新人教A版高中数学必修第二册：平面向量的基本定理及其坐标表示

授课主题
平面向量基本定理及坐标表示
教学目标
1．准确理解平面向量的基本定理．2．理解能成为向量基底的条件是不共线．3．理解向量的夹角前提条件是共起点．4．理解平面向量的正交分解．5．理解向量的坐标表示．6．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量的坐标运算．
教学内容
1．平面向量的基本定理1）如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a
＝
λ1e1＋λ2e2．2）我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．3）平面内的基底可以有无数多个，只要两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底．2．向量的夹角1）不共线向量的夹角．显然，不共线的向量存在夹角，关于向量的夹角，我们规定：已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．2）共线向量的夹角．当θ＝0°时，表示a与b同向；当θ＝180°时，表示a与b反向．3)
垂直向量．如果a与b的夹角是90°，就称a与b垂直，记作a⊥b.4）向量的夹角与直线的夹角有什么不同？向量与的夹角与向量与的夹角相同吗？答：不同．向量的夹角的范围为[0°，180°]，而直线的夹角范围为[0°，90°]．设向量与的夹角为θ，则向量与的夹角为π－θ.3．平面向量的坐标表示1）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量叫做向量的正交分解．2）在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得a＝xi＋yj．这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．3）几个特殊向量的坐标表示：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).4）以原点O为起点作向量，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)，就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标．5）点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？答：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标．4．向量的坐标运算1）两个向量和差的坐标运算．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2).2）数乘向量的坐标运算．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy).3)
向量的坐标表示．若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．4）向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量经过平移以后得到向量，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关．题型一　向量共线问题例1　设e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，
a
＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是(　　)
A．λ1＝1
B．λ1＝2
C．λ1＝3
D．λ1＝4解析：a，b共线，则存在实数k，使得a＝kb即可求解．但作为选择题，看到a
＝λ1e1＋e2中e2的系数为1，而b＝4e1＋2e2中e2的系数为2，所以λ1＝2.答案：B点评：若两个向量共线，则作为基底的两个向量相应系数成比例．巩
固　设＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，那么下列各组的点中三点一定共线的是(　　)A．A、B、C
B．A、C、DC．A、B、D
D．B、C、D解析：由＝－2a＋8b，＝3a－3b得＝a＋5b.答案：C题型二　用基底表示向量例2　已知AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝(　　)A.
(
a－
b)
B．－(
a－
b)C．－(
a＋b)
D.
(
a＋b)解析：如图所示，＝＋，＝2，由此即可得到答案．答案：D点评：
(1)用已知向量来表示未知向量，一般要用到平行四边形、三角形法则和平行向量的性质等运算技巧．(2)把“AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝”作为结论记住，有较为广泛的应用．巩
固　如上图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝________，＝______________(用a、b表示)．解析：＝－＝＋＝＋＝＋＝a＋b.＝－＝＋＝＋＝＋＝a＋b.答案：a＋b　a＋b题型三　向量在几何中的应用例3　如图，平行四边形ABCD中，M、N分别是DC、BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和.分析：可以根据“正难则反”的思想求解，即改为用、来表示向量a、b，然后将、看做未知量，加以方程思想，以求、.解析：在平行四边形ABCD中，＝＋.在△ADC中，M为DC的中点，＝，∴a＝.①在△ABC中，N为BC的中点，＝，∴b＝.②由①②解得＝，＝.点评：本题若利用向量的加减法法则，结合M、N为DC、BC中点的性质，可直接用a、b表示和，但有一定的困难，解题过程繁琐．所以就可以根据“正难则反”的思想求解，即改为用、来表示向量a、b，然后将、看做未知量，加以方程思想，求得、，就容易多了．巩
固　如图所示，已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b为基底表示，，.分析：和是两个不共线向量，可以看做是一组基底，一定可以把平面中的任一向量用和表示，关键是找到λ1和λ2两个系数．解析：连接FD，∵AB∥DC，且AB＝2CD，E、F分别是DC、AB的中点，∴DC綊FB，∴四边形DFBC为平行四边形，依题意，＝＝＝b，＝＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－－＝－－×b＝－a＋b.题型四　向量共线的其他表达形式例4　设、不共线，P点在AB上，求证：＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.证明：∵P点在AB上，所以与共线，∴＝t.∵＝＋＝＋t＝＋t＝＋t，令λ＝1－t，μ＝t，则有＝λ＋μ，λ＋μ＝1.点评：(1)解答本题的关键在于紧扣向量共线的条件得＝t，然后转化为以O为始点的向量关系，化简得结论．(2)本题也可以看做是用，做基向量，根据平面向量基本定理得到，如下跟踪训练题4.巩
固　设、不共线，＝t，用，表示.解析：∵＝t，∴＝＋＝＋t＝＋t＝＋t.题型五　平面向量的坐标运算例5　已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b,3a＋4b.分析：利用向量的坐标运算法则．解析：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，3a＋4b＝3＋4＝＋＝.点评：(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标．(2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．巩
固　已知a＝，b＝，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.解析：(1)2a＋3b＝2＋3＝＋＝.(2)a－3b＝－3＝－＝.(3)a－b＝－＝－＝.题型六　用方程思想求向量坐标例6　已知a＋b＝，a－b＝，求a和b.分析：设a＝，b＝，则问题就可转化为方程思想解决．解析：方法一　设a＝，b＝，则解得∴a＝，b＝.方法二　a＝＝，b＝＝.点评：上面两种方法都是通过解方程组得到解决，方法一侧重以坐标为主体的方程，方法二是整体思想，解向量方程．巩
