人教版八年级数学下册16.3 二次根式的加减 教案及反思（2课时）

16．3　二次根式的加减
第1课时　二次根式的加减
教学目标
【知识与技能】
会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题．
【过程与方法】
经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法．
【情感态度】
培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神．
【教学重点】
二次根式的加减法运算方法．
【教学难点】
二次根式的加减法的实际应用．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题】现有一块长7.5 dm，宽5 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？
【教学说明】
可借助多媒体(或幻灯片)展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考．解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望．
二、思考探究，获取新知
让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案．与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：
1．两个正方形木块的边长分别是多少？
2．最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5 dm的大小如何？
3．两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5 dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论？
4．谈谈你在获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求与这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：
＋
＝2＋3(化成最简二次根式)
＝(2＋3)(被开方数相同的二次根式的合并)
＝5.
【教学说明】
本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知．同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并．
【归纳总结】
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
三、典例精析，掌握新知
【例1】计算：
(1)－；　(2)＋.
【分析】将所给出的二次根式进行化简，然后利用类似整式的加减方法来进行二次根式的加减．
解：(1)原式＝4－3＝(4－3)＝；
(2)原式＝4＋8＝(4＋8)＝12.
【例2】计算：
(1)3－9＋；
(2)(＋)＋(－)．
【分析】在第(2)小题中，应注意去括号的方法，同时防止出现－＝－的错误．
解：(1)原式＝12－3＋3＝(12－3＋3)＝12；
(2)原式＝2＋2＋－＝(2＋1)＋(2－1)＝3＋.
【教学说明】
以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算．教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解．最后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，达到理解新知的目的．
【例3】如图，实验中学计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池，设计者需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8 m2，花坛的绿化面积为10 m2，则花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？
【分析】利用正方形的面积公式求出边长，再根据周长公式即可得解．
解：由题可知，花坛的外周围成的大正方形的面积为8＋10＝18 m2，边长为 m＝3 m，小喷水池的边长为 m＝2 m，故花坛的外周与小喷水池的周长一共是4×3＋4×2＝20 m.
【教学说明】
本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用，在实际教学过程中，教师应引导学生进行合理分析，理清解题思路与步骤，再让学生自主完成解答过程．最后教师可以给出示范性解题过程，也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业，让学生通过观察与反思，加深对知识的理解．
四、运用新知，深化理解
1．下列计算是否正确？为什么？
(1)－＝；
(2)＋＝；
(3)3－＝2.
解：(1)不正确，两边不相等；
(2)不正确，两边不相等；
(3)正确．
2．以下二次根式：①；②；③；④中，与可以合并的有__①④__(填序号)．
3．计算5－3－7＋9的最后结果是__6－2__.
4．计算下列各题：
(1)＋(－)；(2)(＋)－(－)．
解：(1)原式＝10－3；(2)原式＝3＋.
5．先化简，再求值：
(6x＋)－(4y＋)，其中x＝，y＝27.
解：原式＝6＋3－(4＋6)＝－，当x＝，y＝27时，原式＝－＝－.
【教学说明】
学生自主完成上面前3个题，教师巡视，后两个题稍难，教师适当予以点拨．
五、师生互动，课堂小结
师生共同回顾本节主要知识点及需要注意的问题．
(1)知识要点：二次根式加减的一般思路，①不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；②相同的二次根式一定要进行合并．
(2)需注意的问题：①应能将化简的二次根式化简后再进行计算，不要出现－是最后结果的类似错误；②相同的二次根式合并时，只需把它们的系数相加减，根式不变，不相同的二次根式不能进行加减，防止出现3－2＝(3－2)(－)＝－的错误．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.3”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．创设情境，给出实例．由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则．
2．三个例题，旨在帮助学生理解二次根式的加减运算．尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神，此外，例3还展示了二次根式的加减在实际问题中的应用．
第2课时　二次根式的混合运算
教学目标
【知识与技能】
1．会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算；
2．能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算．
【过程与方法】
通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，掌握二次根式混合运算方法．
【情感态度】
通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识．
【教学重点】
二次根式的混合运算．
【教学难点】
多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法．
教学过程
一、情境导入，初步认识
【问题】我们知道：
(x＋y)·xy＝x·xy＋y·xy＝x2y＋xy2，
(2x2y＋3xy2)÷xy＝2x2y÷xy＋3xy2÷xy＝2x＋3y，
(x＋y)(x－y)＝x2－y2及(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，……
试问：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？
【教学说明】
引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式，进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系，激发学生的求知欲望和探究意识．
二、思考探究，获取新知
【探究1】由(x＋y)·z＝x·z＋y·z＝xz＋yz，你能求出(＋)×的值吗？你是怎样做的？
我们可以这样做：(＋)×＝×＋×＝＋＝3＋2.
