新人教A版高中数学必修第二册：复数的运算

授课主题
复数代数形式的加减、乘除运算
教学目标
1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．3．会进行复数代数形式的乘、除运算．
教学内容
复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数加、减法的几何意义．复数z1，z2对应的向量，不共线．(1)复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量，的终点，并指向被减向量所对应的复数．复数乘法运算法则．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，那么
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.复数乘法的运算律．对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3复数除法运算法则．＝＝＝＝＋i.共轭复数．(1)设z1＝a＋bi，z2＝a－bi.当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记z的共轭复数为.(2)z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2＝||2.题型一　复数的加减运算例1　计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.点评：复数加减运算法则的记忆：①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，加减运算的结果还是一个复数；②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．巩
固　计算：(1)(－1＋i)＋(3－2i)；(2)－－；(3)＋(a＋b)i.解析：(1)(－1＋i)＋(3－2i)＝－1＋3＋(－2)i＝2－i.(2)－－＝＋i＝＋i.(3)＋(a＋b)i＝2－3i＋i＝2＋(2b－3)i.题型二　复数加减运算的几何意义例2　已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)表示的复数；(2)表示的复数；(3)求点B对应的复数．解析：(1)＝－，所以表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)＝－，所以表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)＝＋＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.点评：利用复数加减法的几何意义解题：①z1＋z2的几何意义是以，为邻边的平行四边形OZ1ZZ2的对角线所在向量；②z1－z2的几何意义是连接向量，的终点，并指向被减数的向量所对应的复数；③复平面内两点间距离公式：d＝|z1－z2|(其中z1，z2是复平面内两点z1和z2所对应的复数，d为z1和z2的距离)．巩
固　在复平面内，
复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，
其中O为坐标原点，则＝______.解析：＝－＝－2＋2i，所以||＝2.答案：2题型三　复数的模相关的运算例3　已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.解析：解法一　设z＝a＋bi
(a，b∈R)，则|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，∴解得∴z＝－15＋8i.解法二　将原式化为z＝2－|z|＋8i，∵
|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，∴|z|＝，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2.∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.点评：复数模的相关运算，主要是根据求模公式或复数相等的充要条件将复数问题化为实数问题来解决．巩
固　已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝______.解析：z1－z2＝－＝＋i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以解得x＝1，y＝0.所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝|1－i|＝.答案：题型四　复数的乘法与除法运算例4　计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))(1＋i)；(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(4)(5－29i)÷(7－3i)．解析：(1)原式＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.(2)原式＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＝－＋i.(3)原式＝＝＝＝＋i.(4)原式＝＝＝＝＝5－2
i.点评：两个复数代数形式的除法运算步骤：①把除式写为分式；②分子、分母同时乘以分母的共轭复数；③对分子、分母分别进行乘法运算；④把运算结果化为复数的代数形式．巩
固　(1)(1＋i)(－1－i)(＋i)(1＋i)＝________.(2)已知i为虚数单位，则复数的共轭复数是________．解析：(1)(1＋i)(－1－i)(＋i)(1＋i)＝－(1＋i)2(×1＋()2i＋i＋i2)＝－2i×4i＝－8i2＝8.(2)＝＝＝＝－i，所以的共轭复数为i.答案：(1)8　(2)i题型五　共轭复数的应用例5　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i.点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如z
＝|z|2＝||2，z∈R?z＝等．(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．巩
固　已知为纯虚数，且(z＋1)(＋1)＝|z|2，求复数z.解析：由(z＋1)(＋1)＝|z|2得z＋＝－1，①由为纯虚数，得＋＝0，所以z·－1＝0.②设z＝a＋bi，代入①②，得a＝－，a2＋b2＝1.所以a＝－，b＝±.所以z＝－±i.答案：z＝－±i题型六　复数范围内解方程问题例6　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴得b＝－2，c＝2.∴b，c的值为b＝－2，c＝2.(2)∵方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立．∴1－i是方程的根．点评：在复数范围内解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈R)，将根设为m＋ni，再利用复数相等的充要条件解决问题．巩
固　若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3为(　　)A．±2　　　　　　B．－2C．－2i
D．±2i解析：由z2＋2＝0?z＝±i?z3＝±2i，故选D.答案：D题型七　利用in的周期性求解例7　i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用a＋bi的形式表示，a，b∈R)．分析：利用i的周期性化简求和．解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i.答案：4－4i点评：熟记i的周期性，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N
)．记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②＝－i，＝i；③＝－i.巩
固　化简：＋2
014＝____________.解析：＋2
014＝＋1
007＝i(1＋i)＋(－i)1
007＝i＋i2＋(－1)1
007×i1
007＝i－1－i4×251＋3＝i－1－i3＝－1＋2i.答案：－1＋2i（加减）A组1．a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)A．1＋i　　　
B．2＋i
C．3
D．－2－i答案：D2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(　　)A.