固　已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，c＝(－6,19)，用a，b表示c.解析：设c＝xa＋yb，则有＝x＋y＝
，∴
解得∴c＝3a＋4b.题型七　平面向量的坐标表示例7　已知A，B，C和D.以，为一组基底来表示＋＋.分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识，求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式＋＋＝m·＋n·，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数．解析：＝，＝，＝，＝，＝.＋＋＝＋＋＝.根据平面向量的基本定理，一定存在实数m，n使得
＋＋＝m·＋n·，即＝，可得
解得所以＋＋＝32－22.点评：
坐标运算要熟记公式，始点和终点的前后顺序不可颠倒，否则会出现错误．巩
固　若A，B，C三点的坐标分别为，，，求＋和－2的坐标．分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算．问题已给出A、B、C三点的坐标，因此可写出向量、、的坐标，进而利用向量的数乘、加、减的坐标运算，问题就可得解．解析：∵＝，＝，＝.∴＋＝＋＝＋＝.－2＝(－8,4)－2(－10,14)＝(－8,4)－(－20，28)＝.题型八　平面向量坐标在几何中的应用例8　已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点．分析：根据平行四边形对边平行且相等，即有＝，＝.解析：设D，则＝－＝，＝－＝.∵＝，∴
解得∴D.点评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知的点的坐标，是一种最基本的方法．巩
固　已知平面上三点的坐标，分别为A(1,2)，B(3，－1)，C(5,6)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点．解析：设D，则＝－＝，＝－＝.∵＝，∴
解得∴D.A组1．已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填共线或不共线)．答案：不共线
不共线2．已知a、b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.答案：03．下面四种说法中，正确的是(　　)①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λ1e1＋λ2e2成立的实数对一定是唯一的．A．②④　　　　　
B．②③④C．①③
D．①③④答案：B4．设O是平行四边形ABCD的两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.其中可作为表示这个平行四边形所在平面内的所有向量的基底是(　　)A．①②　　B．①③　　C．①④　　D．③④答案：B5．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，则(　　)A．λ＝0
B．λ＝－C．λ＝－1
D．λ＝－2
答案：B6．已知a，b是两个不共线的向量，m，n∈R且ma＋nb＝0，则(　　)A．m＝0或n＝0
B．m，n的值不确定C．m＝n＝0
D．m，n不存在答案：CB组1．如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么(　　)A．若实数λ1、λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1、λ2是实数C．对实数λ1、λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2有无数对答案：A2．如果3e1＋4e2＝a,2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________.答案：e1＝3a－4b　e2＝－2a＋3b3．设e1，e2是平面内一组基底，如果＝3e1－2e2，＝4e1＋e2，＝8e1－9e2，则共线的三点是(　　)A．A、B、C
B．B、C、DC．A、B、D
D．A、C、D答案：C4．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2解析：∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，故选B.答案：B5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.解析：由题意，得3x－4y＝6且2x－3y＝3，解得x＝6，y＝3，∴x－y＝3.答案：3C组1．如下图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝________.解析：∵E、F分别为相应边中点，∴＝＝(a＋b)＝a＋b.答案：a＋b2．在三角形ABC中，＝，EF∥BC交AC于F点，设＝a，＝b，试用a，b表示向量.解析：如图所示，∵＝，EF∥BC交AC于F点，∴＝＋＝＋
＝－＋＝－＋＝－a＋b.3．若a，b是两个有相同起点且不共线的非零向量，当t(t∈R)为何值时，三向量a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上？解析：设＝a，＝tb，＝(a＋b)，∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.要使A，B，C三点共线，则＝λ，即－a＋b＝λtb－λa，∴解得t＝.∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．
4．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.解析：设＝b，＝a，则＝b－a，＝b－a，＝b－a.代入条件＝λ＋μ得λ＝μ＝.∴λ＋μ＝.A组1．若O(0,0)，A(－1,3)且＝3
，则点B的坐标为(　　)A．(3,9)　　　　　　B．(－3,9)C．(－3,3)
D．(3，－3)解析：＝3
＝3(－1,3)＝(－3,9)，所以点B的坐标为(－3,9)．故选B.答案：B2．已知＝，＝，则＝(　　)A．(0,5)
B．(0,1)C．(2,5)
D．(2,1)答案：D3．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，c＝2a＋b则c＝(　　)A.
B．(5,0)C.
D．(0,5)答案：B4．若点A，B(1,3)，则＝________.答案：B组1．若＝，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为(　　)A．(1,1)　　　　　　　　　B.C.
D.答案：C2．已知平行四边形OABC(O为原点)，＝(2,0)，＝(3,1)，则OC等于(　　)A．(1,1)
B．(1，－1)C．(－1，－1)
D．(－1,1)解析：＝＝－＝(3,1)－(2,0)＝(1,1)，故选A.答案：A3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)A．－a＋b
B.
a－bC.
a－b
D．－a＋b答案：B4．已知a＝，b＝，实数x，y满足xa＋yb＝，则x＝________.答案：－1　5．若将向量a＝(，1)按逆时针方向旋转得到向量b，则b的坐标为________．答案：(－1，)6．已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(6,1)，C(8,5)，则点D的坐标为________．答案：C组1．作用于原点的两个力F1＝，F2＝，为使它们平衡，需加力F3＝________.答案：2．已知A，B，点P在线段AB的延长线上，且＝，求点P的坐标．解析：设P，由点P在线段AB的延长线上，且＝，得＝，即解得∴P点的坐标为.3．已知A(－2,1)，B(1,7)，求线段AB的三等分点P，Q的坐标(其中P距点A近)．解析：设P(x，y)，∵P为AB的三等分点，∴＝，即(x＋2，y－1)＝(3,6)．∴?∴P(－1,3)同理可求Q(0,5)．
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