新人教A版高中数学必修第二册：柱、锥、台、球的结构特征

授课主题：柱、锥、台、球的结构特征
教学目标
1．通过观察实例，了解棱柱、棱锥、棱台的定义，掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系．2．在描述和判断几何体结构特征的过程中，培养学生的观察能力和空间想象能力．3．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．4．培养学生对空间旋转体的观察能力和空间想象能力．
教学内容
1．平面图形与立体图形
初中学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、圆等都是平面图形．粉笔盒、铅笔盒、课桌腿、书本等都是立体图形．2．空间几何体(1)空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．(2)多面体．定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．3．棱柱、棱锥、棱台的概念多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些边所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱AC′或
ABCD
A′B′C′D′底面(底)：两个相互平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥如图可记作：棱锥SABCD底面(底)：多边形面．侧面：有公共顶点的各个三角形侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点.棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCDA′B′C′D′上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面．侧棱：相邻侧面的公共边．顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点4．棱柱、棱锥、棱台的分类(1)棱柱的分类．①按底面多边形的边数分类．eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(三棱柱?底面是三角形?,四棱柱?底面是四边形?,五棱柱?底面是五边形?,…,n棱柱?底面是　　　　?))②按侧棱与底面是否垂直分类．(2)棱锥的分类(棱台分类)．①按底面多边形的边数分类．三棱锥、四棱锥、五棱锥等．②按底面多边形是否为正多边形分类．正棱锥和一般棱锥．5．旋转体．
定义：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．6．圆柱、圆锥、圆台的概念.旋转体结构特征图示表示法圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱和棱柱统称为柱体INCLUDEPICTURE"图17.TIF"圆柱用表示它的轴的字母表示，左图中圆柱表示为圆柱O′O圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．棱锥与圆锥统称为椎体INCLUDEPICTURE"图18.TIF"圆锥用表示它的轴的字母表示，左图中圆锥表示为
圆
锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线．棱台与圆台统称为台体INCLUDEPICTURE"图19.TIF"圆台用表示它的轴的字母表示，左图中圆台表示为圆台O′O7．球的概念旋转体结构特征图示表示法球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球；半圆的圆心叫做球的球心；半圆的半径叫做球的半径；半圆的直径叫做球的直径INCLUDEPICTURE"图20.TIF"球常用表示球心的字母O表示，左图中的球表示为球O题型一　对多面体概念的理解与应用
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例1　下列命题中不正确的是(　　)A．棱柱的侧面一定是平行四边形B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．棱锥的各侧面一定有一个公共点D．棱台各侧棱的延长线交于一点分析：从棱柱、棱锥、棱台的定义来分析判断．解析：由棱柱的定义知，棱柱各侧面一定为平行四边形，故A正确．如图，面ABC∥面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并不互相平行，故不是棱柱，B不正确．棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，即必须是有一个公共顶点的几何体，故C正确．棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D是正确的．故只有B不正确．答案：B点评：对多面体的认识，应紧扣其定义来判断．巩
固　在棱柱中(　　)A．只有两个面平行　　B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也平行
答案：D题型二　多面体的识别与特征分析例2
(1)某几何体由八个面围成，其中两个面是相互平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形．这是什么几何体．(2)判断如图所示的几何体是不是棱台，为什么？分析：分析几何体特征→对照几何体的定义→判断解析：(1)该几何体满足有两个面平行且全等，其余六个面都是矩形，可使每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．(2)①②③都不是棱台．因为①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．点评：对②③两个几何体，只从视觉上像是棱台，应该从棱台的几何特征分析．巩
固　对于本例的图③，若原几何体是正方体，截面是矩形，这样截得的几何体是棱柱吗？若是，其底面是什么图形？解析：是棱柱，其底面是前后两个面，是直角梯形．题型三　多面体的侧面(表面)展开图例3　根据下图所给的几何体的表面展开图，画出立体图形．分析：把图中相同的点重合，沿虚线折叠成立体图形．解析：(1)是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．(2)是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．点评：不同的剪开方法，得到的展开图不一定相同．巩
