新人教A版高中数学必修第二册：复数概念和几何意义

授课主题：复数的概念和几何意义
教学目标
1．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复平面、实轴、虚轴等概念．4．了解复数的几何意义，并能简单应用．5．理解复数的模，并会求复数的模．
教学内容
虚数单位i(1)i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数；当且仅当a＝b＝0时，z就是实数0.复数集与其他数集之间的关系：N
Z
Q
R
C.复数间的关系两个复数相等的定义：
a＋bi＝c＋d
i
?
a＝c且b＝d两个实数可以比较大小．但两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小．复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0,0),
它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数的两种几何形式：(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)?点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)?向量.相关规定：相等的向量表示同一个复数．复数的模：|z|＝|a＋bi|＝||＝.题型一　复数的基本概念
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例1　实数x取什么值时，复数＋(x2－2x－15)i是实数、虚数、纯虚数？解析：(1)要使该复数是实数，需满足解得x＝5.(2)
要使该复数是虚数，需满足解得x≠－3且x≠5.(3)
要使该复数是纯虚数，需满足解得x＝3或x＝－2.点评：复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下：复数z
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巩
固　给出下列命题：①若z＝a＋bi，则仅当a＝0，b≠0时z为纯虚数；②若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是(　　)A．0个
B．1个
C．2个
D．3个解析：在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝0，z3＝i，则(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝12＋(－i)2＝1－1＝0，但z1≠z2≠z3，故②错误；在③中忽视0·i，故③错误．故选A.答案：A题型二　复数相等例2　
(1)若a，b∈R，且2a－1＋i＝b－(3－b)i，求a,
b的值．(2)设复数z＝lg(m2－2m－1)＋(m2－4m＋3)i为实数，
求m的值．解析：(1)∵两个复数相等，∴
解得∴a＝，b＝4.(2)由z为实数，则解得m＝3.点评：复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是a＝c且b＝d.巩
固　给出下列命题：①若a＋bi＝0，则a＝b＝0；②x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.其中正确命题的个数为(　　)A．0个
B．1个
C．2个
D．3个解析：①，②所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；③正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.故选B.答案：B题型三　复数中实数比较大小的问题例3　如果m2－(m2－3m)i<4，求实数m的取值范围．解析：当两个复数都是实数时，才能比较大小．所以m2－3m＝0且m2<4，解得m＝0.点评：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小．如果两个复数都是实数，就可以比较大小．若两个复数不全是实数，则不能比较大小．巩
固　已知(2m－5n)＋3i＜3n－(m＋5)i，m，n∈R，则n的取值范围是____________．解析：当两个复数都是实数时，才可以比较大小，所以有2m－5n＜3n且3＝－(m＋5)，即4n＞m＝－8，得n＞－2.答案：(－2，＋∞)题型四　复数的点表示例4　在复平面内求复数z，使z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上．解析：(1)若复数z在虚轴上，则m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.m＝－1时，z＝6i；m＝2时，z＝0(舍去，因为不在虚轴上)．所以z＝6i.(2)
若复数z在实轴负半轴上，则解得m＝1，此时z＝－2.点评：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点z(a，b)来表示是解决此类问题的根据．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．巩
固　已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)：(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y2＝4x上．解析：复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内对应的点是(a2－1,2a－1)．(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝；(2)若z对应的点在第三象限，则有，解得－1＜a＜；(3)若z对应的点在抛物线y2＝4x上，则有(2a－1)2＝4(a2－1)，即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝.题型五　复数与复平面内向量的关系例5　向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为(　　)A．－3＋2i
B．－2＋10iC．4－2i
D．－1＋2i解析：向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，所以＝(1,4)，＝(－3,6)，所以＋＝(1,4)＋(－3,6)＝(－2,10)所以向量＋对应的复数为－2＋10i.答案：B点评：复数的向量表示法是解决此类题型的依据．以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．巩
固　向量对应的复数为－1＋i，对应的复数为2＋3i，对应的复数为－2＋i，则向量对应的复数为______________．解析：依题意有＝(－1,1)，＝(2,3)，＝(－2,1)，所以＝－＝(2,3)－(－1,1)＝(3,2)，所以＝＋＝(3,2)＋(－2,1)＝(1,3)，即向量对应的复数为1＋3i.答案：1＋3i题型六　复数的模与复数的几何意义例6　在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.分析：先找出各复数在复平面内对应点的坐标：Z1(1，－1)，Z2，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量，，，为所求．解析：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2，Z3(－2，0)，Z4(2,2)，则向量，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．各复数的模为：|z1|＝＝，|z2|＝＝1，|z3|＝|－2|＝2，|z4|＝＝2.点评：复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后利用模的计算公式进行计算．复数的模是一个非负实数，可以比较大小．巩
固　设复数z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R，则|z|最小值为(　　)A．1
B．2
C．2
D．4解析：据条件可得|z|＝＝＝＝≥2.即|z|的最小值为2.故选C.答案：C题型七　复数的几何意义的应用例7　(1)复数z＝x＋(y－1)i(x，y∈R)，且|z|＝2，求点(x，y)的轨迹方程，并指出点(x，y)的轨迹图形．(2)画出点集M＝{z∈C|1＜|z|≤2}表示的图形．解析：(1)因为z＝x＋(y－1)i(x，y∈R)，|z|＝2，所以＝2，即x2＋(y－1)2＝4，所以点(x，y)的轨迹方程是x2＋(y－1)2＝4，其轨迹是以(0,1)为圆心，以2为半径的圆．
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由1＜|z|≤2得1＜≤2，所以1＜x2＋y2≤4，图形如图所示．点评：本题的解法体现了求复数表示轨迹的两种方法：一是化为实数问题，二是直接利用复数模的几何意义．巩
固　若复数z满足|z－3|≤，求|z－(1＋4i)|的最大值和最小值．解析：复数z满足|z－3|≤，它对应的点位于以(3,0)为圆心，以为半径的圆上．|z－(1＋4i)|表示的是复数z对应的点到点(1,4)的距离．如下图所示．|z－(1＋4i)|的最大值是|1＋4i－3|＋＝|－2＋4i|＋＝3.|z－(1＋4i)|的最小值是|1＋4i－3|－＝|－2＋4i|－＝.A组1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的(　　)A．充分不必要条件　　
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件解析：若a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则a＝0，b≠0.∴a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的充分不必要条件．答案：A2．下列说法正确的是(　　)A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等B．若a，b∈R且a＞b，则ai＞biC．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0D．复数a＋bi不是实数解析：由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.答案：A3．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　)A．C＝R∪I
B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝?答案：DB组一、选择题1．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是(　　)A．A∪B＝C
B．?UA＝BC．A∩?UB＝?
