2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第一章三角形的证明周末培优训练题（Word版 含答案）

北师大版八年级数学下册 第一章《三角形的证明》
周末培优训练题
1．如图1，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是BC延长线上一动点，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EH⊥AB，垂足为点H．直线EH与直线AC相交于点F．设∠AEH＝α，∠ADC＝β．
（1）求证：∠EFC＝∠FEC；
（2）①若∠B＝30°，∠CAD＝50°，则α＝　 　，β＝　 　；
②试探究α与β的关系，并说明理由；
（3）若将“D是BC延长线上一动点”改为“D是CB延长线上一动点”，其它条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出α与β的关系．
2．如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，F是AB中点，∠ABC＝50°，∠CAD＝60°．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若△BCF与△ACF的周长差为3，AB＝5，AC＝8，求△ABC的周长．
3．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．
{计算发现}
（1）若∠B＝70°，∠ADE＝80°，则∠BAD＝　 　，∠CDE＝　 　．
{猜想验证}
（2）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系式，并证明你的猜想．
{拓展思考}
（3）①当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝　 　．
②当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，则∠CDE＝　 　．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，点E是BA延长线上一点，点F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF．
（1）若∠ABC＝50°．求∠AEF的度数；
（2）求证：AD∥EG．
5．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．
（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；
（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．
6．如图，三角形ABC中，AC＝BC，D是BC上的一点，连接AD，DF平分∠ADC交∠ACB的外角∠ACE的平分线于F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）若∠DAC＝40°，求∠DFC的度数．
7．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的长．
8．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连结CD，DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，BD＝2时，求EB的长．
9．如图，已知∠1与∠2互为补角，且∠3＝∠B，
（1）求证：EF∥BC；
（2）若AC＝BC，CE平分∠ACB，求证：AF＝CF．
10．在△ABC中，∠BAC＝α，点D，点E在BC上，连接AD，AE．
（1）如图，若α＝120°，BA＝BE，CA＝CD，求∠DAE的度数；
（2）若DA＝DB，EA＝EC，直接写出∠DAE＝　 　（用α的式子表示）．
11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．
（1）求证：CG平分∠BCD．
（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．
13．在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．
（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：
①求证：BE＝AD；
②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；
（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．
14．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）若∠1＝50°，求∠2；
（2）连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3．
15．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：
（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　°，∠DEC＝　 　°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
参考答案
1．（1）证明：如图1中，
∵∠B＝∠CAB，
∵EH⊥AB，
∴∠AHF＝∠EHB＝90°，
∴∠B+∠BEH＝90°，∠CAB+∠AFH＝90°，
∴∠BEH＝∠AFH，
∵∠AFH＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠FEC．
（2）①∵∠B＝∠CAB＝30°，
∴∠ACD＝∠B+∠CAB＝60°，
∵∠CAD＝50°，
∴β＝∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵EA平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝25°，
∴∠EAH＝∠EAC+∠CAB＝55°，
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣55°＝35°．
故答案为35°，70°．
②如图1中，设∠DAE＝∠CAE＝x，∠B＝∠CAB＝y．
∴β＝∠ADC＝180°﹣2（x+y），
∵∠AHE＝90°，
∴α＝∠AEH＝90°﹣（x+y），
∴β＝2α．
（3）图形如图所示：结论：α+＝90°．
理由：设∠CBA＝∠CAB＝x，∠EAH＝y．
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAE＝∠DAE＝x﹣y，
∴∠DAB＝x﹣y﹣y＝x﹣2y，
∵∠CBA＝∠ADC+∠BAD，
∴x＝x﹣2y+β，
∴y＝，
∵EH⊥AB，
∴∠AHE＝90°，
∴∠AEH+∠EAH＝90°，
∴α+＝90°．
2．解：（1）∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAD＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠ABC＝50°，BE是△ABC的角平分线，
∴∠CBE＝ABC＝25°，
∴∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝25°+30°＝55°；
（2）∵△BCF的周长＝BC+BF+CF，△ACF的周长＝AC+AF+CF，
∴△BCF的周长﹣△ACF的周长＝BC+BF+CF﹣（AC+AF+CF）＝3，
∵F是AB中点，
∴AF＝BF，
∴BC﹣AC＝3，
∵AC＝8，
∴BC＝11，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝5+11+8＝24．
3．解：（1）∵∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∠B＝70°，∠ADE＝80°，
∴∠C＝70°，∠AED＝80°，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝10°，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝20°，
故答案为：20°；10°；
（2）∠BAD＝2∠CDE．
理由如下：
设∠B＝x，∠ADE＝y，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝x，