B.
C．2
D．－1＋3i解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝.故选B.答案：B3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)A．4＋8i　　　
B．8＋2i
C．2＋4i　　
　
D．4＋i答案：CB组一、选择题1．已知复数z1＝2＋i,
z2＝1＋2i,
则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于(　　)A．第一象限　　
B．第二象限C．第三象限
D．第四象限答案：B2．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量对应的复数为(　　)A．3＋4i
B．5－2i
C．－2＋6i
D．2－6i答案：D3．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于(　　)A．1＋i
B．－1＋iC．1－i
D．－1－i解析：设x＝ai(a∈R)，原方程化为2ai－1＋i＝y－(3－y)i，即－1＋(2a＋1)i＝
y－(3－y)i，得
－1＝y,
2a＋1＝－(3－y)．解得
a＝－，y＝－1，选D.4．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆解析：因为|3＋4i|＝＝5，所以|z－i|＝5，设z＝x＋yi(x，y∈R)，则有＝5，即x2＋(y－1)2＝25.故选C.答案：C5．复数z1＝1＋icos
θ，z2＝sin
θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)A．3－2
B.－1
C．3＋2
D.＋1解析：|z1－z2|＝|(1＋icos
θ)－(sin
θ－i)|＝＝＝≤＝＋1.故选D.答案：D二、填空题6．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝__________.答案：4＋i7．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.由题意知得或所以z＝2±i.答案：2±i8．如图，平行四边形顶点A，B，C所对应的复数分别为i,1,4＋2i(A，B，C，D按逆时针方向排列)．(1)向量对应的复数为____________；答案：－1＋i(2)向量对应的复数为____________；答案：3＋2i(3)向量对应的复数为____________；答案：2＋3i(4)点D坐标是____________．答案：(3,3)三、解答题9．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，求f(z1＋z2)的值．解析：因为z1＝－2＋4i，z2＝5－i，所以z1＋z2＝(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.于是f(z1＋z2)＝f(3＋3i)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|＝3＋3.10．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A，B两点间的距离．解析：向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵＝－，∴向量对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝＝2.（乘除）
A组1．设复数满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i解析：z＝＝＝－1＋i.故选A.答案：A
2．已知＝2＋i，则复数z＝(　　)A．－1－3i
B．1－3i
C．3＋i
D．3－i解析：由题意知＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i，∴z＝1－3i.
答案：B3．复数(i是虚数单位)的虚部是(　　)A．1　　　B．－1　　
　C．i　　　　D．－i答案：AB组一、选择题1．(2013·广东卷)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)A．(2,4)
B．(2，－4)
C.
(4，－2)
D．(4,2)解析：z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)，故选C.答案：C2．(2013·山东卷)若复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为(　　)A．2＋i
B．2－i
C．5＋i
D．5－i解析：由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝＝2＋i，所以
z＝5＋i，所以＝5－i.故选D.答案：D3．设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是(　　)A．ad－bc＝0
B．ac－bd＝0C．ac＋bd＝0
D．ad＋bc＝0解析：a，b，c，d∈R，复数(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i为实数，∴ad＋bc＝0，选D.答案：D4．已知复数z＝1＋i，则＝(　　)A.－i
B.＋iC．－－i
D．－＋i答案：A二、填空题5．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．解析：z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2.答案：26．(2013·重庆卷)已知复数z＝(是虚数单位)，则|z|＝________________.解析：|z|＝＝＝.答案：7.
设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝_________________.解析：＝·＝，因为为纯虚数，所以所以a＝2.答案：28．若复数z满足|z|－＝，则z＝________.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有－a＋bi＝2＋4i.所以得a＝3，b＝4.所以z＝3＋4i.答案：3＋4i三、解答题9．已知复数3z－对应的点落在射线y＝－x(x≤0)上，|z＋1|＝，求复数z.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则3z－＝3a＋3bi－a＋bi＝2a＋4bi，由题意得①又由|z＋1|＝，得(a＋1)2＋b2＝2，②由①，②解得所以z＝－2＋i.10.
复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．解析：z＝＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由|z|＝4，得a2＋b2＝4.①
因为复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，所以|z|＝|z－|，把z＝－2a－2bi代入化简，得|b|＝1.②又因为z点在第一象限内，所以a＜0，b＜0.由①②，得故所求a＝－，b＝－1.
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