新人教A版高中数学必修第二册：平面向量的数量积运算
文档属性
| 名称 | 新人教A版高中数学必修第二册：平面向量的数量积运算 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 557.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-20 20:06:57 | ||
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文档简介
授课主题
平面向量的数量积
教学目标
1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系．2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．4．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．5．掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式．
教学内容
1．向量的数量积的概念1）已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做a与b的夹角．2）当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b．3）已知两个非零向量a与b，我们把数量cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝cos
θ，其中θ是a与b的夹角，cos
θ叫做向量a在b方向上的投影．4）“投影”的概念：作图定义：cos
θ
叫做向量a在b方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为；当θ＝π时投影为－.5）零向量与任意向量的数量积为0.6）注意：向量的数量积的结果是一个数量.
影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.7）夹角的范围0°≤θ<90°θ＝90°90°<θ≤180°a·b的符号正
零负2．平面向量数量积的性质1）设a与b均为非空向量：(1)a⊥b?a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝－，特别地a·a＝2或＝.(3)cos
θ＝.(4)≤.2）a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．3）向量的数量积满足下列运算律：已知向量a，b，c与实数λ，(1)a·b＝b·a
(交换律)．(2)
(λa)·b＝λ(a·b)
＝
a·(λb)
(结合律)．(3)·c＝a·c＋b·c(分配律)．3．平面向量数量积的坐标表示1）已知两个非零向量a＝，b＝，a·b＝x1x2＋y1y2
(坐标形式)．这就是说，(文字语言)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2）数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．4．平面向量的模、夹角的坐标表示1）平面内两点间的距离公式．(1)设a＝(x，y)，则2＝x2＋y2或＝.(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A，B，则＝
(平面内两点间的距离公式)．2）向量垂直的判定．设a＝，b＝，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.3）两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)．cos
θ＝＝.题型一 求向量的数量积及向量的模例1 已知＝3，＝4且a与b的夹角为θ＝120°，求：a·b，2，.分析：根据向量的运算律求2，，求模时转化为求向量的平方问题，即2＝a2.解析：a·b＝eq
\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cos
120°＝－6.2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13，2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37，∴＝.点评：向量数量积公式和性质是解决向量数量积和模的问题的重要工具．知道向量的模和夹角．计算两向量的数量积直接应用公式；要计算一个向量的模，一般先计算该向量的平方．注意公式a2＝|a|2，(a±b)2＝a2＋b2±2a·b的应用．巩
固 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．分析：向量的多项式运算与代数式的多项式运算法则是一致的．解析：设∠DEA＝θ，则与的夹角为－θ，与的夹角为θ，·＝||·||·cos＝·sin
θ＝1，·＝||·||·cos
θ＝.∵≤θ≤，∴当θ＝时，＝1，即·的最大值为1.答案：1 1题型二 判断三角形形状例2 已知△ABC中，＝＝4，且·＝－8，试判断△ABC的形状．分析：由·＝－8而得出∠A＝60°，从而得出判断．解析：·＝·cos＝4×4×，∵·＝－8，∴cos
A＝.又∵A为三角形的内角，∴A＝60°.又＝＝4，∴△ABC为正三角形．点评：
向量的夹角必须共起点．所以向量与的夹角为.巩
固 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足·＝0，试判断△ABC的形状．解析：由·＝0得·＝0，即·2＝0(D为BC边的中点)，所以⊥.所以△ABC为等腰三角形．题型三 向量的垂直问题例3 已知＝3，＝4且a与b不共线．k为何值时，向量与互相垂直？分析：根据向量与互相垂直的条件列出关于k的关系式，求关于k的方程．解析：∵向量与互相垂直，∴·＝0，即a2－k2b2＝9－16k2＝0.∴k＝±.点评：记住a·b＝0?a⊥b.巩