固　某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．又相同的图案是盒子上相对的面，展开后决不能相邻．答案：A题型四　旋转体的概念例4　一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？分析：解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．解析：图(1)、(2)旋转一周围成的几何体是圆锥，图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥组合体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°是一个圆锥．点评：对于(4)，容易认为旋转360°之后，得到两个圆锥．这是不正确的，因旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的几何体隐藏于右侧三角形旋转得到的几何体中．巩
固　(1)以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________．(2)下图是由________几何体组成的．答案：(1)圆台　(2)球、圆柱题型五　旋转体的结构特征例5
根据下列对几何体结构特征的描述，说明几何体的名称：
(1)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体；(2)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体；(3)一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面围成的几何体．分析：要正确判断几何体的类型，应熟练掌握各类几何体的结构特征．解析：(1)如图(1)，等腰梯形两底边中点的连线将梯形等分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．(2)如图(2)，可以将梯形ABCD分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组合体，是由一个圆锥和一个圆柱组成的．(3)如图(3)，是一个球．点评：抓住定义是判断的关键，对于不规则的图形绕轴旋转问题，要对平面图形作适当的分析，再根据柱、锥、台、球的结构特征进行判断．巩
固　下列命题中，正确的是(　　)A．直角三角形绕一条边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线解析：A错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个几何体，如图(1)．B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(2)．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(4)．C正确，如图(3)．答案：C题型六　旋转体的侧面展开图例6　如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？分析：→→解析：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′即为蚂蚁爬行的最短距离∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.∴AB′＝＝＝2，所以蚂蚁爬行的最短距离为2.点评：求侧面上两点间最短距离，转化为侧面展开图上两点间的距离．巩
固　若本例中蚂蚁围绕圆柱转两圈，如图所示，则它爬行的最短距离是多少？解析：可把圆柱展开两次如图，则AB′即为所求．AB＝2，BB′＝2×2π×1＝4π，∴AB′＝＝＝2.所以蚂蚁爬行的最短距离为2.1．在三棱锥ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为(　　)A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：每个三角形都可以作为底面．答案：D2．关于棱台，下列说法正确的是(　　)A．两底面可以不相似B．侧面都是全等的梯形C．侧棱长一定相等D．侧棱延长后交于一点解析：只有D符合棱台的特征．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　)解析：A、B、C中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．下列说法正确的是(　　)A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：A、B都错，反例如图(1)；C也错，反例如图(2)，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知D对．答案：D5．下列图形不是正方体表面展开图的是(　　)解析：图C不能围成正方体．答案：C6．八棱锥的侧面个数是(　　)A．8个
B．9个
C．10个
D．11个解析：底面为8边形，须有8个侧面．答案：A7．下列说法中正确的是(　　)A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条解析：A错，两个底面；B正确，最简单的是三棱柱．答案：B8．如果一个棱锥的各个侧面是等边三角形，那么这个棱锥不可能是(　　)A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥解析：若是六棱锥，各侧面顶角之和为6×60°＝360°，即各侧面就成为平面图形．答案：D9．一个棱柱至少有______个面，面数最少的棱柱，有______条棱，有______条侧棱，有______个顶点．答案：5　9　3　6
10．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是________．解析：三个几何体都是棱柱．答案：311．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60
cm，则每条侧棱长为________
cm.解析：是五棱柱，侧棱长相等60÷5＝12.答案：1212．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：可看作以左右两面为底面的四棱柱．答案：四棱柱13．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．解析：如图，分割为A1ABC，BA1B1C1，CA1B1B
