7.2 复数的四则运算（精讲）（解析版）

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7.2
复数的四则运算（精讲）
考法一
复数的加减运算及集合意义
【例1-1】（2020·全国高一课时练习）计算：（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）
【解析】（1）原式.
（2）原式.
（3）原式.
【例1-2】（2020·全国高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，，，其中i为虚数单位.
(1)求对应的复数.
(2)求对应的复数；
(3)求对应的复数.
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】(1)因为，所以表示的复数为.
(2)因为，所以表示的复数为.
(3)，所以对应的复数为.
【一隅三反】
1．（2020·东台市创新学校高二月考）复数（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为，故选：B
2．（2020·苏州新草桥中学高二期中）等于（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】.故选：B
3．（2020·全国高一课时练习）设i为虚数单位，复数，，则在复平面内对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】，在复平面内对应的点为，在第三象限.
故选：C.
4．（2020·全国高一课时练习）复数等于（
）
A．
B．
C．i
D．-i
【答案】A
【解析】故选：A.
考法二
复数的乘除运算
【例2】（1）（2020·济南市·山东师范大学附中高一月考）设，，则在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
（2）（2021·贵州贵阳市·）若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1），
在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限，故选：C
（2）由得，故.故选：A.
【一隅三反】
1．（2020·北京海淀区·人大附中高三期中）设为虚数单位，则的虚部为______．
【答案】
【解析】
故答案为：
2．（2020·全国）在复平面内，复数对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】，则在复平面内对应的点为，在第一象限，
故选：A.
3．（2020·全国）复数（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据复数的运算法则，可得.故选：B.
4．（2020·全国）计算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）根据复数的运算法则，可得
；
（2）根据复数的运算法则，可得；
（3）根据复数的运算法则，可得
.
考法三
复数范围内解方程
【例3】（2020·辽宁高一期末）若虚数是关于的方程(，)的一个根，则（
）
A．29
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】由题意可得，，所以，
故，，则.故选：B.
【一隅三反】
1．（2020·重庆北碚区）已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（
）
A．4
B．2
C．0
D．
【答案】C
【解析】因为复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，
所以也是方程的一个根，
故，即，
所以，
故选：C
2．（2021·上海杨浦区·复旦附中）设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为______.
【答案】
【解析】设，(，且)
则原方程变为.
所以，①且，②；
（1）若，则解得，当时①无实数解，舍去；
从而，此时或3，故满足条件；
（2）若，由②知，或，显然不满足，故，代入①得，，
所以.
综上满足条件的所以复数的和为.
故答案为：
3．（2020·全国）关于的方程有实根，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】设是其实根，代入原方程变形为，
由复数相等的定义，得，解得.
4．（2020·全国高一课时练习）已知关于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为的虚根，求实数k的值．
【答案】1
【解析】由题意，得或，
设两根为、，则，
，得，
．
所以．
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