《基本不等式》教学设计
教学对象
高一三班，班级学生基础稍微薄弱，通过本节课学生能掌握基本不等式的基本应用及其变形，锻炼学生数形结合不同角度的理解能力.
教材分析
本节选自《普通高中教科书·数学必修第一册（人教A版）》的第二章2.2基本不等式，本节课主要是先利用初中学过的完全平方得到基本不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，引导学生给出基本不等式的代数证明和几何解释；与此同时让学生学会简单应用.算术平均数与几何平均数是不等式这一章的核心，对于不等式的证明及利用基本不等式求最值等应用问题都起到工具性作用.通过本章的学习有利于学生对后面不等式的证明及函数最值、值域的进一步研究，起到铺垫的作用，因此决定了它的重要地位.
三、教学目标
本节课本着新高考评价体系的“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心立场，提出如下教学目标：
必备知识：1.知道基本不等式的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件，会运用所学知识证明基本不等式，并能在证明过程中分析不等式成立的条件.
2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解实际问题的最值中的作用.
关键能力：1.用基本不等式数学模型解决实际问题的能力.
2.通过适当引导，进一步提高学生独立思考、分析问题、解决问题的能力.
学科素养：1.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养.
2.结合具体实例，培养学生逻辑推理的数学素养.
3.通过解决实际问题，培养学生数学建模和数学抽象的数学素养.
核心价值:通过适当引导，加强学生社会主义核心价值体系教育，增强学生社会责任感，形成正确核心价值观.
四、教学重点、难点
重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.
难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题.
五、教学方法与手段
教学方法：诱思探究教学法.
学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结.
教学手段：多媒体辅助教学.
教学过程
（一）基本不等式的定义导入
以线段a
,b的和为直径作圆，过点C作垂直于直径AB的弦DE，依次连接AD、BD.
问题1：你能用a
,b表示我的们的半弦CD吗？如果我们连接OD,用a
,b表示半径呢？
师生活动：（思考片刻）一块回答CD=，.
问题2：显然半径大于半弦，点C在直径上运动时是否始终半径大于半弦？能否相等？(几何画板展示点C运动状态下的半径与半弦)
师生活动：始终半径大于等于半弦（点C与圆心重合时相等）
师生一块完善基本不等式，并指出算术平均数和几何平均数，及其基本不等式的文字表述.
设计意图：不等式的几何解释是教学的重、难点，直接通过几何图形，将半径和半弦放到直角三角形中，并结合几何画板动态展示，使学生通过直观感知就得到了半径是不小于半弦，从而突破难点的同时引入了我们的基本不等式.
（二）基本不等式的证明
问题3：我们已经从几何图形直观感知得到了基本不等式，你能从其他角度证明我们的基本不等式吗？结合我们上节课学过的比较两个代数式大小的方法.
师生活动：根据提示能迅速想到作差法，并书写证明过程，师生一块补充完善.
设计意图：根据不等式的性质，用作差法证明基本不等式，让学生从数形两个角度分别论证基本不等式，培养学生的数形结合思想.
（三）基本不等式的应用
例1
已知x
,
y都是正数，求证：
(1)如果和x
+
y等于定值S,那么当x=y时，x
y有最大值
(2)如果积x
y等于定值P
,那么当x=y时，x
+
y有最小值
师生活动：师生一起分析后，由学生思考并让学生在黑板上书写证明过程，师生一块补充完善.
问题4：通过本题，你能说说用基本不等式能解决什么样的问题吗？
师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的和为定值，积有最大值”“积为定值和有最小值”并且总结应用基本不等式求最值时应满足的三个条件.
设计意图：用本例示范基本不等式可以用来求最值，并且应用时要满足的条件，为后面的应用作铺垫.
问题5：代数式是和式形式，结合例1，是否可以利用基本不等式求它的最小值？
师生活动：学生思考后回答。教师总结：求和的最值我们要看他们的积是否为一个定值，如果是，在满足正数的情况下就可以利用基本不等式求解，最后还要看一下等号何时取，能否取到.
问题6：如果积不为定值呢（例2(2)）？如果不是和式或积式求最值，能否将其变形为和式或者积式呢?你还有其他的解法吗（例2(3)）？
师生活动：学生思考后，学生说，教师板书例2（2）（3）.
师生活动：练习（2）学生直接口述教师板书，练习（3）由学生上黑板书写展示，师生一块补充完善，强化配凑的过程.
设计意图：通过例1得到应用基本不等式解最值的数学模型后，例2强化学生解最值时的应用，练习强化训练学生的配凑能力.
例3（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
用一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
师生活动：师生一块分析后，由学生口述，教师板书，共同补充完善.
设计意图：本例是典型而较简单的能够用基本不等式求解的问题.通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型理解和识别实际问题，从而用基本不等式解决问题，进一步发展学生的模型思想.
练习
某工厂要建造一个长方形无盖水池，其容积为4800
，深3m，如果池底每平方米造价150元，池壁每平方米造价120元，那么怎样设计能使总造价最低？最低总造价是多少？
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，由学生展示并讲解自己的求解思路.
设计意图：本练习在例3的基础上，进一步培养学生用数学的眼光看问题的能力，提升他们的数学建模素养.
（四）学习感悟
本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？
设置开放性问题，让学生畅所欲言，并引导学生将本节的重难点总结一遍.
设计意图：引导学生回顾总结本节的学习内容和学习方法，以及会研究一个特殊代数对象的一般过程.
（五）课后作业
1.课后习题；
2.《基本不等式》评测练习
1.
已知x,求的最值____.
已知x
,y均为正数,且
，则x
+
y的最小值为____.
已知x
,y均为正数,且，则x
+
y的最小值为____.(共15张PPT)
基本不等式
壹
新知
D
O
B
b
A
C
a
初探
E
,当且仅当a=b时号成立.
基本不等式
算术平均数
几何平均数
基本不等式表明:
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
你能从其他角度证明基本不等式吗？
证明:（作差法）
贰
例题
讲解
例1
已知x,y都是正数，求证：
(1)如果和x
+
y等于定值S,那么
当x=y时,x
y有最大值
(2)如果积x
y等于定值P
,那么当x=y时,x
+
y有最小值
利用基本不等式解决最值问题
例1
已知x,y都是正数，求证：
(1)如果和x
+
y等于定值S,那么当x=y时,x
y有最大值
例1
已知x,y都是正数,求证：
(2)如果积x
y等于定值P
,那么当x=y时,x
+
y有最小值
例3（1）用篱笆围成一个面积为100m
2
的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用
篱笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）用一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园面积最大？最大面积是多少？
利用基本不等式解决实际问题
练习
某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
解：设水池底面一边的长度为
，则另一边的长度为
，又设水池总造价为
元，根据题意，得
叁
学习
感悟
本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？
肆
课后
作业
1.课后习题；
2.查阅相关资料了解数学史上对基本不等式的研究和发现。
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