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2020-2021学年八年级下学期单元检测卷（北师大版）
第1章
三角形的证明（强化练）试题答案
（考试时间：100分钟
满分：120分）
选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值，根据勾股定理求出AD，再根据面积不变求出BH即可．
解：解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，
∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
∴BM′＋M′N′=
BM′+
M′H
=BH，
∵BH是点B到直线AC上各点的最短距离，
∴BH
=BM′＋M′N′为所求的最小值，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=5，
∴AD＝=12，
∵S△ABC＝AC×BH＝BC×AD，
∴13×BH＝10×12，
解得：BH＝，
故选：C．
2．C
解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，∠ACE＝∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠CBE＝∠BEM，∠BCE＝∠CEN，
∴∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠CEN，
∴BM＝ME，CN＝NE，
∴△AMN的周长＝AM+ME+AN+NE＝AB+AC，
∵AB＝AC＝4，
∴△AMN的周长＝4+4＝8．
故选C．
3．B
解：∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠AED=90°，
∴∠A=∠ABD，
∵∠ADE=40°，
∴∠A=90°-40°=50°，
∴∠ABD=∠A=50°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=65°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°，
故选：B．
4．B
解：∵∠BCE＝∠ACD，
又∵∠BCE＝∠BCA＋∠ACE，∠ACD＝∠DCE＋∠ACE，
∴∠BCA＝∠DCE，
∵∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，
∴△BAC≌△EDC（ASA），
∴AC＝CD，
∴∠CAE＝∠D＝40°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠CAE）＝70°，
∵∠AEC＝∠D＋∠DCE，
∴∠DCE＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝110°．
故选：B．
5．C
解：如图，作于点，于点，延长，取，连接，
故选：C.
6．C
解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正确，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故B正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故D正确，
若C成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，
故选：C．
7．B
解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，∠A＝50°，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
8．A
解：∵DE⊥AB，
∴∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，AE＝10，
∴DE＝AE＝5，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝DE＝5，
故选：A．
9．B
解：如图，以AC为边在AC右侧作等边三角形ACE，连接ME，过A作AH⊥ME于H，
由题可知，BC=MC，AC=EC，∠MCB=∠ACE=∠AEC=60°，
∴∠BCA=∠MCE，
在△BCA和△MCE中，
∴△BCA≌△MCE，
∴∠MEC=∠BAC=90°，
∴∠AEM=90°-60°=30°，
因此点M在直线ME上运动，
当点M运动到点H时，AM最短，
∵AE=4，
∴AH=2，
∴的最小值为2，
故选：B．
10．B
解：连接BD、DC，
∵AD平分∠
BAC，，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=9，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．
11．B
解：在BC上截取BE=BA=6，
∵平分，
∴∠ABD=∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD，
∴∠A=∠BED，∠ADB=∠BDE，
∠ADE=2∠ADB，
∵
∴∠ADE=∠A=∠BED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD=7，
BC=BE+CE=13，
故选：B．
12．A
解：∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∵BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C，∠A=∠ABD，
∴AD=BD，即AC=AD+CD=2BD，①正确；
根据折叠的性质可知∠DBE=∠ABD，∠ADB=∠BDE，
∴∠DBE=∠ABD=∠A，∠ADB=∠BDE=2∠C，
∴∠CBE=2∠A-90°，∠CDE=180°-4∠C，
∴
，②正确；
∵，
∴，③正确；
∴，④正确；
综上所述，正确的有4个，
故选：A．
填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．60
解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECD=∠ACD，
∴∠BEC+∠EBC=（∠BAC+∠ABC），
∴∠BEC=∠BAC，
∵∠BEC=30°，
∴∠BAC=60°，
过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，
∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，
∴EF=EH，EF=EG，
∴EF=EG=EH，
∴AE平分∠CAH，
∴∠EAC=（180°∠BAC）=（180°60°）=60°．
故答案为：60°．
14．14
解：∵等腰△ABC中，顶角∠A=42，
∴∠ABC=∠ACB=×（180-42）=69，
