新人教A版高中数学必修第二册：直线与平面、平面与平面平行的性质

授课主题
直线与平面、平面与平面平行的性质
教学目标
1．熟练掌握直线与平面平行的性质定理的应用，并在应用中充分感知、体验转化的数学思想方法在立体几何中的作用．2．理解并掌握两平面平行的性质定理，能够应用性质定理解决问题．
教学内容
线面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言图形语言作用线面平行?线线平行面面平行的性质定理文字语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言图形语言作用面面平行?线线平行题型一　证线线平行
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例1　三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条也和它们分别平行．已知：如图，平面α∩平面β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2.求证：l1∥l3，l2∥l3.分析：欲证线线平行，只需根据条件转化为线面平行，再进一步应用线面平行的性质定理转化为线线平行．证明：∵l1∥l2，l1?γ，l2?γ，∴l1∥γ(根据直线和平面平行的判定定理)．∵l1?β，β∩γ＝l3，∴l1∥l3(根据直线和平面平行的性质定理)．又∵l1∥l2，∴l2∥l3，∴l1∥l3，l2∥l3.点评：直线与平面平行的判定定理与直线与平面平行的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．
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巩
固　如图所示，过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1∥EE1.证明：∵BB1∥CC1，BB1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，∴BB1∥平面D1DCC1.又∵BB1?平面BB1E1E，平面BB1E1E∩平面DD1C1C＝EE1，∴BB1∥EE1.题型二　线面平行性质的综合应用
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例2
已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH∥FG.
求证：EH∥BD.?EH∥平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD?EH∥BD.点评：(1)应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面．证明与平行有关的问题时，线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来使用．(2)证明线线平行常用的方法有：①定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．②平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．③直线与平面平行的性质定理．④反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而证明两条直线应当是平行的．巩
固　已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l.证明：如图，过a作平面γ交α于b，∵a∥α，∴a∥b，过a作平面ε交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c，又b?β且c?β，∴b∥β.又平面α过b交β于l，∴b∥l，∵a∥b，∴a∥l.题型三　线面平行性质的有关计算例3　如图所示，在三棱锥PABC中，PA＝4，BC＝6，与PA，BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的取值范围．解析：∵PA∥平面EFGH，PA?平面PAB，平面PAB∩平面EFGH＝EH，∴PA∥EH，同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG；∴＝，EF＝；＝＝，FG＝.∴四边形EFGH的周长l＝2(EF＋FG)＝＝＝＝8＋，由于0<<1，所以8(2)为了确定周长的取值范围，利用平行性质，结合相似比，将周长化归为AE与AB的比的范围，注意体会这种化归的思想．
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巩
固　如图，a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G三点，若BD＝4，CF＝4，AF＝2，求EG.解析：∵A?a，∴A，a可确定一个平面，设为β.∵B∈a，∴B∈β.又A∈β，∴AB?β.同理AC?β，AD?β.∵点A与直线a在α的异侧，∴β与α相交．∴平面ABD与平面α相交，设交线为EG.∵BD∥α，BD?平面BAD，而平面BAD∩α＝EG，∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.∴＝.∴EG＝·BD＝×4＝.题型四　面面平行性质的应用
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例4　如图，已知平面α∥β，直线AB分别交α，β于点A，B，直线CD分别交α，β于点C，D，M，N分别在线段AB，CD上，且＝.求证：MN∥平面β.分析：本题应分两种情况分别研究，当AB，CD共面时，易得MN∥BD，可推出MN∥平面β.当AB，CD异面时，可通过作辅助平面，由面面平行推出线线平行．证明：(1)当AB，CD共面时，平面ABDC∩平面α＝AC，平面ABDC∩平面β＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.在平面ABDC内，∵＝，∴AC∥MN∥BD.∵BD?β，MN?β，∴MN∥平面β；(2)当AB，CD异面时，如图，过点A作AD′∥CD交平面β于点D′，在平面ABD′内作ME∥BD′交AD′于点E，则＝.又＝，∴＝，连接EN，设AD′，CD确定的平面为γ，则γ∩α＝AC，γ∩β＝DD′.又α∥β，∴AC∥DD′，∴AC∥EN∥D′D，∵ME∥BD′，BD′?β，ME?β，∴ME∥平面β，同理EN∥平面β，∴平面MEN∥平面β，又∵MN?平面MEN，∴MN∥平面β.巩