固 已知＝2，＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求k的值．解析：∵＝2，＝1，a与b的夹角为，∴a·b＝cos＝2×1×＝1.∵向量2a＋kb与a＋b垂直，∴·＝0.又·＝2a2＋a·b＋kb2，∴2×4＋k＋2＋k＝0，∴k＝－5.题型四 求向量的夹角例4 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2与b＝e2－2e1的夹角．分析：要求向量a＝e1＋e2与b＝e2－2e1的夹角，即先求出这两向量的数量积及它们的模．解析：依题意有e12＝1，e22＝1，e1·e2＝，a·b＝·＝－2
e12－e1·e2＋e22＝－，a2＝2＝e12＋2e1·e2＋e22＝3，b2＝2＝4
e12－4e1·e2＋e22＝3，∴＝，＝，
cos〈a，b〉＝＝＝－.∴a与b的夹角为120°.点评：注意单位向量e1，e2的模为1.巩
固 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角．解析：依题意有e12＝1，e22＝1，e1·e2＝，a·b＝·＝－6
e12＋e1·e2＋2
e22＝－，a2＝2＝4
e12＋4e1·e2＋e22＝7，b2＝2＝4
e22－12e1·e2＋9
e12＝7，∴＝，＝，
cos〈a，b〉＝＝＝－.∴a与b的夹角为120°.题型五 向量数量积、模及夹角的坐标运算例5 已知向量a＝，b＝.(1)求，；(2)求a·b的值；(3)求·的值．分析：用向量的数量积、模及夹角的坐标运算．解析：(1)＝＝5；＝＝.(2)a·b＝·＝－8＋3＝－5.(3)方法一 ∵a＋2b＝，a－b＝，∴·＝·＝10.方法二 ·＝a2＋a·b－2b2＝25－5－10＝10.点评：
求·的值时，方法一用向量的坐标法，先分别求出与的坐标，再用数量积公式求解，方法二直接用向量运算律进行运算．巩
固 已知向量a＝，b＝.(1)求向量a＋b与a－b的夹角θ；(2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．分析：先把向量a＋b与a－b用坐标表示出来，然后再根据夹角公式求解．解析：(1)∵a＋b＝，a－b＝，∴＝2，＝2，cos
θ＝＝，∴θ＝45°.(2)方法一 a－λb＝，2a＋b＝，∵向量a－λb与2a＋b垂直，∴·＝0.解得λ＝－9.方法二 ∵向量a－λb与2a＋b垂直，∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，∴2a2＋(－2λ＋1)a·b－λb2＝0，又＝＝5，＝＝，a·b＝·＝－8＋3＝－5，∴50－5－5λ＝0，解得λ＝－9.题型六 根据向量间的关系求向量的坐标例6 已知a与b同向，b＝，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝，求a及c.分析：设向量a的坐标为，根据等量关系列方程组求解．解析：(1)设a＝，依题意有解得∴a＝.(2)∵b·c＝·＝0，a·b＝10，∴a＝0，c＝10＝.点评：a与c表示的意义不一样，故不相等．巩
固 已知a＝，＝，且a⊥b，求向量b的坐标．分析：设向量b的坐标为，根据等量关系列方程组求解．解析：设b＝，依题意有
解得或∴b＝或b＝.题型七 向量的综合应用例7 设
a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)(0<α<β<π)．(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；(2)若＝(k>0)，用k表示数量积a·b.分析：题目给出了向量的坐标，可以考虑坐标法解决问题，但实际上向量法会显得更简单明了．(1)
证明：∵a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)(0<α<β<π)，∴＝1，＝1.∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－1＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)解析：由＝得2＝32，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵＝1，＝1，∴(k2－3)＋8ka·b＋(1－3k2)＝0.∴a·b＝＝.点评：向量与代数中的一些问题如函数的最值问题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应熟练掌握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、数量积等坐标表示．巩
固 如下图所示，以原点O和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．分析：向量数量积的坐标运算；化归与转化的思想．解析：设点B(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，∵∠B＝90°，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0.①又||＝||，∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2.②由①，②整理得解得或∴B或B.1．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积为( )A.
