新人教A版高中数学必修第二册：平面向量共线定理的坐标表示

授课主题
平面向量共线的坐标表示
教学目标
1．理解向量共线定理．2．掌握两个向量平行(共线)的坐标表示和会应用其求解有关两向量共线问题．
教学内容
1．向量共线定理1）向量a与非零向量b共线的条件是当且仅当存在实数λ，使a＝λb2）为什么要规定b为非零向量？答：若向量b＝0，则由向量a，b共线得a＝λb＝0，但向量a不一定为零向量．2．两个向量平行(共线)的坐标表示1）设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于x1y2－x2y1＝02）设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?＝要满足什么条件？答：a∥b?＝的适用范围是x2≠0，y2≠0，这与要求b是非零向量是等价的．题型一　平面向量共线的坐标运算例1　若向量a＝，b
＝
，c＝，且a∥b∥c，求x，y的值．分析：由平面向量共线的坐标运算可得．解析：∵a∥b∥c，由向量共线的坐标表示得∴解得点评：记住已知a＝，b＝，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.巩
固　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向还是反向．分析：先求出向量ka－b与a＋3b的坐标，然后根据向量共线条件可求解．解析：∵
a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k－＝，a＋3b＝＋3＝.∵向量ka－b与a＋3b平行，∴3＋7＝0，解得k＝－.∵k＝－，ka－b＝－(a＋3b)，所以向量ka－b与a＋3b反向．题型二　平面向量共线的证明例2　已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，求证A、B、C三点共线．分析：证向量与共线．证明：∵
A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，∴＝，＝.∴＝.∵，有公共点A，∴A、B、C三点共线．点评：
通过证有公共点的两向量共线，从而证得三点共线．巩
固　已知＝，＝，＝，当k为何值时，A、B、C三点共线？分析：由A、B、C三点共线，可得与共线．解析：∵＝，＝，＝，∴＝，＝.∵A、B、C三点共线，∴＋42＝0.解得k＝11或k＝－2.题型三　用共线向量的性质求坐标例3　若M，N，
且
＝，则P点的坐标是________．分析：设P，由＝可求解．解析：设P，则＝，＝.∵
＝，∴＝＝?x＝－1，y＝－.∴P.答案：点评：把求点的坐标转化为向量共线问题．巩
固　若M，N，且＝－2
,
则P点的坐标是________．解析：设P，则＝，＝.∵
＝－2，∴＝－2＝(16，－2)．解得P.答案：题型四　共线向量的综合应用例4　如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A、B、C三点共线．分析：把向量＝i－2j和＝i＋mj转化为坐标表示，再根据向量共线条件求解．解析：∵＝i－2j，＝i＋mj，∴＝，＝.∵
A、B、C三点共线，即向量与共线，∴m＋2＝0，解得m＝－2.点评：向量共线的几何表示与代数表示形式不同但实质一样，在解决问题时注意选择使用．巩
固　已知A，B，C.(1)若A、B、C三点共线，求a，b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标．解析：(1)＝，＝，∵A、B、C三点共线，∴与共线．∴2＋2＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，∴＝2?a＝5，b＝－3.∴C.1．若a＝(2,3)，b＝(4，－1＋y)，且a∥b，则y＝(　　)A．6　　　　B．5　　　　C．7　　　　D．8答案：C2．已知点M是线段AB上的一点，点P是平面上任意一点，＝＋，若＝λ，则λ等于(　　)A.
B.
C.
D.解析：用，表示向量，.∵＝＋＝＋＋＝－＋，＝＋＝－＋＝－＋＋＝－＋，∴＝.答案：D3．已知?ABCD四个顶点的坐标为A(5,7)，B(3，x)，C(2,3)，D(4，x)，则x＝__________.答案：54．已知两点A(1,3)、B(4，－1)，则与向量同向的单位向量是(　　)A.
B.
C.
D.
解析：＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.答案：A5．已知A，B，C，D，判断与是否共线．解析：∵＝(4,4)，＝(－8，－8)，∴＝－.∴与共线．6．已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)
，D(2,7)
，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？解析：＝，＝，＝2，所以向量与平行，即直线AB平行于直线CD.7．已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．(1)求实数x的值，使向量与共线．解析：＝，＝，∵向量与共线，∴x2－4＝0，解得x＝±2.(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解析：x＝2时，不在同一条直线上；x＝－2时，在同一条直线x＋2y＋2＝0上．8．△ABC的顶点A、B、C分别对应向量a＝，b＝，c＝其重心为G，对应的向量为g＝.求证：x0＝，y0＝.证明：设AD为BC边的中线，O为坐标原点．则＝＋＝＋＝＋＝＋＝.∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，G(x0，y0)∴x0＝，y0＝.9．已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．分析：(1)只需证明a·b＝0即可；(2)由已知条件得到cos
α＋cos
β，sin
α＋sin
β的值，然后再利用诱导公式得到α，β间的关系即可求得α，β的值．(1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)解析：因为a＋b＝(cos
α＋cos
β，sin
α＋sin
β)＝(0,1)，所以由此得，cos
α＝cos，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin
α＋sin
β＝1，得sin
α＝sin
β＝，而α＞β，所以α＝，β＝.1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝(　　)A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D．2答案：B2．已知向量a＝(2,4)，b＝(－3，－6)，则a和b(　　)A．共线且方向相同B．共线且方向相反C．是相反向量D．不共线解析：a＝－b且－<0，∴a和b共线且方向相反．故选B.答案：B3．若A(x，－1)，B(1,3)，C(2,5)三点共线，则x的值为(　　)A－3
B．－1
C．1
D．3答案：B4．已知a＝(4,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝______.答案：35．向量a＝(－1，x)与b＝(－x，2)共线且方向相同，则x＝　　　　.答案：6．已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．解析：方法一　设D(x，y)，由＝得(4,1)＝(5－x，6－y)，∴解得∴D(1,5)．方法二　设D(x，y)，AC与BD的交点为E，则E(2,2)．又E，∴＝2，＝2，解得x＝1，y＝5.∴D(1,5)．
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