不等式的解集为,求实数的取值范围.
解：(1)由韦达定理得，所以.
(2)由题意得：；解得.
19.(本题满分10分)
求证：若，且可被5整除，则中至少有一个能被5整除.
证：用反证法证，若都不是5的倍数，
令
所以
因为不是以0或5结尾的数，不能被5整除，
所以若，且可被5整除，则中至少有一个能被5整除。
20.(本题满分14分，第(1)题4分，第(2)题4分，第(3)题6分)
已知.
(1)试比较与的大小；
(2)当时，证明：，并指出等号成立的条件；
(3)判断“”是“”的什么条件？并名理由.
解：(1)-()=
因为，所以；大于；
(2)因为，所以=，当;时等号成立，因为所以.所以，当且仅当.
(3)因为，所以，时等号成立；，时等号成立.
因为，所以，，把，带入式中，等号成立，所以“”是“”充分条件；化简得，所以，把带入后得.所以“”是“”充分非必要条件.
