人教版八年级数学下册16.1 二次根式 教案及反思（2课时）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册16.1 二次根式 教案及反思（2课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 39.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-21 07:03:57 | ||
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文档简介
第十六章 二次根式
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
教学目标
【知识与技能】
了解二次根式的概念，理解是一个非负数．
【过程与方法】
通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力．
【情感态度】
通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念．
【教学重点】
二次根式的概念及≥0的基本性质
【教学难点】
经历知识产生的过程，探索新知识．
教学过程
一、情境导入，初步认识
问题(1)一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39 m2，则它的宽为________ m；
(2)面积为S的正方形的边长为________；
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位： s)与开始落下的高度h(单位： m)满足关系h＝5t2，如果用含h的式子表示t，则t＝________．
【教学说明】
设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密．教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识．
二、思考探究，获取新知
思考通过对上述问题的探究，可得到形如，，的式子，这些式子有什么特点？
【教学说明】
教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义．
二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号．
针对上述定义，教师可强调以下几点：
(1)中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；
(2)尽管＝2是一个整数，但仍应称为一个二次根式；
(3)当a≥0时，表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有≥0(a≥0)．
三、典例精析，掌握新知
【例1】下列各式中，一定是二次根式的有________．
①；②－2；③；④.
分析：判断二次根式应关注两点：
(1)有二次根号“”；
(2)被开方数必须是非负数．因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.
【例2】当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义．
(1)；(2)＋；(3).
解：(1)中，由x－2≥0，得x≥2；
(2)中，由得2≤x≤3；
(3)中，由2x－1＞0，得x＞.
【例3】(1)已知＋＝0，求x，y的值；
(2)若y＝＋＋3，求xy的值．
解：(1)由≥0，≥0，又因为它们的和为0，故当且仅当＝0和＝0才行，从而x＝－1，y＝3；
(2)中，由二次根式定义可知，，
∴x＝，∴y＝0＋0＋3＝3，故xy＝()3＝.
【教学说明】
对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突破口，选择恰当的方法来获得解题思路，进一步体验中a≥0及a≥0的双重非负性特征.
四、运用新知，深化理解
1．填空题：
(1)形如________的式子叫二次根式；
(2)负数________(填“有”或者“没有”)算术平方根．
2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：
(1)；(2)；(3)；
3．已知＋(b－3)2＝0，试求a、b的值；
4．已知实数x、y满足等式y＝＋－5，求x2－2xy＋y2的值．
5．已知实数a满足＋＝a，求a－20122的值．
6．已知＋＝0，求－a2b的值．
【教学说明】
学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知．
解：1.(1)(a≥0) (2)没有
2．(1)a≥1 (2)a≥－ (3)a为一切实数
3．由题意得，∴
4．由题意得，∴x＝3，y＝－5，∴x2－2xy＋y2＝(x－y)2＝(3＋5)2＝64.
5．由题意知：a－2013≥0，∴a≥2013，∴2012－a＜0，原式可化为a－2012＋＝a，∴＝2012，∴a－2013＝20122，∴a－20122＝2013.
6．当≥0，≥0，又∵它们的和为0，∴a－2＝0且b＋＝0，解得a＝2，b＝－，
∴－a2b＝－22×(－)＝2.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，你获得哪些解决二次根式问题的方法？你还有哪些问题？请与同伴交流．
【教学说明】
学生相互交流，回顾知识，反思问题，共同发展提高．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．教师创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动．体现教师的组织者、引导者与合作者地位．
2．注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解．
第2课时 二次根式的性质
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握二次根式的性质，正确区分()2＝a(a≥0)与＝a(a≥0)，并利用它们进行化简和计算．
【过程与方法】
在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力．
【情感态度】
通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展．
【教学重点】
()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0)及其应用．
【教学难点】
用探究的方法探索()2＝a(a≥0)及＝a(a≥0)的结论．
教学过程
一、创设情境，初步认识
试一试：请根据算术平方根填空．
()2＝________；()2＝________；
()2＝________；()2＝________．
猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出()2(a≥0)的结论是什么？说说你的理由．
【教学说明】
让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力．
二、思考探究，获取新知
在学生相互交流的基础上可归纳出：
()2＝a(a≥0)．
进一步地，引导学生探究新的问题．
探究
(1)填空：
＝________，＝________，
＝________，＝________．
(2)通过(1)的思考，你能确定(a≥0)的化简结果吗？说说你的理由．
【教学说明】
教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结．
【归纳结论】
一般地，根据算术平方根的意义，有＝a(a≥0)．
最后，教师给出代数式的概念．
代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式．(代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究．)
三、典例精析，掌握新知
【例1】计算：
(1)()2 (2)(2)2
【例2】化简：
(1)； (2).