固　如右图所示，在底面是菱形的四棱锥P?ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝
2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解析：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下．如右图所示，取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE.　①由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，连接BM，BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点．所以BM∥OE.②由①②知，平面BFM∥平面AEC.所以BF∥平面AEC.题型五　线面平行、面面平行的综合应用例5
在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且MN∥平面AA1B1B，求证：CM＝DN.证明：作ME∥CB交BB1于点E，作NF∥DA交AB于点F.∵BC∥AD，∴ME∥NF，∴M，E，F，N四点共面．∵MN∥平面AA1B1B，∴MN∥EF.∴四边形MEFN为平行四边形．∴ME＝NF.∵＝，＝，BC＝AD，∴＝.又B1C＝BD，∴B1M＝BN.从而CM＝DN.例6　如右图所示，棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH.又GH?平面BCD，∴EF∥面BCD.而面ACD∩面BCD＝CD，EF?平面ACD.∴EF∥CD，而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH.∴CD∥平面EFGH.巩
固　如图，异面直线AB，CD被三个平行平面α，β，γ所截，A，D∈α，B，C∈γ，AC，AB，DB，DC分别交β于点E，F，G，H.(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由．(2)如果AD＝6，BC＝8，E是线段AC的中点，当四边形EFGH的面积等于6时，试求异面直线AD与BC所成的角的大小．解析：(1)四边形EFGH是平行四边形．∵β∥γ，平面ABC∩平面β＝EF，平面ABC∩平面γ＝BC，∴EF∥BC，同理可证HG∥BC，∴EF∥HG.同理EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形．(2)∵E是线段AC的中点，∴EF是△ABC的中位线．∴EF＝BC＝×8＝4，且EF∥BC.同理EH＝AD＝×6＝3，且EH∥AD.∴直线EF，EH所成的角为异面直线BC，AD所成的角．∵S△EFH＝S?EFGH＝·EF·EH·sin∠FEH＝6sin∠FEH＝3，∴sin∠FEH＝.又0°<∠FEH≤90°，∴∠FEH＝60°.即异面直线BC与AD所成的角为60°.1．若直线a不平行于平面α，则下列结论中成立的是(　　)A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点解析：直线与平面的位置关系为相交或在平面内，故直线a与平面α有公共点．答案：D2．如果a，b是异面直线，且a∥平面α，那么b与α的位置关系是(　　)A．b∥α
B．b与α相交C．b?α
D．不确定解析：b与α相交或b?α两种情况．答案：D3．如果一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是(　　)A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定答案：D4．已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(　　)A．平行
B．相交或平行C．相交或异面
D．平行或异面答案：A5．直线a∥平面α，平面α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(　　)A．至少有一条
B．至多有一条C．有且只有一条
D．不可能有解析：直线a与n条直线的交点可确定一个平面，该平面与平面α的交线与a平行，故至多有一条直线与a平行．答案：B6．下面给出四个结论，其中正确结论的个数是(　　)①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥b，b?α，则a∥α；④若a∥b，b∥α，则a∥α.A．0个
B．1个
C．2个
D．4个解析：①②③④都不正确．答案：A7.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(　　)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°答案：C8．a∥β，b∥β，则直线a与b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直且不相交．其中可能成立的有________．答案：①②③④9．三条异面直线a，b，c两两异面，它们所成的角都相等且存在一个平面与这三条直线都平行，则a与b所成的角的度数为(　　)A．30°
B．45°
C．60°
