5.1.2 垂线 课件 （53张）
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文档简介
(共53张PPT)
第五章
5.1.2
垂线
人教版数学七年级下册
如图所示是北京天安门
广场庄严隆重的升国旗仪式，
是亿万中国人民特别关注的
活动.众所周知，1949年10
月1日，毛泽东主席在天安
门城楼上用洪亮的声音向全
世界宣告中华人民共和国诞
生，亲手升起了第一面五星
红旗.
导入新知
天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，
人们概括有“五绝”.一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：
敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗.其中的每招每式都有
极其严格的要求.每一次，当擎旗手以优美的动作，在
国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的
最后一个音符终止，都是2分07秒，国旗也准时到达30
米高的旗杆顶端，做到了分秒不差.可是，你看着旗杆
与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？
1.认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.
2.经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.
学习目标
1
知识点
垂直的定义
观察思考
当转动一木条的位置时，什么也随着发生了变化？
合作探究
a
b
在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直.
垂足
垂
线
垂
线
定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，
如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；
记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中
一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O
叫做垂足．如图.
导引：
要判断OE，OF是什么位置关
系，其实质是说明OE，OF是
否垂直，即要看∠EOF是否为
90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题
转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
例1
如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．
新知小结
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角，
且∠BOD与∠BOE互余，即可
求出∠AOC的度数；根据OD平
分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋∠BOF即可求出
∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得
∠AOF的度数．
例2
如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
合作探究
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝
90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF，
所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
1
当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条直线互相垂直．理由：设所成的四个角中有一个角的度数为m°，则其余三个角的度数分别为180°－m°，m°，180°－m°，由题意知，m°＝180°－m°，得m°＝90°，所以180°－m°＝90°，所以这两条直线互相垂直．
解：
巩固新知
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
2
C
【中考·德宏州】如图，三条直线相交于点O，
若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( )
A．30°
B．34°
C．45°
D．56°
3
B
如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为( )
A．36°
B．54°
C．55°
D．44°
4
B
如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
5
C
已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6
D
2
知识点
垂线的画法
用三角尺画垂线的方法：
一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；
二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；
三画，画出垂线．
如果作线段互相垂直或作射线的垂
线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线
所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部
分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长
线上，并记上直角符号“﹁”．
合作探究
注意：画垂线也可用以下两种方法：
(1)利用量角器画；(2)用折叠法画．
例3
如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请
你按照下列要求画图：
(1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画
已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可．
解：画出的直线m，n，p如上页图.
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知
点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角
是90°.
新知小结
过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足
在( )
A．这条线段上
B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
1
D
巩固新知
3
知识点
垂线的性质
探究
如图.
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
合作探究
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直
线的一条垂线，并且只
能画出一条垂线.即
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直.
新知小结
在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件:
其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点；
“有且只有”中的“有”是指能画出一条已知直线的
垂线，即存在性，“只有”是指只能画一条，即唯
一性．
例4〈厦门〉如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内，
若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合
题意的图形可以是( )
C
合作探究
导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直，
由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直，所以A、B、C三
点在一条直线上．
利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：
1.
在平面内；
2.
过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；
3.
相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
新知小结
在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
1
C
巩固新知
如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只
有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直
D．两点之间，线段最短
2
C
以下几个方面由学生自己总结:
①
垂线的定义及垂直的符号表示;
②
垂线的有关性质;
③
过一点作已知直线的垂线的方法.
1
知识小结
归纳新知
(1)在图①中，过AB外一点M作AB的垂线；
(2)在图②中，过点A，B分别作OB，OA的垂线．
2
易错小结
解：
(1)如图①所示．
(2)如图②所示．
本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或射线上．
易错点：误认为垂足一定要在线段或射线上而导致
错误.
互相垂直
AB⊥CD
∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°
课后练习
B
C
B
D
用三角尺的一条直角边靠在已知直线上
使已知点落在另一条直角边上
过已知点画出与已知直线垂直的直线
C
有且只有
上
存在
唯一
D
B
【答案】A
再见
第五章
5.1.2
垂线
人教版数学七年级下册
如图所示是北京天安门
广场庄严隆重的升国旗仪式，
是亿万中国人民特别关注的
活动.众所周知，1949年10
月1日，毛泽东主席在天安
门城楼上用洪亮的声音向全
世界宣告中华人民共和国诞
生，亲手升起了第一面五星
红旗.
导入新知
天安门广场的升国旗仪式一招一式欣赏性极强，
人们概括有“五绝”.一绝：升旗；二绝：护旗；三绝：
敬礼；四绝：礼毕；五绝：收旗.其中的每招每式都有
极其严格的要求.每一次，当擎旗手以优美的动作，在
国歌奏响第一个音符时，将国旗展开抛出，到国歌的
最后一个音符终止，都是2分07秒，国旗也准时到达30
米高的旗杆顶端，做到了分秒不差.可是，你看着旗杆
与地面，会想到旗杆与地面有怎样的位置关系呢？
1.认识生活中的垂直现象,理解垂直定义,并能用符号表示.掌握垂线的性质,会过一点作已知直线的垂线.
