7.3 复数的三角表示（精讲）（解析版）

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7.3
复数的三角表示（精讲）
考法一
复数的三角表示
【例1-1】（2020·全国高一课时练习）把下列复数的代数形式化成三角形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）.
因为与对应的点在第四象限，所以，
所以.
（2）.
因为与对应的点在第四象限，所以，
所以.
【例1-2】．（2020·全国高一课时练习）把下列复数的三角形式化成代数形式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）.
（2）.
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：
（1）；
（2）.
【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;
【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则
.
因为与对应的点在第一象限，所以.
于是.
（2）复数对应的向量如图所示，则
.
因为与对应的点在第四象限，所以.
于是.
当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.
2．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数的三角形式转化为代数形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
3．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：
（1）；
（2）-2i；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）∵，，，
又，∴，∴.
（2）∵，，，
又，∴，
∴.
（3）∵，，，
又，∴，
∴.
（4）∵，，，
又，∴.
∴.
考法二
复数的辅角
【例2】（2020·全国高一课时练习）复数的辐角主值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】,故复数z的辐角主值为.故选：D
【一隅三反】
1.（2020·全国）复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】,,
所以复数在第二象限，设幅角为，
故选：C
2．（2020·全国高一课时练习）若复数（i为虚数单位），则为（
）
A．
B．120°
C．240°
D．210°
【答案】C
【解析】由，得复数z对应的点在第三象限，且，所以.
故选：C.
3．（2020·辽宁辽师大附中高一期末）把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数式和它的辐角主值分别是（
）
A．，
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题可知，
则，
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为.故选：B.
考法三
复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义
【例3】（2020·全国高一课时练习）计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C
2．（2020·全国高一课时练习）（
）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】.故选：B
3．（2020·全国高一课时练习）（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
4．（2020·全国高一课时练习）计算下列各式，并作出几何解释：
（1）
（2）
（3）
（4）.
【答案】（1）-4，几何解释见解析
（2），几何解释见解析
（3），几何解释见解析
（4），几何解释见解析
【解析】（1）原式.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转，再将其长度伸长
为原来的倍，得到一个长度为4,辐角为π的
向量，则即为积所对应的向量.
（2）原式
.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点O按逆时针方向旋转315°，再将其长度缩短
为原来的，得到一个长度为、辐角为
的
向量，则即为积所对应的向量.
（3）原式
.
几何解释：设，作与对应的向量，
然后把向量绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度
缩短为原来的，得到一个长度为，辐角为的向量，
则即为所对应的向量.
（4）原式
.
几何解释：设，
作与对应的向量，然后把向量
绕原点0按顺时针方向旋转，再将其长度缩短为原来的，
得到一个长度为，辐角为的向量，
则即为所对应的向量.
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常见考法
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