D．90°解析：与a，b，c都平行的平面记为α，如图所示，作a′∥a，b′∥b，c′∥c，则a′，b′，c′所成的角都相等，即为60°.答案：C10．已知直线a，b，平面α，且a∥b，a∥α，a，b都在平面α外，求证：b∥α.证明：过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c，∵a∥α，a?β，a?α，α∩β＝c，∴a∥c.∵a∥b，∴b∥c.又∵c?α，b?α，∴b∥α.11．E，H分别是空间四边形ABCD的边AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于F，G.求证：EH∥FG.证明：连接EH.∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.又BD?平面BCD，EH?平面BCD，∴EH∥平面BCD.又EH?平面α，平面α∩平面BCD＝FG，∴EH∥FG.12．如图所示，一平面与空间四边形ABCD的对角线AC，BD都平行，且交空间四边形的边AB，BC，CD，DA分别于E，F，G，H.(1)求证：EFGH为平行四边形；解析：证明：∵BD∥平面EFGH，BD?平面ABD，平面ABD∩平面EFGH＝EH，∴BD∥EH，同理BD∥FG.∴EH∥FG，同理EF∥HG.∴四边形EFGH为平行四边形．(2)若AC＝BD，四边形EFGH能否为菱形？解析：四边形EFGH为菱形．(3)在什么情况下，四边形EFGH为矩形？解析：当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．(4)在什么情况下，四边形EFGH为正方形？解析：当AC⊥BD，AC＝BD，且E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点时，四边形EFGH为正方形．
1．若α∥β，a?α，下列四个命题正确的是(　　)①a与β内所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内任意直线都不垂直；④a与β无公共点．A．①②　　B．②④　　C．②③　　D．①③④答案：B2．已知α∥β，下面正确的是(　　)A．若a?α，b?β则a∥bB．若a?α，b?β则a，b异面C．若a?α，b∥β则a∥bD．若a?α，b?β则a∥β，b∥α答案：D3．平面α∥平面β，若直线AB?α，直线CD?β，则直线AB和CD(　　)A．平行
B．是异面直线C．是不相交的两条直线
D．不是异面直线答案：C4．α、β、γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离的取值范围是(　　)A．{1}
B．{7}C．{1,7}
D．[1,7]答案：C5．已知直线a∥平面α，则a与平面α内的直线的位置关系为(　　)A．相交B．平行C．异面或平行D．异面答案：C6．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列结论：①若m∥β，n∥β，且m?α，n?α，则α∥β；②若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；③若α∥γ，β∥γ，则α∥β；④若α∥β，且γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n.其中正确的是(　　)A．①③
B．①④
C．②④
D．③④解析：③④正确，对于①中，m与n相交时，α∥β，对于②中，m可以在α内或β内．答案：D7．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　)A．2∶25
B．4∶25
C．2∶5
D．4∶5解析：易知平面ABC∥平面A′B′C′，∴AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.∴△A′B′C′∽△ABC.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴＝＝.∴＝.答案：B8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)A．16
B．24或C．14
D．20解析：当点P在α，β的同侧时，BD＝，当点P在α，β两平面之间时，BD＝24.答案：B9．判断命题的真假(对的在括号内打“√”，错的打“×”)：(1)平行于同一直线的两直线平行．(　　)答案：√(2)平行于同一直线的两平面平行．(　　)答案：×(3)平行于同一平面的两直线平行．(　　)答案：×(4)平行于同一平面的两平面平行．(　　)答案：√10．(1)过平面外一点作该平面的平行平面只有一个，对吗？答案：对(2)过平面外一点作该平面的平行直线只有一条，对吗？答案：错(3)过平面外一条直线作该平面的平行平面一定有一个，对吗？答案：错(4)两个平面不相交就一定平行，对吗？答案：对11．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面EFG∥平面ABC.证明：作EP⊥BB1交于点P，连接PF，在正三棱柱ABCA1B1C1的侧面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1，又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.∴EP∥平面ABC，且＝.又∵BE＝CF，A1B＝CB1，∴＝.∴PF∥BC，则PF∥平面ABC.∵EP∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.∵EF?平面PEF，∴EF∥平面ABC.同理：GF∥平面ABC.∵EF∩GF＝F，∴平面EFG∥平面ABC.12．如图，已知平面α∥平面β，线段PQ，PF，QC分别交平面α于A，B，C点，交平面β于D，F，E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．解析：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE，∴∠CAB＝∠EDF.在△PDF中，AB∥DF，DF＝·AB＝AB，同理DE＝AC.S△DEF＝·DF·DE·sin∠EDF＝S△ABC＝96.13．如右下图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点．求证：MN∥平面ADD1A1.证明：如下图所示，取CD的中点K，连接MK、NK.
∵M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，∵MK∥AD，NK∥DD1，∴MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A.而MK与NK相交，∴平面MNK∥平面ADD1A1.∵MN?平面MNK，∴MN∥平面ADD1A1.
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