2.经历垂线画法,垂线的性质以及点到直线的距离的探索过程,尝试从不同角度寻求垂线的画法,用不同方法得到垂线的性质.
学习目标
1
知识点
垂直的定义
观察思考
当转动一木条的位置时，什么也随着发生了变化？
合作探究
a
b
在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直.
垂足
垂
线
垂
线
定义：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，
如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直；
记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”；其中
一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O
叫做垂足．如图.
导引：
要判断OE，OF是什么位置关
系，其实质是说明OE，OF是
否垂直，即要看∠EOF是否为
90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝
∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题
转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
例1
如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
因为CO⊥AB，所以∠AOC＝90°.
又因为∠AOE＝∠COF，
所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，
即∠AOC＝∠EOF＝90°.
所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直，主要
依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四
个角中有一个角是直角即可．
新知小结
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角，
且∠BOD与∠BOE互余，即可
求出∠AOC的度数；根据OD平
分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋∠BOF即可求出
∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得
∠AOF的度数．
例2
如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE，
OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF.如果∠BOE＝
50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
合作探究
解：因为OE⊥CD，所以∠DOE＝90°(垂直定义)．
因为∠BOE＝50°，
所以∠AOC＝∠BOD＝∠DOE－∠BOE＝
90°－50°＝40°.
因为OD平分∠BOF，
所以∠BOF＝2∠BOD＝80°.
所以∠EOF＝∠BOF＋∠BOE＝80°＋50°＝130°，
∠AOF＝∠AOB－∠BOF＝180°－80°＝100°.
1
当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？
当两条直线相交，所成的四个角都相等时，这两条直线互相垂直．理由：设所成的四个角中有一个角的度数为m°，则其余三个角的度数分别为180°－m°，m°，180°－m°，由题意知，m°＝180°－m°，得m°＝90°，所以180°－m°＝90°，所以这两条直线互相垂直．
解：
巩固新知
如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝145°，则∠3的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
2
C
【中考·德宏州】如图，三条直线相交于点O，
若CO⊥AB，∠1＝56°，则∠2等于( )
A．30°
B．34°
C．45°
D．56°
3
B
如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD，若∠COA＝36°，则∠DOB的大小为( )
A．36°
B．54°
C．55°
D．44°
4
B
如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
5
C
已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①②中，正确的有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6
D
2
知识点
垂线的画法
用三角尺画垂线的方法：
一贴，用三角尺的一条直角边贴住已知直线；
二靠，用三角尺的另一条直角边靠住已知点；
三画，画出垂线．
如果作线段互相垂直或作射线的垂
线，实际上是作线段所在的直线互相垂直，或作射线
所在的直线的垂线，因为射线和线段都是直线的一部
分．在垂线的画法中，有时需延长线段，垂足在延长
线上，并记上直角符号“﹁”．
合作探究
注意：画垂线也可用以下两种方法：
(1)利用量角器画；(2)用折叠法画．
例3
如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请
你按照下列要求画图：
(1)过M点画直线AB的垂线m；
(2)过M点画直线BC的垂线n；
(3)过M点画直线AC的垂线p.
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画
已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知
直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画”
的方法画图即可．
解：画出的直线m，n，p如上页图.
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知
点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角
是90°.
新知小结
过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足
在( )
A．这条线段上
B．这条线段的端点处
C．这条线段的延长线上
D．以上都有可能
1
D
巩固新知
3
知识点
垂线的性质
探究
如图.
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?
(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
合作探究
经过一点(已知直线上或直线外)，能画出已知直
线的一条垂线，并且只
能画出一条垂线.即
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直.
新知小结
在平面内，不是在空间内，这是需要注意的条件:
其中，一点可以是直线上一点也可以是直线外一点；
“有且只有”中的“有”是指能画出一条已知直线的
垂线，即存在性，“只有”是指只能画一条，即唯
一性．
例4〈厦门〉如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内，
若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合
题意的图形可以是( )
C
合作探究
导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直，
由垂线的性质可知，在同一平面内，过一点有且
只有一条直线与已知直线垂直，所以A、B、C三
点在一条直线上．
利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件：
1.
在平面内；
2.
过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；
3.
相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
新知小结
在同一平面内，下列语句正确的是( )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．和一条直线垂直的直线有两条
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．若两直线相交，则它们一定垂直
1
C
巩固新知
如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只
有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直
D．两点之间，线段最短
2
C
以下几个方面由学生自己总结:
①
垂线的定义及垂直的符号表示;
②
垂线的有关性质;
③
过一点作已知直线的垂线的方法.
1
知识小结
归纳新知
(1)在图①中，过AB外一点M作AB的垂线；
(2)在图②中，过点A，B分别作OB，OA的垂线．
2
易错小结
解：
(1)如图①所示．
(2)如图②所示．
本题易错之处在于误认为垂足一定落在线段或射线上．
易错点：误认为垂足一定要在线段或射线上而导致
错误.
互相垂直
AB⊥CD
∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝∠AOD＝90°
课后练习
B
C
B
D
用三角尺的一条直角边靠在已知直线上
使已知点落在另一条直角边上
过已知点画出与已知直线垂直的直线
C
有且只有
上
存在
唯一
D
B
【答案】A
再见