【探究2】由(x2y＋xy)÷z＝＋，你能求出(4－3)÷2的值吗？由此你有何发现？类似地，请解决以下几个小题．
(1)(＋3)(－5)；
(2)(＋)(－)；
(3)(2－)2.
我们可以依照题中的解法进行：
(4－3)÷2＝4÷2－3÷2＝2－.
(1)(＋3)(－5)＝()2－×5＋3×－3×5＝2－5＋3－15＝－2－13；
(2)(＋)(－)＝()2－()2＝5－3＝2；
(3)(2－)2＝(2)2－2×2×＋()2＝20－4＋2＝22－4.
【教学说明】
让全班同学共同参与探究，相互交流，在类比的过程中尝试给出问题的答案．教师巡视，予以点拨，肯定学生的成绩，并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识，最后师生共同给出问题的结果．
【归纳结论】
1．二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号．
2．在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用．
三、典例精析，掌握新知
【例1】计算下列各题：
(1)(4－4＋3)÷2；
(2)(＋)(－)－(＋1)2；
(3)(－－2)2＋(－)．
【分析】对算式的结构进行观察分析，运用二次根式加、减、乘、除的法则进行运算，需注意乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2的灵活运用．
解：(1)原式＝(4－2＋6)÷2＝(4＋4)÷2＝4÷2＋4÷2＝2＋2；
(2)原式＝()2－()2－[()2＋2××1＋12]＝10－7－(2＋2＋1)＝－2.
(3)原式＝(－)2＋2·(－)(－2)＋
(－2)2＋×－×＝3＋4＋8＋3－3＝14＋4－3.
【例2】已知x＝＋1，y＝－1，求下列代数式的值．
(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2
【分析】分析：由条件易知x＋y＝2，x－y＝2，而所求代数式中
(1)可化为(x＋y)2，
(2)可化为(x＋y)(x－y)，因而整体代入更简洁些，当然直接代入求值也是可行的，只不过要复杂多了．
解：∵x＝＋1，y＝－1，∴x＋y＝2，x－y＝2.
(1)原式＝(x＋y)2＝(2)2＝12；
(2)原式＝(x＋y)·(x－y)＝2×2＝4.
【教学说明】
第1题可让学生自主完成，并选派三名代表上黑板进行演算．教师巡视，了解学生对二次根式混合运算的掌握情况，及时予以帮助，帮助学生更好地掌握新知识．最后全班同学分析三位代表的解答过程及结果，深化理解．第2题仍可让学生先自主探究，如果大部分学生选用直接代入求值时，教师仍应肯定他们的成绩，但需展示本例的最佳解题思路，达到融会贯通的目的．
四、运用新知，深化理解
1．计算：
(1)(＋)；(2)(＋)÷；
(3)(＋3)(－2)；(4)(＋)(2－)．
解：(1)原式＝＋；
(2)原式＝4＋2；
(3)原式＝－1；
(4)原式＝·2－·＋2·－()2＝2a＋－b.
2．计算：
(1)(＋)(－)；(2)(＋)(－)；
(3)(2－)2；(4)(1－2)(1＋2)－(2－1)2.
解：(1)原式＝4；
(2)原式＝()2－()2＝x－(x－1)＝1；
(3)原式＝(2)2－2·2·＋()2＝20－4＋3＝23－4；
(4)原式＝12－(2)2－(12－4＋1)＝4－24.
3．(1)若a＝3＋2，b＝3－2，求a2b－ab2的值；
(2)若x＝－1，求x2＋2x＋2011的值．
解：(1)由a－b＝4，a·b＝1得
a2b－ab2＝ab(a－b)＝1×4＝4；
(2)∵x＝－1，∴x＋1＝，两边平方，得x2＋2x＋1＝2.∴x2＋2x＝1.故x2＋2x＋2 011＝1＋2 011＝2 012.
【教学说明】
第1、2两题可让学生自主完成，然后相互交流，教师根据反馈情况，及时查漏补缺，优化课堂教学．
第3题即可让学生尝试解决，也可由师生共同分析，形成解题思路后再由学生自主完善解题过程．
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有哪些疑惑？谈谈你的看法，并与同伴交流．
【教学说明】
教师以设问的形式和学生一道回顾本节主要知识及所涉及到的解题方法、技巧和数学思想方法，既是对知识的一次梳理，也是一次必要的提炼升华，完善认知．
课后作业
1．布置作业：从教材“习题16.3”中选取．
2．完成练习册中本课时练习．
教学反思
1．情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式式子的运算，培养学生继续探究的兴趣．
2．例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用．