B．2
C．5
D．10解析：∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.答案：C2．设m，n是两个非零向量，m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下不等式与m⊥n等价的个数有( )①m·n＝0；②x1·x2＝－y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：D3．已知a＝，b＝，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )A.
B．－
C．－
D.答案：A4．已知向量a＝，b＝，若a＋b与2b－a平行，则实数x的值是( )A．－2
B．0
C．1
D．2答案：C5．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析：由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，所以a在b方向上的射影为|a|·cos〈a，b〉＝＝.答案：6．已知向量a，b满足(a＋2b)
·(a－b)＝－6，且
|a|＝1，|b|＝2
，则a与b的夹角为________．解析：因为·＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°.答案：60°7．已知a＝，则与a垂直的单位向量坐标为________．答案：或8．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.答案：39．a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝______.答案：－710．已知a＝，b＝，则a与b的夹角是 .答案：11．已知a＝，b＝，则＝________，＝________，a·b＝________.答案：5 －712．已知a＝，b＝，c＝，则a·＝________.答案：－313．求向量a＝(1,2)在向量b＝(2，－2)方向上的投影．分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－.∴a在b方向上的投影为|
a|cos
θ＝×＝－.14．已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，判断三角形的形状．解析：由A，B，C得＝，＝，∴·＝0.∴∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．15．已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝，e2＝.(1)求a·b；(2)求；(3)求a与b的夹角的余弦值．解析：(1)由e1＝，e2＝得a＝3e1－2e2＝，b＝4e1＋e2＝，∴a·b＝12－2＝10.(2)a＋b＝，∴＝5.(3)cos〈a，b〉＝＝＝.16．已知向量a＝，b＝，(1)当x为何值时，使∥？(2)当x为何值时，使⊥？解析：由a＝，b＝，得a＋2b＝，2a－b＝.(1)∵∥，∴3－4＝0，解得x＝.(2)∵⊥，∴(2－x)＋12＝0，解得x＝－2或x＝.17．已知三个点A，B，D.(1)求证：⊥；(1)证明：由A，B，D，得＝，＝，又·＝1×＋1×3＝0，∴⊥.(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．(2)解析：∵四边形ABCD为矩形，且AB⊥AD，∴＝.设点C，则＝，∴ ∴∴点C的坐标为.又＝，＝，∴·＝8＋8＝16，而＝2，＝2，设与的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.1．判断正误，并简要说明理由．①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0.对于②：应有0·a＝0.对于④：由数量积定义有|a·b|＝|a|·|b|·|cos
θ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a
.若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.2．已知＝4，＝2且a与b的夹角为60°，则a·b＝________.答案：43．已知a·b＝12，且＝3，＝5，则b在a方向上的投影为________．答案：44．已知＝6，e是单位向量，它们之间夹角是45°，则a在e方向上的投影________．答案：35．已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·＝________.答案：－206．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．解析：把转化为－，再通过·＝0
求解．∵⊥，∴·＝0.又＝λ＋，＝－，∴(λ＋)(－)＝0.即(λ－1)·－λ2＋2＝0.∴(λ－1)||||cos
120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.答案：7．下列命题正确的是( )A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．a·b＝b·aC．若a·b<0，则a与b的夹角为钝角D．(a·b)·c＝a·(b·c)解析：a·b＝0?a⊥b，a与b不一定是零向量，故A错；对于C，a与b的夹角可以为π，故C错；a·b∈R，b·c∈R，a与c不一定共线，故D错，故选B.答案：B8．若＝4，＝3，a与b的夹角为120°，则a·b为( )A．6 B．－6C．－6
D．6
