2020-2021学年人教版数学八年级下册 正方形的判定 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
正方形的判定
复习引入
问题1
什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：四条边都相等，四个角都是直角的四边形.
正方形性质：①四个角都是直角；
②四条边都相等；
③对角线相等且互相垂直平分.
A
B
C
D
O
复习引入
思考
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是正方形？
问题2
你是如何判断矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
正方形的判定
新知讲解
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想
满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
新知讲解
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴
AO=CO=BO=DO
，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB，
∴
AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
新知讲解
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.
量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想
满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
新知讲解
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵AC=DB，
∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
新知讲解
正方形判定方法：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角
一组邻边相等
对角线相等
对角线互相垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
新知讲解
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形．
对角线垂直的矩形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
对角线垂直且相等的平行四边形是正方形．
……
D
C
B
A
O
正方形判定方法：
1．下列命题正确的是（
）
A．四个角都相等的四边形是正方形
B．四条边都相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
D
跟踪练习
2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（
）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
C
A
B
C
D
O
跟踪练习
新知应用
例1
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
【分析】由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
新知应用
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN，
∠A=∠B=∠C=∠D，
AN=BE=CF=DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF，
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
【变式】如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
新知演练
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠ABO=∠BCO
=45°，
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH，∴∠BOE+∠BOH=90°，
∴∠COH=∠BOE，
∴△CHO
≌△BEO，∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG，
∴OE=OF=OG=OH.
又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO
，即EG=HF，
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
D
O
E
H
G
F
新知应用
例2
如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB.
求证：四边形CEDF为正方形.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB
，
∴∠DEC=
∠DFC=90°.
又∵∠C=90
°，
∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
A
B
C
D
E
F
G
例3
如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
新知应用
证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB
，∠DAE＝∠BAF
，AE＝AF
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
新知应用
解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=
AC，
∵AF=AE，∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
例4
□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
新知应用
证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB
，∠DAE＝∠BAF
，AE＝AF
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
E
C
D
B
A
O
?
例4
□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
新知应用
证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB
，∠DAE＝∠BAF
，AE＝AF
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
E
C
D
B
A
O
?
新知演练
【变式】如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
新知演练
思考
前面学菱形时我们探究了顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.
顺次连接矩形各边中点能得到菱形，那么顺次连接正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
矩形
正方形
任意四边形
平行四边形
菱形
正方形
E
F
G
H
E
F
G
H
E
F
G
H
新知讲解
新知讲解
一般的，顺次连接一个四边形的各边中点，所组成的四边形称为原四边形的中点四边形．
中点四边形的形状是由原四边形对角线的特征决定的；
正方形的中点四边形是正方形．
四边形的中点四边形是平行四边形；
的四边形的中点四边形是矩形；
的四边形的中点四边形是菱形；
的四边形的中点四边形是正方形．
跟踪练习
任意
对角线相等
对角线垂直
对角线垂直且相等
1．如图，在四边形ABCD中，
AB=BC
，对角线BD平分?ABC
，
P是BD上一点，过点P作PM?AD
，
PN?CD
，垂足分别为M、N.
（1）求证：?ADB=?CDB；
拓展练习
C
A
B
D
P
M
N
证明：∵AB
=
BC，BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD
(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
证明：∵∠ADC=90°，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM，DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
1．如图，在四边形ABCD中，
AB=BC
，对角线BD平分?ABC
，
P是BD上一点，过点P作PM?AD
，
PN?CD
，垂足分别为M、N.
（2）若?ADC=90?，求证：四边形MPND是正方形.
拓展练习
C
A
B
D
P
M
N
拓展练习
2．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，则四边形EFGH是
；
（2）如图2，当四边形ABCD为矩形时，判断四边形EFGH的形状；
正方形
图1
图2
正方形
拓展练习
2．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（3）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，求证：四边形EFGH是正方形．
证明：设∠ADC=α
，
在□ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD=180?－∠ADC=180?－α，
∵△HAD和△EAB都是等腰直角三角形，
∴∠HAD=∠EAB=45°，
∴∠HAE=360?－∠HAD－∠EAB－∠BAD
=360?－45?－45?－（180?－a）＝90?＋α．
图3
拓展练习
2．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（3）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，求证：四边形EFGH是正方形．
证明：∵△AEB和△DGC都是等腰直角三角形，
在□ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，
∵△HAD和△GDC都是等腰直角三角形，
∴∠DHA=∠CDG=
45°，
∴∠HDG=∠HAD＋∠ADC＋∠CDG
＝90°＋a=∠HAE．
∵△HAD是等腰直角三角形，HA=HD，
∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．
图3
拓展练习
2．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH．
（3）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，求证：四边形EFGH是正方形．
证明：同理可得：GH=GF，FG=FE，
∵HE=HG（已证），∴GH=GF=FG=FE，
∴四边形EFGH是菱形；
∵△HAE≌△HDG（已证），∴∠DHG=∠AHE，
又∵∠AHD=∠AHG＋∠DHG=90°，
∴∠EHG=∠AHG＋∠AHE＝90°，
∴四边形EFGH是正方形．
图3
课堂总结
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结