3个棱锥．答案：314．请画出如图所示的几何体的表面展开图．解析：展开图如图所示．15．判断下列语句的对错．(1)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(2)五棱锥只有五条棱；(3)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．解析：(1)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(2)不正确．五棱锥除了5条侧棱外，底面上还有5条棱，故共10条棱．(3)正确．16．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线．解析：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法：(1)若将C1D1剪开，使面AB1与面A1C1共面，可求得AC1＝＝＝4.(2)若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得AC1＝＝＝3.(3)若将CC1剪开，使面BC1与面AB1共面，可求得AC1＝＝.比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.1．对棱柱的判断．(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是平行四边形；(3)这些平行四边形的面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．这三个条件缺一不可．2．对棱锥的判断．强调各侧面三角形必须有一个公共顶点．3．对棱台的判断．(1)棱台的上、下底面平行；(2)延长棱台的各侧棱交于一点；(3)棱台的各侧面都是梯形．三者缺一不可4．棱柱概念的推广．(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱．(2)直棱柱：侧棱垂直与底面的棱柱叫直棱柱．(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形．(5)长方体：底面是矩形的直平行六面体叫长方体．(6)正方体：棱长都相等的长方体叫正方体．5．判断旋转体，抓住定义是关键．对定义要深刻理解，分清哪条线是轴，什么图形旋转，旋转以后形成什么样的曲面，围成什么样的几何体．如例1.6．旋转体的母线旋转时形成旋转体的侧面，圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于顶点，圆台的母线延长相交于一点．7．用一个平面截球，得到的截面是圆面，而不是圆．8．圆台不能看成是两不等侧面及两圆周上对应点连线旋转横扫过凸面组成的，圆台的底面是两个半径不相等的圆，两圆所在的平面互相平行且和轴垂直．1．下列命题中，正确的是(　　)A．圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的解析：A错误，这里需指明绕直角梯形与底边垂直的腰旋转；B错误，这里需指明绕直角边旋转；C错误，圆柱是旋转体．答案：D2．在空间中，到定点的距离等于定长的所有点的集合是(　　)A．球
B．球的大圆
C．圆
D．球面解析：球是球体的简称．球体包括球面及所围成的空间部分．从集合观点来看，球可看作是空间中与一个定点的距离小于或等于定长的点的集合，这个定点就是球心，定长就是球的半径．答案：D3．下列命题中，正确的是(　　)A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上一个底面中心的截面是等腰梯形解析：用旋转体截面性质进行判断．平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，过圆台一个底面中心的截面若不经过轴，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的截面才是等腰梯形，故A、B、D均错，故选C.答案：C4．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)A．圆柱
B．圆锥C．球
D．圆台答案：C5．下列命题中的假命题是(　　)A．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆柱B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥D．以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥解析：圆锥的形成必须以直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转，如果绕其斜边旋转，就会形成两个圆锥．答案：B6．下列命题正确的个数是(　　)①球的半径是球面上任一点与球心的连线段的长；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是圆面．A．0个
B．1个C．2个
D．3个解析：命题①是正确的；命题②是错误的，只有两点的连线段经过球心时才为直径；命题③是错误的，命题④是正确的，截面为圆面而不是圆，故选C.答案：C7．下列命题中，正确的是(　　)①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．A．①②
B．②③C．①③
D．②④解析：①所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②④符合圆锥、圆柱母线的定义及性质．答案：D8．四个面为全等的正三角形的正四面体中，平行于一组相对棱，并平分其他各棱的截面是________．答案：正方形9．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形(如图)是(　　)A．①②
B．①③C．①②③
D．①②③④解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的对角线时，得②；当截面不平行于任何一个侧面，也不过任何一条对角线时，得①；但无论如何都不能得截面④.答案：C10．下列说法正确的是________(填序号)．①半圆弧以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．解析：半圆弧以其直径为轴旋转所形成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球，①不正确；②正确；球面和球是两个不同的概念，③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误．答案：②11．下列7种几何体：(1)柱体有________；(2)锥体有________；(3)球有________；(4)棱柱有________；(5)圆柱有________；(6)棱锥有________；(7)圆锥有________．答案：(1)a、d、e、f　(2)b、g　(3)c　(4)d、e、f　(5)a　(6)g　(7)b12．在下面4个平面图形中，哪几个是下面各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________(把你认为正确的序号都填上)．答案：①②13．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．解析：设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得解得r＝∴此圆柱的底面半径为.14．圆台的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图，∠ASO＝30°，在Rt△SO′A′中，＝sin
30°，∴SA′＝2r.在Rt△SOA中，＝sin
30°，∴SA＝4r.又SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.
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