∴∠ACD=111，
∵点E，F是内角∠ABC与外角∠ACD三等分线的交点，
∴∠FBC=×69=23，∠FCA=×111=74，
∴∠BCF=143，
∴∠BFC=180-23-143=14．
故答案为：14．
15．
解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，
∵AD＝AC′＝4，D是AC边上的中点，
∴DC＝AD＝4，
由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，
∴DC＝DC'＝4，BC＝BC'，CM＝C'M，
∴AD＝AC′＝DC'＝4，
∴△ADC'为等边三角形，
∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，
∵DC＝DC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，
在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝4，
∴DM＝2，
∴由勾股定理可得C'M＝DM＝2，
∴BM＝BD﹣DM＝6﹣2＝4，
在Rt△BMC'中，
BC'＝，
∵＝BC'?DH＝BD?C'M，
∴2×DH＝6×2，
∴DH＝，
∵∠DCB＝∠DBC'，
∴点D到BC的距离为．
故答案为：．
16．1或7．
解：∵，，，
∴AM=BM=4，
如图，当Q1在AB下方时，
∵，，
∴，
∴，
，
同理，，
∴的长为1或7，
故答案为1或7．
17．或或．
解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，
当DE=DF时，如图1，
此时DE=DF=BE=CF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF，
∴EH=FH，，
∴，
∴，
设，则，
则在直角△DHE中，
，
解得，
当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N，
可知BE=DE=EF，
∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8
∴BH=CH=4，
∴，
设，则，
∴，即
∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，
∴AN⊥BD，BN=DN，
∴，
∴
在△AHE和△BNE中，
∴△AHE≌△BNE，
∴AE=BE，
设，则，
在直角△AEH中，
，
解得，
当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，
同理
∴
故答案为：或或．
18．
解：连接BD，作FM⊥ED，FN⊥BD，分别交ED和BD于M、N，
∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠E=∠ADC=45°，
∴∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，
∴∠ACE
=∠BCD，
∴△ACE≌△BDC（SAS），
∴∠BDC=∠E=45°，BD=AE=?，
∵AD＝2，
∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，
∴，
∵,
∴,，
∵∠BDC=∠ADC=45°，FM⊥ED，FN⊥BD，
∴FM=FN，
∴，
∴，即，
．
故答案为：．
三、解答题（共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解：（1）证明：①如图1，连接，
∵，为的中点，
∴直线是等腰的对称轴，
∵在上，
∴由轴对称性质得：，，
又∵是等边三角形，
∴，
∴，∴，
则．
②如图1，在上截取，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
则．
（2）如图2，（1）中的结论②不成立．
在上截取，由（1）得，
，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
则．
故线段，，三者之间的数量关系为．
20．解：（1）∵，
∴m2＋2mn＋n2＋n2?2n＋1＝0，
∴（m＋n）2＋（n?1）2＝0，
∴m＋n＝0，n?1＝0，
∴n＝1，m＝?1，
∴A（?1，1），B（1，?1）；
（2）证明：如图，过点B作BH⊥AF交AF延长线于点H，连接EH，
∵点A的坐标为（?1，1），点B的坐标为（1，?1），
∴H（?1，?1），
∴AF＋FH＝2，
又∵AF＋AE＝2，
∴AE＝FH，
又∵CG＝1，AC=1，CE＝CB，
∴AE＝FH＝BG，AH＝BH＝2，
∵AC⊥y轴，AD⊥x轴，BH⊥AH，
∴∠FHB＝∠EAH=90°，
又∵AH=BH=2，
∴△EAH≌△FHB（SAS），
∴EH＝FB，∠EHA＝∠FBH，
∵CE＝CB，
∴∠CEB＝∠CBE，
又∵∠HBE＝∠CEB，
∴∠HBE＝∠EBC，
∴∠FBG＝∠EHF，
在△EFH与△FBG中，
EH＝FB，∠EHF＝∠FBG，FH＝BG，
∴△EFH≌△FBG（SAS），
∴EF＝FG．
21．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAE，
即∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
即△CEF是等腰三角形；
（2）AB＝2AC，
理由是：∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC；
（3）∵AC＝2.5，
∴AB＝2AC＝5，
由（2）得，∠CAB=60°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CEA=30°，设CE为x，则AE为2x,
AC=，
x=，
过E作EM⊥AB于M，
∴EM＝CE＝，
∴△ABE的面积S＝＝5×＝．
22．解：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）∵∠ADC＝30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=30°+60°=90°，
∵AD＝4，DE=CD＝5，
在直角△ADE中，由勾股定理得
，
∴；
（3）过A作AF⊥CD于F，如图：
∵∠ACB=60°，∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∵∠AFC=∠AFD=90°，
∴∠CAF=30°，
∵AC=3，CD=5，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理，则
．
23解：[探究1]：证明：在和中，
∵，
∴
[探究2]：
猜想：
理由如下：当点D在线段上时，如图2．
延长至点G，使得，连结．
在和中，
∵，
∴．
∴．
又∵F在的垂直平分线上，
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3．