【例3】试一试：在实数范围内分解因式：
(1)x2－3； (2)3x2－4.
解：(1)x2－3＝x2－()2＝(x＋)(x－)；
(2)3x2－4＝(x)2－22＝(x＋2)(x－2)．
想一想：我们知道，当a≥0时，＝a，那么当a＜0时，的结论又如何？你是怎样想的？
【教学说明】
让学生自主探究，相互交流，教师可引导学生通过探讨，，等来发现结论．
【归纳结论】
＝|a|＝
做一做：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：－－.
解：由图可知，a＜0，b＞0，a－b＜0，∴－－＝|a|－|b|－|a－b|＝－a－b－[－(a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.
【教学说明】
以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展．例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号．
四、运用新知，深化理解
1．化简：
(1)； (2)；(3)； (4).
2．填空题：
(1)若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
(2)当x＞2时，则－＝______．
3．计算或化简：
(1)(－)2－＋(1－)0；
(2)＋(－7)2.
4．综合提高题：
(1)在实数范围内分解下列因式．
①x2－2； ②x4－9.
(2)若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋＋.
【教学说明】
以上1～3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨．
解：(1)是一个正整数，则20m应该是一个完全平方数，20m＝22×5m，所以m的最小值应取5.
(2)本题中的两个二次根式都可以利用＝|a|进行化简．然后再根据x＞2这个范围，来判断x－2与1－2x的正负，最后化简掉绝对值符号．∵x＞2，∴x－2＞0，1－2x＜0.∴－＝(x－2)＋(1－2x)＝－x－1.
3.(1)原式＝5－5＋1＝1
(2)原式＝7＋49×＝7＋14＝21
4．(1)①x2－2＝x2－()2＝(x＋)(x－)；
②x4－9＝x4－32＝(x2＋3)(x2－3)＝(x2＋3)(x＋)(x－.
(2)首先利用a2＝|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号．
|x－2|＋＋＝|x－2|＋|x＋3|＋|x－5|.∵－3≤x≤2，∴x－2≤0，x＋3≥0，x－5≤0，∴原式＝－(x－2)＋(x＋3)－(x－5)＝－x＋2＋x＋3－x＋5＝10－x.
五、师生互动，课堂小结
1．本节知识可这样归纳：
(1)()2＝a(a≥0)
(2)＝|a|＝
2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功．
3．几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间．
16．1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
教学目标
【知识与技能】
了解二次根式的概念，理解是一个非负数．
【过程与方法】
通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力．
【情感态度】
通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念．
【教学重点】
二次根式的概念及≥0的基本性质
【教学难点】
经历知识产生的过程，探索新知识．
教学过程
一、情境导入，初步认识
问题(1)一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39 m2，则它的宽为________ m；
(2)面积为S的正方形的边长为________；
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位： s)与开始落下的高度h(单位： m)满足关系h＝5t2，如果用含h的式子表示t，则t＝________．
【教学说明】
设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密．教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识．
二、思考探究，获取新知
思考通过对上述问题的探究，可得到形如，，的式子，这些式子有什么特点？
【教学说明】
教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义．
二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)形式的式子称为二次根式，其中“”称为二次根号．
针对上述定义，教师可强调以下几点：
(1)中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；
(2)尽管＝2是一个整数，但仍应称为一个二次根式；
(3)当a≥0时，表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必然也是非负数，因而总有≥0(a≥0)．
三、典例精析，掌握新知
【例1】下列各式中，一定是二次根式的有________．
①；②－2；③；④.
分析：判断二次根式应关注两点：
(1)有二次根号“”；
(2)被开方数必须是非负数．因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.
【例2】当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义．
(1)；(2)＋；(3).
解：(1)中，由x－2≥0，得x≥2；
(2)中，由得2≤x≤3；
(3)中，由2x－1＞0，得x＞.
【例3】(1)已知＋＝0，求x，y的值；
(2)若y＝＋＋3，求xy的值．
解：(1)由≥0，≥0，又因为它们的和为0，故当且仅当＝0和＝0才行，从而x＝－1，y＝3；
(2)中，由二次根式定义可知，，
∴x＝，∴y＝0＋0＋3＝3，故xy＝()3＝.
【教学说明】
对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突破口，选择恰当的方法来获得解题思路，进一步体验中a≥0及a≥0的双重非负性特征.
四、运用新知，深化理解
1．填空题：
(1)形如________的式子叫二次根式；
(2)负数________(填“有”或者“没有”)算术平方根．
2．当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：
(1)；(2)；(3)；
3．已知＋(b－3)2＝0，试求a、b的值；
4．已知实数x、y满足等式y＝＋－5，求x2－2xy＋y2的值．
5．已知实数a满足＋＝a，求a－20122的值．
6．已知＋＝0，求－a2b的值．
【教学说明】
学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知．
解：1.(1)(a≥0) (2)没有
2．(1)a≥1 (2)a≥－ (3)a为一切实数
3．由题意得，∴
4．由题意得，∴x＝3，y＝－5，∴x2－2xy＋y2＝(x－y)2＝(3＋5)2＝64.