∵∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝y，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），
∴∠BAD＝2∠CDE；
（3）①由（2）知，∠BAD＝2∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD＝，
故答案为：12.5°；
②当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，
分两种情况：
当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；
当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
由①知，∠CDE′＝12.5°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，
∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，
∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．
故答案为：12.5°或102.5°．
4．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝BAC＝×80°＝40°，
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠E+∠AFE，
∴∠AEF＝∠BAD＝40°；
（2）证明：由（1）得∠AEF＝∠BAD，
∴AD∥EG．
5．解：（1）成立．
理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE＝CE；
（2）成立．
理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．
∴△ABF为等腰直角三角形
∴AF＝BF，
由（1）知AD⊥BC，
∴∠EAF＝∠CBF
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE＝BC，
∵BD＝BC，
∴BD＝AE．
6．（1）证明：∵AC＝BC，
∴∠ABC＝∠CAB，
∴∠ACE＝∠ABC+∠CAB＝2∠ABC
∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE
∴2∠ABC＝2∠FCE，
∴∠ABC＝∠FCE，
∴CF∥AB；
（2）∵CF是∠ACE的平分线，
∴∠ACE＝2∠FCE＝∠ADC+∠DAC
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠FDC；
∴2∠FCE＝∠ADC+∠DAC＝2∠FDC+∠DAC，
∴2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC
∵∠DFC＝∠FCE﹣∠FDC
∴2∠DFC＝2∠FCE﹣2∠FDC＝∠DAC＝40°
∴∠DFC＝20°．
7．（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝8，CF＝6，
∴EF＝＝10，
∴OC＝EF＝5．
8．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
过D作DH⊥CE于H，
∵BD＝2，∠DBH＝60°，
∴BH＝BD＝1，DH＝＝，DH＝EH＝，
∴BE＝EH﹣BH＝﹣1．
9．（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
∴∠2＝∠FDE，
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠AEF，
∴FE∥BC．
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠ACE．
∴FC＝FE，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠B＝∠AEF，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝FE，
∴AF＝CF．
10．解：（1）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAE）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝120°，
∴2∠DAE＝180°﹣120°＝60°，
∴∠DAE＝30°；
（2）∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C，
又在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∴∠DAB+∠EAC＝180°﹣α，
∵∠DAB+∠DAE+∠CAE＝α，
∴∠DAE+180°﹣α＝α，
∴∠DAE＝2α﹣180°，
故答案为：2α﹣180°．
11．（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴．
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠E，
∴∠CBF＝∠E，
∴BC＝CE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵F为BE的中点，
∴CF平分∠BCD，
即CG平分∠BCD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°．
∵∠ABC＝52°，
∴∠BCD＝128°．
∵CG平分∠BCD，
∴．
∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，
∴∠CGD＝46°．
12．解：（1）根据题意可得 AD＝t，CD＝6﹣t，CE＝2t
∵，∠B＝30°，AC＝6cm
∴BC＝2AC＝12cm，
∵∠C＝90°﹣∠B＝30°＝60°，△DEC为等边三角形，
∴CD＝CE，
6﹣t＝2t，
t＝2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC＝30°，
∴CE＝，
2t＝（6﹣t），
t＝；
②当∠EDC为直角时，∠DEC＝30°，
CD＝CE，
6﹣t＝?2t，
t＝3．
∴当t为或3时，△DEC为直角三角形．
13．解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，
∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，
∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BOA＝2α；
（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP与△ACM中，，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN与△DQN中，，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中点．
14．解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）连接DF，
∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠DEB，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，
∴∠1＝∠3．
15．解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，AP＝AQ，
可得∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．
16．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝72°，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，
∴FE垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
17．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐渐变小；
故答案为：25°，115°，小；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形状是等腰三角形．