答案：B 9．如果a·b＝a·c，且a≠0，那么( )A．b＝cB．b＝λcC．b⊥cD．b、c在a方向上的投影相等答案：D10．在△ABC中，若·＝0，则△ABC为( )A．直角三角形
B．正三角形C．等腰三角形
D．等腰直角三角形答案：C11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )A．－16
B．－8C．8
D．16解析：因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝·＝2＋·＝16，故选D.答案：D12．已知|a|＝|b|＝5，a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|的值．解析：∵a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25＋2×＋25＝75，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝25－2×＋25＝25.∴|a＋b|＝5，|a－b|＝5.13．已知a，b的夹角为120°，且＝1，＝2，当向量a＋λb与λa＋b夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵＝1，＝2，a与b的夹角为120°，∴a·b＝cos
120°＝1×2×＝－1.∵向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角，∴·<0.又·＝λa2＋a·b＋λb2，∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0.解得λ<或λ>.∴λ的取值范围是∪.14．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c且a·b＝b·c＝c·a，判断△ABC的形状．解析：如下图所示，a·b＝cos＝－cos
C，b·c＝cos＝－cos
A，c·a＝cos＝－cos
B.∵a·b＝b·c＝c·a，∴－cos
C＝－cos
A，cos
C＝cos
A，作BD⊥AC于D，则||＝acos
C，||＝|c|cos
A，∴||＝||.∴D为AC的中点，∴||＝||.同理可证||＝||.∴△ABC为正三角形．15．如下图所示，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求：(1)·；(2)·；(3)·.解析：(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°.所以·＝·cos
0°＝3×3×1＝9.(2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝||·||·cos
180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝||·||·cos
120°＝4×3×＝－6.
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平面向量的数量积
教学目标
1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系．2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．4．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．5．掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示及平面两点间的距离公式．
教学内容
1．向量的数量积的概念1）已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做a与b的夹角．2）当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向；当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b．3）已知两个非零向量a与b，我们把数量cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)记作a·b，即a·b＝cos
θ，其中θ是a与b的夹角，cos
θ叫做向量a在b方向上的投影．4）“投影”的概念：作图定义：cos
θ
叫做向量a在b方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为；当θ＝π时投影为－.5）零向量与任意向量的数量积为0.6）注意：向量的数量积的结果是一个数量.
影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.7）夹角的范围0°≤θ<90°θ＝90°90°<θ≤180°a·b的符号正
零负2．平面向量数量积的性质1）设a与b均为非空向量：(1)a⊥b?a·b＝0.(2)当a与b同向时，a·b＝，当a与b反向时，a·b＝－，特别地a·a＝2或＝.(3)cos
θ＝.(4)≤.2）a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积．3）向量的数量积满足下列运算律：已知向量a，b，c与实数λ，(1)a·b＝b·a
(交换律)．(2)
(λa)·b＝λ(a·b)
＝
a·(λb)
(结合律)．(3)·c＝a·c＋b·c(分配律)．3．平面向量数量积的坐标表示1）已知两个非零向量a＝，b＝，a·b＝x1x2＋y1y2
