授课主题
直线与平面、平面与平面垂直的判定
教学目标
1．掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，能灵活应用判定定理证明直线和平面垂直．2．知道直线与平面所成角的概念，并会求简单的角．3．掌握二面角的概念，会求简单的二面角的大小，掌握平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用．
教学内容
1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a?α，b?α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b?l⊥α.2．直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角.如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．(3)直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．3．二面角
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．如图，记作：二面角α-l-β或P-AB-Q或P-l-Q．(2)二面角的平面角．如图，二面角α-l-β，若有：①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB就叫做二面角α-l-β的平面角．2．面面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β.(3)面面垂直的判定定理．文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．符号表示：题型一 直线和平面垂直的判定定理
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"F:\\源文件\\人教B版\\左括.TIF"
\
MERGEFORMATINET
例1 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.分析：要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理需证线线垂直，已知AN⊥PM，只需在平面PBM中再找一条与PM不平行的直线与AN垂直即可．证明：设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BM?α，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM.由于直线PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，∴BM⊥AN.∴AN与PM，BM两条相交直线互相垂直．故AN⊥平面PBM.点评：判定定理需要五个条件，缺一不可，判定定理实质是把证线面垂直转化为证线线垂直问题来处理．巩
固 如图，在三棱锥PABC中，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AB，求证：BC⊥平面PAB.证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.题型二 求直线与平面所成的角例2
如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求CD与平面ADMN所成的角的正弦值．(1)证明：∵N是PB的中点，PA＝AB，∴AN⊥PB.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又BA⊥AD，PA∩BA＝A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.又∵AD∩AN＝A，从而PB⊥平面ADMN.∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM.(2)解析：如图，取AD的中点G，连接BG，NG，则BG∥CD.∴BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等．∵PB⊥平面ADMN，∴∠BGN是BG与平面ADMN所成的角．在Rt△BGN中，sin∠BGN＝＝.故CD与平面ADMN所成角的正弦值为.点评：求斜线与平面所成的角要注意：一作，二证，三求三个步骤．巩
固 已知：如图，MA⊥平面ABC，Rt△BMC中，斜边BM＝5，∠MBC＝60°，AB＝4，求MC与平面CAB所成角的正弦值.解析：∵MA⊥平面ABC，∴AC为MC在平面CAB内的射影．∴∠MCA为直线MC与平面CAB所成的角．又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5×sin
60°＝5×＝，在Rt△MAB中，MA＝＝＝3，在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.∴MC与平面CAB所成角的正弦值为.题型三 直线和平面垂直的应用例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA＝AB＝2.(1)证明：BC⊥平面AMN.(2)求三棱锥NAMC的体积．(3)在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE？若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．(1)证明：因为ABCD是菱形，所以AB＝BC.又∠ABC＝60°，所以AB＝BC＝AC，又M为BC中点，所以BC⊥AM.而PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.又PA∩AM＝A，所以BC⊥平面AMN.(2)解析：因为S△AMC＝AM·CM＝××1＝.又PA⊥底面ABCD，PA＝2，所以AN＝1.所以，三棱锥NAMC的体积V＝S△AMC·AN＝××1＝.(3)解析：存在．如图，取PD中点E，连接NE，EC，AE，因为N，E分别为PA，PD中点，所以NEAD，又在菱形ABCD中，CMAD，所以NEMC，即MCEN是平行四边形，所以NM∥EC，又EC?平面ACE，NM?平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE＝PD＝.点评：证明线面垂直的首选方法是线面垂直的判定定理，而有关几何体体积的计算往往要用到高，而高与面的垂线有关，灵活确定底与高是求体积的关键．巩
固 已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)证明：C1C⊥BD；(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明这个结论．证明：(1)连接A1C1，AC，AC与BD交于点O，连接C1O，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD，又∵∠C1CB＝∠C1CD，C1C为公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.又∵DO＝OB，∴C1O⊥BD，又∵AC⊥BD，AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面AC1C，又∵C1C?平面AC1C，∴C1C⊥BD.(2)当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD，证明如下：由(1)知，BD⊥平面AC1C.∵A1C?平面AC1C，∴BD⊥A1C.当＝1时，四棱柱的六个面全都是菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C.又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.题型四 利用二面角解决相关问题例4 如图所示，在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC为棱，以△BCD和△BCA为面的二面角的大小．分析：由题目可知，本题主要考查二面角的概念和全等三角形的有关知识以及解三角形的有关知识．解决本题的关键是看清图形的对称性，由于是具有公共边的两个等腰三角形，所以根据二面角的平面角的定义很容易作出二面角的平面角．解析：如图，取BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC，∴DE⊥BC，∴∠AED为二面角ABCD的平面角．又∵△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形．∴AB＝AC＝DB＝DC＝，又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2，在Rt△DEB中，DB＝，BE＝1，∴DE＝＝，同理AE＝，在△AED中，∵AE＝DE＝，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，∴以△BCD和△BCA为面的二面角的大小为90°.点评：(1)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件．即这个角的顶点是否在棱上，角的两边是否分别在两个平面内，这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧．如本例中，充分利用图形的对称性(即有公共底边的两个等腰三角形)，取BC的中点，很快作出二面角的平面角，也就是利用定义作出二面角的平面角．(2)求二面角大小的基本程序是：先作出二面角的平面角，再以此角作出(或找到)相关三角形，解此三角形即可求出二面角的大小．巩
固 正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于( )A.
B.
C.
