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1.5平方差公式（2）
时间100分钟
满分120分
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020秋?哈尔滨期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．2a3?3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4
D．（
a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
2．（2020秋?松山区期末）若s﹣t＝7，则s2﹣t2﹣14t的值是（ ）
A．42
B．50
C．56
D．49
3．（2020秋?乾安县期末）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（2+x）
B．（）（b﹣）
C．（﹣m+n）（m﹣n）
D．（x2﹣y）（x+y2）
4．（2020秋?鱼台县期末）3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
5．（2020?滨城区模拟）计算（﹣2m）3?（﹣m?m2+3m3）﹣（m3﹣4）（m3+4）的结果是（ ）
A．﹣13m6﹣16
B．﹣13m6+16
C．﹣17m6+16
D．﹣12m6﹣m9+16
6．（2019秋?望城区期末）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：＝（ ）
A．2﹣
B．2+
C．1
D．2
7．（2020秋?思明区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．3014
B．3024
C．3034
D．3044
8．（2020?北京二模）若a2+4a＝5，则代数式2a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
9．（2020秋?宛城区校级期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205
B．250
C．502
D．520
10．（2020秋?香坊区期末）如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
二．填空题（每小题3分，共24分）
11．（2020秋?铁力市期末）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝
．
12．（2020秋?东西湖区期末）102×98＝
．
13．（2020秋?讷河市期末）计算：201×199﹣1982＝
．
14．（2019秋?西山区期末）在正整数中，
（1﹣）＝（1﹣）（1+）
（1﹣）＝（1﹣）（1+）
（1﹣）＝（1﹣）（1+）
利用上述规律，计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝
．
15．（2020秋?普陀区期中）如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是
．
16．（2020秋?崇川区校级期中）如果（m2+n2+1）与（m2+n2﹣1）的乘积为15，那么m2+n2的值为
．
17．（2020春?长兴县期中）一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如：22﹣12＝3，3就是智慧数，从0开始，不大于2020的智慧数共有
个．
18．（2020春?莘县期末）观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x2019+x2018+…+x+1）＝
．
三．解答题（共66分）
19．（24分）（2020秋?东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）；
②计算：（3+1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
20．（24分）（2020春?新泰市期末）计算：
（1）2002﹣198×202（运用乘法公式计算）；
（2）（）﹣2﹣8×（﹣2）﹣2+（﹣1）2019﹣（0.5）﹣1；
（3）已知：xm＝3，xn＝2，求x2m+3n的值．
21．（18分）（2020秋?前郭县期末）如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①（x﹣）（x+）（x2+）；
②107×93．
1.5平方差公式（2）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2020秋?哈尔滨期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5
B．2a3?3a3＝6a3
C．（3ab2）2＝6a2b4
D．（
a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【解答】解：A．a2和a3不能合并，故本选项不符合题意；
B.2a3?3a3＝6a6，故本选项不符合题意；
C．（3ab2）2＝9a2b4，故本选项不符合题意；
D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2020秋?松山区期末）若s﹣t＝7，则s2﹣t2﹣14t的值是（ ）
A．42
B．50
C．56
D．49
【解答】解：∵s﹣t＝7，
∴s2﹣t2﹣14t
＝（s+t）（s﹣t）﹣14t
＝7（s+t）﹣14t
＝7s+7t﹣14t
＝7s﹣7t
＝7（s﹣t）
＝7×7
＝49．
故选：D．
3．（2020秋?乾安县期末）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（2+x）
B．（）（b﹣）
C．（﹣m+n）（m﹣n）