(坐标形式)．这就是说，(文字语言)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2）数量积坐标表示的意义在于能使数量积的计算代数化，为用向量来处理几何问题，特别是解析几何问题提供了便利条件．4．平面向量的模、夹角的坐标表示1）平面内两点间的距离公式．(1)设a＝(x，y)，则2＝x2＋y2或＝.(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A，B，则＝
(平面内两点间的距离公式)．2）向量垂直的判定．设a＝，b＝，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.3）两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)．cos
θ＝＝.题型一 求向量的数量积及向量的模例1 已知＝3，＝4且a与b的夹角为θ＝120°，求：a·b，2，.分析：根据向量的运算律求2，，求模时转化为求向量的平方问题，即2＝a2.解析：a·b＝eq
\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))cos
120°＝－6.2＝a2＋2a·b＋b2＝9－12＋16＝13，2＝a2－2a·b＋b2＝9＋12＋16＝37，∴＝.点评：向量数量积公式和性质是解决向量数量积和模的问题的重要工具．知道向量的模和夹角．计算两向量的数量积直接应用公式；要计算一个向量的模，一般先计算该向量的平方．注意公式a2＝|a|2，(a±b)2＝a2＋b2±2a·b的应用．巩
固 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．分析：向量的多项式运算与代数式的多项式运算法则是一致的．解析：设∠DEA＝θ，则与的夹角为－θ，与的夹角为θ，·＝||·||·cos＝·sin
θ＝1，·＝||·||·cos
θ＝.∵≤θ≤，∴当θ＝时，＝1，即·的最大值为1.答案：1 1题型二 判断三角形形状例2 已知△ABC中，＝＝4，且·＝－8，试判断△ABC的形状．分析：由·＝－8而得出∠A＝60°，从而得出判断．解析：·＝·cos＝4×4×，∵·＝－8，∴cos
A＝.又∵A为三角形的内角，∴A＝60°.又＝＝4，∴△ABC为正三角形．点评：
向量的夹角必须共起点．所以向量与的夹角为.巩
固 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足·＝0，试判断△ABC的形状．解析：由·＝0得·＝0，即·2＝0(D为BC边的中点)，所以⊥.所以△ABC为等腰三角形．题型三 向量的垂直问题例3 已知＝3，＝4且a与b不共线．k为何值时，向量与互相垂直？分析：根据向量与互相垂直的条件列出关于k的关系式，求关于k的方程．解析：∵向量与互相垂直，∴·＝0，即a2－k2b2＝9－16k2＝0.∴k＝±.点评：记住a·b＝0?a⊥b.巩
固 已知＝2，＝1，a与b的夹角为，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求k的值．解析：∵＝2，＝1，a与b的夹角为，∴a·b＝cos＝2×1×＝1.∵向量2a＋kb与a＋b垂直，∴·＝0.又·＝2a2＋a·b＋kb2，∴2×4＋k＋2＋k＝0，∴k＝－5.题型四 求向量的夹角例4 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2与b＝e2－2e1的夹角．分析：要求向量a＝e1＋e2与b＝e2－2e1的夹角，即先求出这两向量的数量积及它们的模．解析：依题意有e12＝1，e22＝1，e1·e2＝，a·b＝·＝－2
e12－e1·e2＋e22＝－，a2＝2＝e12＋2e1·e2＋e22＝3，b2＝2＝4
e12－4e1·e2＋e22＝3，∴＝，＝，
cos〈a，b〉＝＝＝－.∴a与b的夹角为120°.点评：注意单位向量e1，e2的模为1.巩
固 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝2e1＋e2与b＝2e2－3e1的夹角．解析：依题意有e12＝1，e22＝1，e1·e2＝，a·b＝·＝－6
e12＋e1·e2＋2
e22＝－，a2＝2＝4
e12＋4e1·e2＋e22＝7，b2＝2＝4
e22－12e1·e2＋9
e12＝7，∴＝，＝，
cos〈a，b〉＝＝＝－.∴a与b的夹角为120°.题型五 向量数量积、模及夹角的坐标运算例5 已知向量a＝，b＝.(1)求，；(2)求a·b的值；(3)求·的值．分析：用向量的数量积、模及夹角的坐标运算．解析：(1)＝＝5；＝＝.(2)a·b＝·＝－8＋3＝－5.(3)方法一 ∵a＋2b＝，a－b＝，∴·＝·＝10.方法二 ·＝a2＋a·b－2b2＝25－5－10＝10.点评：
求·的值时，方法一用向量的坐标法，先分别求出与的坐标，再用数量积公式求解，方法二直接用向量运算律进行运算．巩
固 已知向量a＝，b＝.(1)求向量a＋b与a－b的夹角θ；(2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．分析：先把向量a＋b与a－b用坐标表示出来，然后再根据夹角公式求解．解析：(1)∵a＋b＝，a－b＝，∴＝2，＝2，cos
θ＝＝，∴θ＝45°.(2)方法一 a－λb＝，2a＋b＝，∵向量a－λb与2a＋b垂直，∴·＝0.解得λ＝－9.方法二 ∵向量a－λb与2a＋b垂直，∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，∴2a2＋(－2λ＋1)a·b－λb2＝0，又＝＝5，＝＝，a·b＝·＝－8＋3＝－5，∴50－5－5λ＝0，解得λ＝－9.题型六 根据向量间的关系求向量的坐标例6 已知a与b同向，b＝，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝，求a及c.分析：设向量a的坐标为，根据等量关系列方程组求解．解析：(1)设a＝，依题意有解得∴a＝.(2)∵b·c＝·＝0，a·b＝10，∴a＝0，c＝10＝.点评：a与c表示的意义不一样，故不相等．巩