5．由题意知：a－2013≥0，∴a≥2013，∴2012－a＜0，原式可化为a－2012＋＝a，∴＝2012，∴a－2013＝20122，∴a－20122＝2013.
6．当≥0，≥0，又∵它们的和为0，∴a－2＝0且b＋＝0，解得a＝2，b＝－，
∴－a2b＝－22×(－)＝2.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，你获得哪些解决二次根式问题的方法？你还有哪些问题？请与同伴交流．
【教学说明】
学生相互交流，回顾知识，反思问题，共同发展提高．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．教师创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动．体现教师的组织者、引导者与合作者地位．
2．注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解．
第2课时 二次根式的性质
教学目标
【知识与技能】
理解并掌握二次根式的性质，正确区分()2＝a(a≥0)与＝a(a≥0)，并利用它们进行化简和计算．
【过程与方法】
在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力．
【情感态度】
通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展．
【教学重点】
()2＝a(a≥0)，＝a(a≥0)及其应用．
【教学难点】
用探究的方法探索()2＝a(a≥0)及＝a(a≥0)的结论．
教学过程
一、创设情境，初步认识
试一试：请根据算术平方根填空．
()2＝________；()2＝________；
()2＝________；()2＝________．
猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出()2(a≥0)的结论是什么？说说你的理由．
【教学说明】
让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力．
二、思考探究，获取新知
在学生相互交流的基础上可归纳出：
()2＝a(a≥0)．
进一步地，引导学生探究新的问题．
探究
(1)填空：
＝________，＝________，
＝________，＝________．
(2)通过(1)的思考，你能确定(a≥0)的化简结果吗？说说你的理由．
【教学说明】
教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结．
【归纳结论】
一般地，根据算术平方根的意义，有＝a(a≥0)．
最后，教师给出代数式的概念．
代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式．(代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究．)
三、典例精析，掌握新知
【例1】计算：
(1)()2 (2)(2)2
【例2】化简：
(1)； (2).
【例3】试一试：在实数范围内分解因式：
(1)x2－3； (2)3x2－4.
解：(1)x2－3＝x2－()2＝(x＋)(x－)；
(2)3x2－4＝(x)2－22＝(x＋2)(x－2)．
想一想：我们知道，当a≥0时，＝a，那么当a＜0时，的结论又如何？你是怎样想的？
【教学说明】
让学生自主探究，相互交流，教师可引导学生通过探讨，，等来发现结论．
【归纳结论】
＝|a|＝
做一做：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：－－.
解：由图可知，a＜0，b＞0，a－b＜0，∴－－＝|a|－|b|－|a－b|＝－a－b－[－(a－b)]＝－a－b＋a－b＝－2b.
【教学说明】
以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展．例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号．
四、运用新知，深化理解
1．化简：
(1)； (2)；(3)； (4).
2．填空题：
(1)若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
(2)当x＞2时，则－＝______．
3．计算或化简：
(1)(－)2－＋(1－)0；
(2)＋(－7)2.
4．综合提高题：
(1)在实数范围内分解下列因式．
①x2－2； ②x4－9.
(2)若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋＋.
【教学说明】
以上1～3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨．
解：(1)是一个正整数，则20m应该是一个完全平方数，20m＝22×5m，所以m的最小值应取5.
(2)本题中的两个二次根式都可以利用＝|a|进行化简．然后再根据x＞2这个范围，来判断x－2与1－2x的正负，最后化简掉绝对值符号．∵x＞2，∴x－2＞0，1－2x＜0.∴－＝(x－2)＋(1－2x)＝－x－1.
3.(1)原式＝5－5＋1＝1
(2)原式＝7＋49×＝7＋14＝21
4．(1)①x2－2＝x2－()2＝(x＋)(x－)；
②x4－9＝x4－32＝(x2＋3)(x2－3)＝(x2＋3)(x＋)(x－.
(2)首先利用a2＝|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号．
|x－2|＋＋＝|x－2|＋|x＋3|＋|x－5|.∵－3≤x≤2，∴x－2≤0，x＋3≥0，x－5≤0，∴原式＝－(x－2)＋(x＋3)－(x－5)＝－x＋2＋x＋3－x＋5＝10－x.
五、师生互动，课堂小结
1．本节知识可这样归纳：
(1)()2＝a(a≥0)
(2)＝|a|＝
2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.1”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．
2．在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功．
3．几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间．