D．B∪?UB＝C答案：D2．以2i－的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是(　　)A．2－2i
B．2＋iC．－＋i
D.＋i解析：2i－的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以新复数为2－2i.答案：A3．给出下列四个命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中正确命题的序号是(　　)A．①　　　　
B．②　　
C．③　　　
D．④答案：D4．已知z1＝m2－3m＋m2i,
z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)A．4
B．－1
C．6
D．0解析：z1－z2＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0?解得m＝－1.答案：B5．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为(　　)A．4
B．－1
C．－1或4
D．－1或6解析：由M∩N＝{3}得3∈M，故(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i＝3，因此得解得所以m的值为－1，故选B.答案：B二、填空题6．复数z＝cos＋sini，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________．解析：z＝cos＋sini＝－sin
θ＋icos
θ.当z是实数时，cos
θ＝0.因为θ∈，所以θ＝±.答案：±7．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x2＝－1的数x只有i；③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；④复数m＋ni的实部一定是m.其中正确说法的个数为____________．解析：③中b＝0时bi＝0不是纯虚数．故③正确．①中复数分为实数与虚数两大类；②中平方为－1的数为±i；④中m、n不一定为实数．故①②④错误．答案：1个8．有下列命题：①ab＝0，则a＝0或b＝0；②a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0；③z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数的充要条件是a＝0；④z＝a＋bi(a，b∈R)，若z＞0，则a＞0，b＝0.其中正确命题的序号是________．答案：①④三、解答题9．已知关于实数x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．解析：由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i得
解得x＝，y＝4.由2x＋ay－(4x－y＋b)i＝9－8i，得
即解得a＝1，b＝2.10．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别是：(1)实数；解析：由题意得即即故当a＝6时，z为实数．(2)虚数；解析：依题意有所以且a≠6，所以a≠±1且a≠6.故当a∈R且a≠±1,6时，z为虚数．(3)纯虚数．解析：依题意有所以所以不存在实数a使z为纯虚数．A组1．在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于(　　)A．第一象限　　　　　　B．第二象限C．第三象限
D．第四象限解析：∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．答案：B2．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)A．－1＋i
B．1＋iC．－1＋i或1＋i
D．－2＋i解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i.答案：A3．两个不相等的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，若z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则a，b，c，d之间的关系为(　　)A．a＝－c，b＝d
B．a＝－c，b＝－dC．a＝c，b＝－d
D．a≠0，b≠d解析：z1＝a＋bi的对应点P1(a，b)，z2＝c＋di的对应点P2(c，d)，因为P1与P2关于y轴对称，所以a＝－c，b＝d.故选A.答案：AB组一、选择题1．向量a＝(1，－3)所对应的复数是(　　)A．z＝1＋3i
B．z＝1－3iC．z＝－1＋3i
D．z＝－3＋i解析：因为a＝(1，－3)，所以复平面内对应的点Z(1，－3)，所以a对应的复数为z＝1－3i.故选B.答案：B2．下面四个式子中，正确的是(　　)A．3i＞2i
B．|2＋3i|＞|1－4i|C．|2－i|＞2i4
D．i2＞－i答案：C3．复数2－3i对应的点所在的直线是(　　)A．y＝x
B．y＝－xC．3x＋2y＝0
D．2x＋3y＝0解析：复数2－3i对应点的坐标Z(2，－3)，满足方程3x＋2y＝0，所以点z在直线3x＋2y＝0上．答案：C4．a，b∈R，复数(a2－4a＋6)＋(－b2＋2b－4)i表示的点位于(　　)A．第一象限
B．第二象限C．第三象限
D．第四象限解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2＞0，－b2＋2b－4＝－(b2－2b＋4)＝－.所以实部为正数，虚部为负数．所以表示的点在第四象限．故选D.答案：D二、填空题5．已知z1＝3－5i
,
z2＝4＋4i，则|z1|
________|z2|(填“<”、“>”或“＝”)．答案：>6．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数a＝________.答案：57．设z＝(k2－k)＋(k2－1)i，k∈R，且z对应的复平面上的点在第三象限，则k的取值范围是__________．解析：复数z在复平面内对应的点为(k2－k，k2－1)，此点在第三象限，则解得0＜k＜1.答案：(0,1)8．已知复数z＝x＋2＋(y－1)i的模为2，则点(x，y)的轨迹方程(x，y∈R)是__________．解析：由题意可得|z|＝2，即＝2，化简得(x＋2)2＋(y－1)2＝12，所以点(x，y)的轨迹方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝12.答案：(x＋2)2＋(y－1)2＝12三、解答题9．实数m分别取何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i在复平面内的对应点：(1)在x轴上方？解析：由题意得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.(2)在直线x＋y＋5＝0上？解析：由题意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，解得m＝.
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