固 已知a＝，＝，且a⊥b，求向量b的坐标．分析：设向量b的坐标为，根据等量关系列方程组求解．解析：设b＝，依题意有
解得或∴b＝或b＝.题型七 向量的综合应用例7 设
a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)(0<α<β<π)．(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；(2)若＝(k>0)，用k表示数量积a·b.分析：题目给出了向量的坐标，可以考虑坐标法解决问题，但实际上向量法会显得更简单明了．(1)
证明：∵a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)(0<α<β<π)，∴＝1，＝1.∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝1－1＝0.∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)解析：由＝得2＝32，∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.∵＝1，＝1，∴(k2－3)＋8ka·b＋(1－3k2)＝0.∴a·b＝＝.点评：向量与代数中的一些问题如函数的最值问题等，是向量作为工具的具体体现，解决此类问题应熟练掌握向量的坐标运算法则，特别是共线、垂直、数量积等坐标表示．巩
固 如下图所示，以原点O和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△AOB，使∠B＝90°，求点B的坐标．分析：向量数量积的坐标运算；化归与转化的思想．解析：设点B(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，∵∠B＝90°，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0.①又||＝||，∴x2＋y2＝(x－5)2＋(y－2)2.②由①，②整理得解得或∴B或B.1．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积为( )A.
B．2
C．5
D．10解析：∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴⊥，∴S四边形ABCD＝||·||＝××2＝5.答案：C2．设m，n是两个非零向量，m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则以下不等式与m⊥n等价的个数有( )①m·n＝0；②x1·x2＝－y1y2；③|m＋n|＝|m－n|；④|m＋n|＝.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：D3．已知a＝，b＝，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )A.
B．－
C．－
D.答案：A4．已知向量a＝，b＝，若a＋b与2b－a平行，则实数x的值是( )A．－2
B．0
C．1
D．2答案：C5．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析：由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，所以a在b方向上的射影为|a|·cos〈a，b〉＝＝.答案：6．已知向量a，b满足(a＋2b)
·(a－b)＝－6，且
|a|＝1，|b|＝2
，则a与b的夹角为________．解析：因为·＝－6，则a2＋a·b－2b2＝－6，即12＋a·b－2×22＝－6，a·b＝1，所以cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°.答案：60°7．已知a＝，则与a垂直的单位向量坐标为________．答案：或8．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.答案：39．a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝______.答案：－710．已知a＝，b＝，则a与b的夹角是 .答案：11．已知a＝，b＝，则＝________，＝________，a·b＝________.答案：5 －712．已知a＝，b＝，c＝，则a·＝________.答案：－313．求向量a＝(1,2)在向量b＝(2，－2)方向上的投影．分析：本题考查向量的数量积的几何意义．要求向量的投影，需先求两向量的夹角，而这可根据数量积的性质求得．解析：设向量a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－.∴a在b方向上的投影为|
a|cos
