新人教A版高中数学必修第二册：直线与平面平行的判定

授课主题
直线与平面平行的判定
教学目标
1．理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．3．了解空间与平面相互转换的数学思想．
教学内容
　　定理表示　　线面平行的判定定理面面平行的判定定理文字叙述平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行符号表示图形表示题型一　直线与平面平行判定定理的应用
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例1　正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE分析：可用两种方法：①证明线面平行，可用线面平行的判定定理．②线面平行可以转化为线线平行，而线线平行可通过“线段对应成比例”得到．连接AQ并延长交BC于K，连接EK，只需证出＝即可．证明：证法一：如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.又∵AP＝DQ，∴PE＝QB.又∵PM∥AB∥QN，∴＝，＝.∴PM綊QN.∴四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN.又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE.证法二：如图，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.在△AQD和△BQK中，由△AQD∽△BQK，得＝.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴其对角线AE＝BD.又AP＝DQ，∴PE＝BQ.∴＝，因此＝.∴PQ∥EK.又PQ?平面BEC，EK?平面BEC，∴PQ∥平面BEC.点评：证法一可称为“平行四边形法”，证法二可称为“三角形中的比例线段法”，都是证明线面平行时常用的方法．
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巩
固　
P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：如图所示，连接AC，BD交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，连接OQ，则OQ在平面BDQ内，OQ是△APC的中位线，∴PC∥OQ.∵PC在平面BDQ外，∴PC∥平面BDQ.题型二　平面与平面平行判定定理的应用
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例2
在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB．证明：如图，(1)连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF，∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD，又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接DF，MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1，∴MF∥AD，MF＝AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.点评：判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个面平行的相交直线，若找不到再引辅助线．巩
固　在正三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：平面AB1D1∥平面C1BD.证明：连接BD，C1D，∵D，D1分别为AC，A1C1的中点，∴AD∥=C1D1，∴四边形ADC1D1为平行四边形．则AD1∥C1D.同理：B1D1∥BD，又∵AD1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，且AD1∩B1D1＝D1，C1D?平面C1BD1，BD?平面C1BD，∴平面AB1D1∥平面C1BD.题型三　线面平行、面面平行的综合应用例3　如图所示，B为△ACD所在平面外一点，点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ACD．(1)证明：如图，连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H三点，∵M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴＝＝＝2，连接PF，FH，PH，有MN∥PF.又PF?平面ACD，MN?平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.(2)解析：由(1)可知＝＝，∴MG＝PH.又PH＝AD，∴MG＝AD.同理NG＝AC，MN＝CD，∴△MNG∽△DCA，∴S△MNG∶S△ACD＝(NG∶AC)2＝(1∶3)2＝1∶9.点评：这种面面平行、线面平行、线线平行的相互转化，是处理平行问题的基本思想方法．巩
固　如图，已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点．求证：SG∥平面DEF.证明：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，∵EF?平面SAB，SB?平面SAB.∴EF∥平面SAB.同理，DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.1．a、b、c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列命题：?a∥b；②?α∥β；③?a∥α.其中正确命题的个数是(　　)A．0个
B．1个
C．2个
D．3个解析：①错，a与b可平行、相交、异面．②错，c可平行于α与β的交线．③错，a?α也可能．答案：A2．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作(　　)A．0个
B．1个C．0个或1个
D．1个或2个解析：连接平面外的两点的直线，当该直线与平面平行时，过该直线的平面有1个，当该直线与平面相交时，过该直线的平面有0个．故选C.答案：C3．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥β，b∥β?a∥b；③a∥c，c∥α?a∥α；④a∥β，a∥α?α∥β；⑤a?α，b?α，a∥b?a∥α.其中正确的命题是(　　)A．①⑤
B．①②
C．②④
D．③⑤解析：由公理4知①正确；由直线与平面平行的位置关系知⑤正确．从而选A.其中②是错误的，因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异面．③是错误的，因为当a∥c，c∥α时，可能a∥α，也可能a?α.对于④，α，β可能平行，也可能相交．答案：A4．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则直线AE与平面BB1D1D的位置关系是______．答案：相交5．经过两条异面直线a、b之外的一点P，可作________个平面与a、b都平行．答案：16．(1)直线在平面外，这条直线一定与平面平行对吗？答案：错(2)直线与平面平行，那么该直线与平面内每条直线都平行对吗？答案：错(3)直线与平面平行，那么该直线与平面内每条直线都没有公共点对吗？答案：对(4)三棱柱的棱和面之间可以形成多少对线面平行？答案：9对(5)正方体的棱和面之间可以形成多少对线面平行？答案：24对7．正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E是DD1的中点．求证：BD1∥平面ACE.证明：如右图所示，连接BD，交AC于点O，则O是BD的中点，连接OE，因为E是DD1的中点，EO∥BD1，因为BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.8．证明：如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一点，则此直线和平面相交．证明：原题可化为已知：A∈α，A∈a，B?α，B∈a.求证：直线a与平面α相交．证明：假设直线a和平面α不相交，即a∥α或a?α.假设a∥α，就与A∈a，A∈α矛盾．假设a?α，就与B∈a，B?α矛盾．∴假设不成立．∴直线a和平面α相交．9．如图1是一个正方体(如图2)的表面展开图的示意图，MN和PQ是两个面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题：(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比．(1)解析：MN与PQ是异面直线，如图，在正方体中，PQ∥NC，∠MNC为MN与PQ所成角．∵MN＝NC＝MC，∴∠MNC＝60°.(2)解析：设正方体的棱长为a，则正方体的体积V＝a3.而三棱锥MNPQ的体积与三棱锥NPQM的体积相等，且NP⊥面MPQ.∴VNPQM＝×MP·MQ·NP＝a3，即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1
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6.1．填空：（1）正方体ABCDA1B1C1D1的6个面中，与AB平行的面有__________个．（2）若平面α内有直线b与a平行，那么α与a的位置关系是__________．（3）直线与平面内无数条直线都平行能否保证该直线与这个平面平行？__________．（4）如果一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，能否保证两个平面平行？__________．（5）两个平面相交，其中一个平面内是否存在两条直线与另外一个平面平行？__________．答案：（1）2；（2）a∥α或a?α；（3）不能；（4）不能；（5）存在.2．若l∥平面α，m?α，则l与m的关系是(　　)A．l∥m
B．l与m异面C．l∩m≠?
D．l∩m＝?解析：l与m可以异面或平行，即l∩m＝?.答案：D3．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定平面α与平面β平行的是(　　)A．a∥α，a∥βB．△ABC?α，△A1B1C1?β，且△ABC∽△A1B1C1C．α内无数条直线都与β平行D．l，m是两条相交直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β解析：a∥α，a∥β?α与β可以相交；三角形相似只是要对应边成比例；α内无数条直线但不是任何一条直线，故A，B，C不能判断α∥β，选D.答案：D4．下列说法中正确的个数是(　　)①两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；②两个平面没有公共点，那么这两个平面平行；③如果两条直线都平行于另一个平面，那么这两条直线平行；④两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行．A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：①③④错，②正确．答案：A5．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线NM与平面BDC的位置关系为________．解析：连接BD，∵＝，∴MN∥BD.又∵MN?平面BDC，BD?平面BDC，∴MN∥平面BDC.答案：平行
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