D．（x2﹣y）（x+y2）
【解答】解：A、原式＝（x+2）2＝x2+4x+4，不符合题意；
B、原式＝b2﹣a2，符合题意；
C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意；
D、原式＝x3+x2y2﹣xy﹣y3，不符合题意．
故选：B．
4．（2020秋?鱼台县期末）3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【解答】解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…＝264﹣1+1＝264，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4＝16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选：C．
5．（2020?滨城区模拟）计算（﹣2m）3?（﹣m?m2+3m3）﹣（m3﹣4）（m3+4）的结果是（ ）
A．﹣13m6﹣16
B．﹣13m6+16
C．﹣17m6+16
D．﹣12m6﹣m9+16
【解答】解：（﹣2m）3?（﹣m?m2+3m3）﹣（m3﹣4）（m3+4）
＝﹣8m3?（﹣m3+3m3）﹣（m6﹣16）
＝﹣8m3?2m3﹣m6+16
＝﹣16m6﹣m6+16
＝﹣17m6+16．
故选：C．
6．（2019秋?望城区期末）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：＝（ ）
A．2﹣
B．2+
C．1
D．2
【解答】解：原式＝2×（1﹣）
＝2×（1﹣）+
＝2﹣+
＝2，
故选：D．
7．（2020秋?思明区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）
A．3014
B．3024
C．3034
D．3044
【解答】解：∵552﹣532＝（55+53）（55﹣53）＝216＜217，
∴在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（﹣12+32）+（﹣32+52）+（﹣52+72）+……+（﹣512+532））+（﹣532+552）
＝﹣12+32﹣32+52﹣52+72+……﹣512+532﹣532+552
＝552﹣12
＝（55+1）（55﹣1）
＝56×54
＝3024，
故选：B．
8．（2020?北京二模）若a2+4a＝5，则代数式2a（a+2）﹣（a+1）（a﹣1）的值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【解答】解：原式＝2a2+4a﹣a2+1＝（a2+4a）+1，
∵a2+4a＝5，
∴原式＝5+1＝6．
故选：D．
9．（2020秋?宛城区校级期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A．205
B．250
C．502
D．520
【解答】解：根据平方差公式得：
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n．
所以两个连续奇数构造的“好数”是8的倍数
205，250，502都不能被8整除，只有520能够被8整除．
故选：D．
10．（2020秋?香坊区期末）如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
二．填空题
11．（2020秋?铁力市期末）计算：（2+3x）（﹣2+3x）＝ 9x2﹣4 ．
【解答】解：原式＝9x2﹣4．
故答案为：9x2﹣4．
12．（2020秋?东西湖区期末）102×98＝ 9996 ．
【解答】解：102×98
＝（100+2）×（100﹣2）
＝1002﹣22
＝10000﹣4
＝9996，
故答案为：9996．
13．（2020秋?讷河市期末）计算：201×199﹣1982＝ 795 ．
【解答】解：原式＝（200+1）（200﹣1）﹣1982
＝2002﹣1﹣1982
＝（200+198）（200﹣198）﹣1
＝398×2﹣1
＝（400﹣2）×2﹣1
＝800﹣4﹣1
＝795．
故答案为：795．
14．（2019秋?西山区期末）在正整数中，
（1﹣）＝（1﹣）（1+）
（1﹣）＝（1﹣）（1+）
（1﹣）＝（1﹣）（1+）
利用上述规律，计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）＝ ．
【解答】解：原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×…×（1+）×（1﹣）
＝××××××…××
＝×
＝，
故答案为：．
15．（2020秋?普陀区期中）如果a2﹣9b2＝4，那么（a+3b）2（a﹣3b）2的值是 16 ．
【解答】解：因为a2﹣9b2＝4，
所以（a+3b）（a﹣3b）＝4，
所以（a+3b）2（a﹣3b）2
＝[（a+3b）（a﹣3b）]2
＝42
＝16，
故答案为：16．
16．（2020秋?崇川区校级期中）如果（m2+n2+1）与（m2+n2﹣1）的乘积为15，那么m2+n2的值为 4 ．
【解答】解；∵（m2+n2+1）与（m2+n2﹣1）的乘积为15，
∴（m2+n2+1）（m2+n2﹣1）＝15，
∴（m2+n2）2﹣1＝15，
即（m2+n2）2＝16，
解得：m2+n2＝4（负数舍去），
故答案为：4．
17．（2020春?长兴县期中）一个自然数若能表示为相邻两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如：22﹣12＝3，3就是智慧数，从0开始，不大于2020的智慧数共有 1010 个．
【解答】解：∵（n+1）2﹣n2＝2n+1，
∴所有的奇数都是智慧数，
∵2020÷2＝1010，
∴不大于2020的智慧数共有1010个．
故答案为：1010．