θ＝×＝－.14．已知△ABC的三个顶点分别为A，B，C，判断三角形的形状．解析：由A，B，C得＝，＝，∴·＝0.∴∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形．15．已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝，e2＝.(1)求a·b；(2)求；(3)求a与b的夹角的余弦值．解析：(1)由e1＝，e2＝得a＝3e1－2e2＝，b＝4e1＋e2＝，∴a·b＝12－2＝10.(2)a＋b＝，∴＝5.(3)cos〈a，b〉＝＝＝.16．已知向量a＝，b＝，(1)当x为何值时，使∥？(2)当x为何值时，使⊥？解析：由a＝，b＝，得a＋2b＝，2a－b＝.(1)∵∥，∴3－4＝0，解得x＝.(2)∵⊥，∴(2－x)＋12＝0，解得x＝－2或x＝.17．已知三个点A，B，D.(1)求证：⊥；(1)证明：由A，B，D，得＝，＝，又·＝1×＋1×3＝0，∴⊥.(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．(2)解析：∵四边形ABCD为矩形，且AB⊥AD，∴＝.设点C，则＝，∴ ∴∴点C的坐标为.又＝，＝，∴·＝8＋8＝16，而＝2，＝2，设与的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.1．判断正误，并简要说明理由．①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0.对于②：应有0·a＝0.对于④：由数量积定义有|a·b|＝|a|·|b|·|cos
θ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a
.若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.2．已知＝4，＝2且a与b的夹角为60°，则a·b＝________.答案：43．已知a·b＝12，且＝3，＝5，则b在a方向上的投影为________．答案：44．已知＝6，e是单位向量，它们之间夹角是45°，则a在e方向上的投影________．答案：35．已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·＝________.答案：－206．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．解析：把转化为－，再通过·＝0
求解．∵⊥，∴·＝0.又＝λ＋，＝－，∴(λ＋)(－)＝0.即(λ－1)·－λ2＋2＝0.∴(λ－1)||||cos
120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.答案：7．下列命题正确的是( )A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．a·b＝b·aC．若a·b<0，则a与b的夹角为钝角D．(a·b)·c＝a·(b·c)解析：a·b＝0?a⊥b，a与b不一定是零向量，故A错；对于C，a与b的夹角可以为π，故C错；a·b∈R，b·c∈R，a与c不一定共线，故D错，故选B.答案：B8．若＝4，＝3，a与b的夹角为120°，则a·b为( )A．6 B．－6C．－6
D．6
答案：B 9．如果a·b＝a·c，且a≠0，那么( )A．b＝cB．b＝λcC．b⊥cD．b、c在a方向上的投影相等答案：D10．在△ABC中，若·＝0，则△ABC为( )A．直角三角形
B．正三角形C．等腰三角形
D．等腰直角三角形答案：C11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( )A．－16
B．－8C．8
D．16解析：因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝·＝2＋·＝16，故选D.答案：D12．已知|a|＝|b|＝5，a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|的值．解析：∵a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25＋2×＋25＝75，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝25－2×＋25＝25.∴|a＋b|＝5，|a－b|＝5.13．已知a，b的夹角为120°，且＝1，＝2，当向量a＋λb与λa＋b夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵＝1，＝2，a与b的夹角为120°，∴a·b＝cos
120°＝1×2×＝－1.∵向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角，∴·<0.又·＝λa2＋a·b＋λb2，∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0.解得λ<或λ>.∴λ的取值范围是∪.14．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c且a·b＝b·c＝c·a，判断△ABC的形状．解析：如下图所示，a·b＝cos＝－cos
C，b·c＝cos＝－cos
A，c·a＝cos＝－cos
B.∵a·b＝b·c＝c·a，∴－cos
C＝－cos
A，cos
C＝cos
A，作BD⊥AC于D，则||＝acos
C，||＝|c|cos
A，∴||＝||.∴D为AC的中点，∴||＝||.同理可证||＝||.∴△ABC为正三角形．15．如下图所示，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求：(1)·；(2)·；(3)·.解析：(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°.所以·＝·cos
0°＝3×3×1＝9.(2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝||·||·cos
180°＝4×4×(－1)＝－16.(3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝||·||·cos
120°＝4×3×＝－6.
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