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第三章
函数概念与性质
3.2.1函数的单调性
学习目标
观察和分析各个函数图象，从左向右看，函数图象有什么特点？
3.2.1函数的单调性
O
x
y
y=x2
发现：
当x在区间[0,+∞）上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大.
3.2.1函数的单调性
x
y
o
f(x1)
f(x2)
x不断增大，y也不断增大
增函数定义：
设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数;
3.2.1函数的单调性
O
x
y
y=x2
发现：
当x在区间（-∞,0）上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着减小。
3.2.1函数的单调性
x1
x2
y=f(
x)
f(
x1)
O
y
x
f(x2)
x不断增大，y不断减小
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<
x2时,都有f(x1)>f(
x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数;
3.2.1函数的单调性
x
y
0
y=f(x)
a
b
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
3.2.1函数的单调性
例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，
y=f(x)是增函数还是减函数。
-5
-1
-2
1
3
5
f(x)
[-5,-2)
[-2,1)
[1,3)
[3,5]
x
y
o
3.2.1函数的单调性
例2、求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)
；
(2)
3.2.1函数的单调性
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[-3,1]
D．[-3,4]
2.
函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有
( )
A．f(x1)B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．以上都有可能
3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．
B．
C．
D．
3.2.1函数的单调性
例3
利用定义证明：函数
在(－1,0)上是减函数.
3.2.1函数的单调性
证明：函数
（1）在区间(0，1]
是减函数
（2）在区间[-1，0)是减函数
（3）在区间（1，+
∞）是增函数
（4）在区间（-∞，-1）是增函数
3.2.1函数的单调性
1.判断函数单调性的方法：
（1）利用图象
在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.
（2）利用定义
注意:定义中“任意”,“区间M”
2.函数单调性的证明：
用定义证明的一般步骤：
任意取值→作差变形→判断符号→
得出结论.
3.2.1函数的单调性
1、已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )
B
3.2.1函数的单调性
2、函数y=
的单调递减区间是( )
A.[0,+∞)
B.(-∞,0]
C.(-∞,0)和(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
C
解：有图像易知，f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)单调递减，此时可表示为：(-∞,0)和(0,+∞)或(-∞,0)，(0,+∞),故选择C
3.2.1函数的单调性
3、已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图所示.根据图象写出y=f(x)的单调递减区间为
.?
[-1,2]
3.2.1函数的单调性
4、函数y=|x+2|在区间[-3,0]上( )
A.递减
B.递增
C.先递减后递增
D.先递增后递减
解：根据题意画出函数图像，易知选择C
3.2.1函数的单调性
c
5、.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是( )
A.f(4)>f(-π)>f(3)
B.f(π)>f(4)>f(3)
C.f(4)>f(3)>f(π)
D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
解：由函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,
得
f(4)>f(π)>f(3)>f(-3)>f(-π)>f(-4),故选D.
D
3.2.1函数的单调性
6、已知函数f(x)=
.
(1)求f(f(3))的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
(3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=的图象在x轴上方(写出结论即可).
3.2.1函数的单调性
6、已知函数f(x)=
.
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
3.2.1函数的单调性
6、已知函数f(x)=
.
(3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=的图象在x轴上方(写出结论即可).
法一：作出函数f(x)=的图象,如图所示,由图象知,
当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)=的图象在x轴上方.
法二：f(x)图象在x轴上方，相当于f(x)>0，即x(x-1)>0且x≠1，可得x<0或x>1，即x∈(-∞,0)∪(1,+∞)
3.2.1函数的单调性函数的单调性测试
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是
( )
A．[0,1]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是
( )
A．(－∞，)
B．(，＋∞)
C．(－∞，]
D．[，＋∞)
3．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么下列结论正确的是
( )
A．f(x)在(－∞，1]上是减函数
B．f(x)在(－∞，1]上是增函数
C．f(x)在[－1，＋∞)上是减函数
D．f(x)在[－1，＋∞)上是增函数
4．已知函数f(x)＝ax＋2是减函数，则实数a的取值范围是________．
5.若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是
。
6．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．
7、画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
8．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数.3.2.1函数的单调性
教学目标：
1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；
2、掌握增（减）函数的证明和判别；
3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
教学重点：函数的单调性的概念、判断和证明，求函数的单调区间；
教学难点：根据定义证明函数的单调性；
教学方法与手段：探究式教学模式；利用多媒体现代设备教学
教学过程：
创设情境，激发兴趣
问题一：观察和分析各个函数图象，从左向右看，函数图象有什么特点？
通过几个函数图象引出图象上升和下降的趋势，拉近学生与数学的关系，也为本节课的研究埋下伏笔。
归纳探索
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，同学们初中就有一些认识，但是没有系统的进行规定，今天我们就对这块知识进行归纳。
问题2：观察二次函数f
(x)
=
x2
的图象：随着自变量的变化函数值是变大还是变小呢？
当x在区间[0,+∞）上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大.
当x在区间（-∞,0）上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着减小。
函数单调性的概念
一般地，设函数f
(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f
(x1)＜f
(x2)，那么就说函数f
(x)在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f
(x1)＞f
(x2)，那么就说函数f
(x)在区间D上是减函数.
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.
3.合作探究
学生通过合作交流自主完成.
例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，
y=f(x)是增函数还是减函数。
【解】：y=
f
(x)的单调区间有[–5，–2），[–2，1），[1，3），[3，5].
其中y
=
f
(x)
在区间[–5，–2），[1，3）上是减函数，在区间[–2，1），[3，5]上是增函数.
掌握利用图象划分函数单调区间的方法.
掌握单调性证明步骤及原理.内化定义，强化划分单调区间的方法.
例2求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数。
引导学生自己画出函数图象，得出函数的单调区间。
例3
用定义证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．
证明：设－1＜x1＜x2＜0，
则有f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝，
由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，又x1x2＞0，x1－x2＜0，
则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．
强化记题步骤与格式.
4.巩固练习
2）用定义证明：函数f(x)＝x＋
（1）在区间(0，1]
是减函数
（2）在区间[-1，0)是减函数
（3）在区间（1，+
∞）是增函数
（4）在区间（-∞，-1）是增函数
5.课堂小结
1.体会函数单调性概念的形成过程.
2.单调性定义.
3.利用图象划分单调区间.
4.利用定义证明单调性步骤.
6.当堂检测
1.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是( )
2.函数y=的单调递减区间是( )
A.[0,+∞)
B.(-∞,0]
C.(-∞,0)和(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
3.已知函数y=f(x)
(x∈[-2,6])的图象如图所示.根据图象写出y=f(x)的单调递减区间为_________.
4函数y=|x+2|在区间[-3,0]上( )
A.递减
B.递增
C.先递减后递增
D.先递增后递减
5.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是( )
A.f(4)>f(-π)>f(3)
B.f(π)>f(4)>f(3)
C.f(4)>f(3)>f(π)
D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
6.已知函数f(x)=
(1)求f(f(3))的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
(3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=的图象在x轴上方(写出结论即可)
课后作业
课本79页练习题
x
x1
x2
O
y
f
(x1)
f
(x2)
y=f
(x)
x
x1
x2
O
y
f
(x1)
f
(x2)
y=f
(x)