18．（2020春?莘县期末）观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x2019+x2018+…+x+1）＝ x2020﹣1 ．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1＝x1+1﹣1，
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1＝x2+1﹣1，
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1＝x3+1﹣1，
…
∴（x﹣1）（x2019+x2018+…+x+1）＝x2019+1﹣1＝x2020﹣1，
故答案为：x2020﹣1．
三．解答题
19．（2020秋?东莞市校级期中）利用乘法公式计算：
①计算：（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）；
②计算：（3+1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）；
③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．
【解答】解：①原式＝（2﹣1）?（2+1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）
＝（22﹣1）?（22+1）?（24+1）?（28+1）
＝（24﹣1）?（24+1）?（28+1）
＝（28﹣1）?（28+1）
＝216﹣1；
②原式＝（3﹣1）?（3+1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）
＝（32﹣1）?（32+1）?（34+1）?（38+1）
＝（34﹣1）?（34+1）?（38+1）
＝（38﹣1）?（38+1）
＝；
③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）
＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）
＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）
＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1
＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）
＝101×（2+2+…+2）
＝101×25×2
＝5050．
20．（2020春?新泰市期末）计算：
（1）2002﹣198×202（运用乘法公式计算）；
（2）（）﹣2﹣8×（﹣2）﹣2+（﹣1）2019﹣（0.5）﹣1；
（3）已知：xm＝3，xn＝2，求x2m+3n的值．
【解答】解：（1）原式＝2002﹣（200﹣2）×（200+2）
＝2002﹣（2002﹣22）
＝2002﹣2002+4
＝4；
（2）原式＝4﹣8×﹣1﹣2
＝4﹣2﹣1﹣2
＝﹣1；
（3）∵xm＝3，xn＝2，
∴x2m+3n＝x2m?x3n＝（xm）2?（xn）3＝32×23＝9×8＝72．
21．（2020秋?前郭县期末）如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①（x﹣）（x+）（x2+）；
②107×93．
【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）①原式＝（x2﹣）（x2+）＝x4﹣；
②107×93
＝（100+7）（100﹣7）
＝1002﹣72
＝10000﹣49
＝9951．
跟踪测试10
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精品试卷·第
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1.5平方差公式（2）
北师大版
七年级下
新课导入
复习回顾
利用平方差公式计算：
（1）（2m+n）（2m-n）；
（2）（3y+2x）（3y-2x）；
（3）（-x+y）（-x-y）；
合作探究
a
b
（1）请表示图1-5中阴影部分的面积.
图1-5
a2?
b2
如图1-5，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
合作探究
a
b
a
b
图1-5
图1-6
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，如图1-6，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
长为a+b，宽为a-b,
面积为:（a+b）(a-b)
合作探究
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
（a+b）(a-b）=a2?
b2
合作探究
想一想
1、计算下列各组算式，并观察它们的共同特点
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
63
64
143
144
6399
6400
2、从以上过程中，你发现了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
精讲例题
例3
用平方差公式进行计算：
（1）103×97
；
（2）118×122
（100+3）
（100-3）
（120-2）
（120+2）
解：（1）103×97
=（100+3）（100-3）
=1002?32
=10000?9
=9991；
（2）118×122
=（120-2）（120+2）
=1202?22
=14400?4
=14396.
随堂练习
计算：
（1）704×696
；
（2）9.9
×10.1
解：（1）704×696
=（700+4）（700-4）
=7002?42
=490000?16
=489984；
（2）9.9×10.1
=（10-0.1）（10+0.1）
=102?0.12
=100?0.01
=99.99.