同理可得，．
综上所述，．
[探究:3]：在中，．
∵，
∴．
24．
解：（1）∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴≌；
（2），
∵≌，
∴
AF=CE，
又∵
BO=CO，∠COE=∠BOG，∠OCE=∠OBG，
∴△BOG≌△COE，
∴BG=CE，
∴BG=AF；
（3）①不变，，如图2，理由如下：
∵，，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴≌，
∴，，
由（1）可得≌，
∴，，
∴，
∴在中，，
∵∴，
又∵，
∴．
②的面积为或
在图2中，，
且，，
∴；
在图3中，，
且，，
∴．
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2020-2021学年八年级下学期单元检测卷（北师大版）
第1章
三角形的证明（强化练）试题
（考试时间：100分钟
满分：120分）
选择题（共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，在等腰△ABC中，，，D是边上的中点，M，N分别是和上的动点，则的最小值是（
）
A．10
B．12
C．
D．
2．如图，在△ABC中，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于M、N，则的周长为（
）
A．12
B．4
C．8
D．不确定
3．如图，在等腰三角形中，，垂直平分，已知，则度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在四边形ABCD中，点E在边AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D＝40°，AB＝DE，AC＝AE，则∠B的度数为（
）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
5．已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°．
连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF．
若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（ ）
A．BD＝CE
B．BD⊥CE
C．AF平分∠CAD
D．∠AFE＝45°
7．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝10，则CE的长为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
9．如图，垂直于直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（
）
A．19
B．28
C．29
D．38
11．如图，在△ABC中，平分，，，，则的长为（
）
A．3
B．13
C．12
D．14
12．如图，在中，，点D在边AC上，，且与关于直线BD对称．现有如下4个结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（
）
A．4
B．3个
C．2个
D．1个
填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
13．如图，已知，、分别平分和且度，则______度．
14．如图，等腰△ABC中，顶角，点E，F是内角与外角三等分线的交点，连接EF，则_________．
15．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点A′，连接AC′，若AD＝AC′＝4，BD＝6，则点D到BC的距离为_____．
16．如图，在中，，过点作于点，在直线上找一点，使得，则的长为___________．
17．如图，已知等腰△ABC中，ABAC5，BC8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．
18．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，CD交AB于点F，若AE＝?，AD＝2，则△ACF的面积为_____．
三、解答题（共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．已知：在等腰△ABC中，，是边的中点，点在直线上，点在的延长线上，是等边三角形．
（1）如图1，当点在线段的延长线上时，求证：
①；②；
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的结论②是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．
20．在平面直角坐标系中，已知点A（），B（），其中满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图，作AC⊥y轴于点C，AD⊥x轴于点D，在CA延长线上取一点E，使CE=CB，连结BE交AD于点F，恰好有AF+AE=2，点G是CB上一点，且CG=1，连结FG，求证：EF=FG．
21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．
22．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．
（1）求证：BD＝AE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝4，CD＝5，求BD的长；
（3）若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．
23．如图1，已知，点D是射线上的动点，延长至点E，使得，连结，过点D作，交的垂直平分线于点F，连结，探究与的关系．
下面是小明遵循老师平时说的“一般问题特殊化入手研究”的思路所做的探究活动请你根据小明的探究思路，回答下列问题．
[探究1]如图2小明先探究点D与点C重合，延长至点G，使得，连结，，发现一些全等三角形，如：等，从而发现．
请证明：．
[探究2]当点D与点C不重合时，猜想与的关系，并说明理由．
[探究3]小明由角度的关系联想到了线段之间的关系，当时，探究线段与的数量关系．
24．在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点（点不与点、、重合），过点作于点，过点作于点，连接，．
（问题探究）如图1，当点在线段上运动时，延长交于点，
（1）求证：≌；
（2）与的数量关系为：______（直接写结论，不需说明理由）；
（拓展延伸）
（3）①如图2，当点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明．
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