精讲例题
例4
计算：
（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2
（2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解：（1）a2(a+b)(a－b)+a2b2
=
a2(a2-b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2
=a4
（2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=
4x2-25-4x2+6x
=
6x-25
随堂练习
计算：
（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
（2）
解：（1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)
=
x2-4y2+x2-1
=2
x2-4y2-1
(2)
知识拓展
公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
公式中的a，b可表示
(1)单项式
(2)具体数
(3)多项式
三个表示
(1)简化某些多项式的乘法运算
(2)提供有理数乘法的速算方法
两种作用
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？?
1.试用语言表述平方差公式
(a+b)(a?b)=a2?b2
2.应用平方差公式
时要注意一些什么？
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式.
(1)简化某些多项式的乘法运算
(2)提供有理数乘法的速算方法
3.平方差公式两种作用
课堂达标
1.5平方差公式（2）
满分120分
课堂达标
一、选择题（每小题10分，共50分）
1．（2020秋?建华区期末）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A．（x+y）（-x-y）
B．（2x+3y）（2x-3z）
C．（-a-b）（a-b）
D．（m-n）（n-m）
解：A、不能用平方差公式，故本选项错误；
B、不能用平方差公式，故本选项错误；
C、能用平方差公式，故本选项正确；
D、不能用平方差公式，故本选项错误；
故选：C．
C
课堂达标
2．（2020?南岗区校级模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2=a3
B．2a3+3a2=5a5
C．（-a2）3=a6
D．（a+b）（a-b）=a2-b2
解：A、a6÷a2=a4，故本选项不合题意；
B、2a3与3a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C、（-a2）3=-a6，故本选项不合题意；
D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项符合题意．
故选：D．
D
课堂达标
3．（2020?滦州市模拟）用简便方法计算，将99×101变形正确的是（ ）
A．99×101=1002+12
B．99×101=（100-1）2
C．99×101=1002-12
D．99×101=（100+1）2
C
解：99×101=（100-1）（100+1）=1002-12．
故选：C．
课堂达标
4．（2020春?隆回县期末）计算（x-y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）的结果是（ ）
A．x8+y8
B．x8-y8
C．x6+y6
D．x6-y6
解：（x-y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）
=（x2-y2）（x2+y2）（x4+y4）
=（x4-y4）（x4+y4）
=x8-y8，
故选：B．
B
课堂达标
5．（2020?资兴市二模）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27=62-32，63=82-12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（ ）
A．31
B．41
C．16
D．54
D
解：∵31=（16+15）（16-15）=162-152，
41=（21+20）（21-20）=212-202，
16=（5+3）（5-3）=52-32，
54不能表示成两个正整数的平方差．
∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”．
故选：D．
课堂达标
二、填空题（每小题10分，共30分）
6.
（2020秋?沙坪坝区校级期末）计算：108×112-1102的
结果为
.
解：108×112-1102
=（110+2）（110-2）-1102
=1102-22-1102
=-4．
-4
课堂达标
7.
（2020秋?淮南期末）计算：20202-2019×2021=
．
1
解：20202-2019×2021
=20202-（2020-1）×（2020+1）
=20202-20202+12
=1
故答案为：1．
课堂达标
8.
（2020秋?南安市期末）利用平方差计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=
．
解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1
=216．
216
课堂达标
三、解答题（共40分）
9.
（10分)
（2020春?沙坪坝区校级月考）（a-4）（a+4）-2（a-1）（2a+2）．
解：（a-4）（a+4）-2（a-1）（2a+2）
=a2-42-4（a-1）（a+1）
=a2-16-4（a2-1）
=a2-16-4a2+4
=-3a2-12．
课堂达标
10.（30分）
（2020春?包河区校级期中）分别计算下列各式的值：
（1）填空：
（x-1）（x+1）=
；
（x-1）（x2+x+1）=
；
（x-1）（x3+x2+x+1）=
；
…
由此可得（x-1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=
；
（2）求1+2+22+23+…+27+28+29+210的值；
（3）根据以上结论，计算：1+3+32+33+…+397+398+399．
x2-1
x3-1
x4-1
x10-1
（2）计算：1+2+22+23+…+27+28+29
=（2-1）×（29+28+27+26+25+24+23+22+2+1）
=210-1；
作业布置
课本P22：T1、
T2
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