D.解析：连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．设AA1＝1，则AO＝，∴tan∠A1OA＝＝.答案：C题型五 平面与平面垂直的判定及综合应用例5
如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．解析：(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，∴AB⊥OC，又∵OC⊥OB，OB∩AB＝B，∴OC⊥平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图，作OE⊥BC，连接AE，平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，∴tan∠OAE＝＝.(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.点评：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角三种．求角度问题解题的一般步骤是：①找出这个角；②证明该角符合题意；③作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角．求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案．巩
固 如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，由N为PC的中点知EN//=DC，又ABCD是矩形，∴DC//=AB，∴EN//=AB.又M是AB的中点，∴EN//=AM，∴AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.而AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)∵PA＝AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN?平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.1．已知a，b是直线，α是平面，则下列命题中正确的是( )A．a⊥α，a⊥b?b∥α
B．a⊥b，a∥α?b⊥αC．a∥b，b∥α?a∥α
D．a⊥α，a∥b?b⊥α答案：D2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系( )A．垂直
B．平行C．a?α
D．无法确定答案：A3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是( )A．l?α
B．l与α相交C．l∥α
D．都有可能答案：D4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是( )A．存在无数个平面与a，b都平行B．存在一个平面与a，b等距离C．存在无数条直线与a，b都垂直D．存在一个平面与a，b都垂直答案：D5．下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②
B．②③④
C．①②④
D．①②③解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．答案：D6．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( )A．(0°，90°)
B．[0°，90°]C．[0°，180°]
D．[0°，180°)答案：B7．线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )A．30°
B．45°
C．60°
D．120°解析：解直角三角形可知，直线与平面α所成角的余弦值为.答案：C8．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是
( )A．平行B．相交C．不在同一平面内D．A、B、C三个选项均有可能答案：D9．三条直线两两垂直，下列四个命题：①三条直线必共点；②其中必有两条直线是异面直线；③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条直线在同一平面内．其中真命题的序号是________．解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．答案：③10．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．答案：垂直11．给出下列命题：①若直线a⊥平面α，且直线a⊥直线b，则b⊥平面α；②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．其中正确命题的序号是________．解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举反例说明．①b与平面α可以平行或者b?α.②直线垂直于平面α内的无数条平行直线时，直线与平面不一定垂直．③由反证法可知正确．答案：③12．设三棱锥PABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA，PB，PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确的命题是________(填序号)．解析：根据线面垂直的定义及有关垂心、外心的概念来判断．答案：①②③④13．如图，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；证明：∵PH为△PAD中的高，∴PH⊥AD.又AB⊥平面PAD，PH?平面PAD，∴PH⊥AB，AB∩AD＝A.∴PH⊥平面ABCD.(2)证明：EF⊥平面PAB.证明：取PA的中点Q，连接EQ，DQ，∵E是PB的中点，∴EQ∥AB且EQ＝AB.又DF＝AB且DF∥AB，∴EQ綊DF，∴四边形EQDF是平行四边形．∴EF∥DQ.由(1)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥DQ.又∵PD＝AD，∴DQ⊥PA.∵PA∩AB＝A，∴DQ⊥平面PAB.∵EF∥DQ，∴EF⊥平面PAB.14.如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.(1)求证：AB⊥平面ADE；证明：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.∵AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)求凸多面体ABCDE的体积．解析：在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝6，∴DE＝＝3.如图，过点E作EF⊥AD于点F，∵AB⊥平面ADE，EF?平面ADE，∴EF⊥AB.∵AD∩AB＝A，∴EF⊥平面ABCD.∵AD·EF＝AE·DE，∴EF＝＝＝.又正方形ABCD的面积S正方形ABCD＝36，∴V多面体ABCDE＝VEABCD＝S正方形ABCD·EF＝×36×＝18.故所求凸多面体ABCDE的体积为18.
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )A．0个
B．1个C．无数个
D．1个或无数个解析：当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．答案：D2．若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不确定解析：若方向相同则相等，若方向相反则互补．答案：C3．已知a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，则( )A．α⊥β
B．α与β相交C．α∥β
D．以上都有可能答案：D4．若平面α与平面β不垂直，那么α内能与β垂直的直线( )A．有0条
B．有一条C．有2条
D．有无数条答案：A5．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )A．相等
B．互补C．互余
D．无法确定解析：如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角αlβ的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A＋∠BDC＝180°.答案：B6．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )A．有一个
B．有两个C．有无数个
D．不存在解析：经过l的任一平面都和α垂直．答案：C7．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有( )A．8对
B．7对C．6对
D．5对解析：如图，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD.答案：B8．如图，在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC，沿AD将△ABD折起，若折起后B，C间距离为a，则二面角BADC的大小为( )A．30°
B．45°
C．60°
D．90°解析：由题意知∠BDC即为二面角BADC的平面角．∴在△BCD中，BC＝CD＝DB＝a，∴∠BDC＝60°，即二面角BADC的大小为60°.故选C.答案：C9．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n∥α，则m⊥n答案：D10．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )A．α∥γ
B．α⊥γC．α与γ相交，但不垂直
D．以上都有可能答案：D11．以下命题正确的个数是( )①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小．A．0个
B．1个
C．2个
D．3个答案：B12．若α∥β，a⊥α，则a与β的位置关系是________．答案：垂直13．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和CC1于E，F两点．(1)求证：A1E＝CF；证明：由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1，又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，∴D1E∥BF，同理BE∥D1F，∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E＝BF，∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.(2)若E，F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1.证明：∵四边形EBFD1是平行四边形．AE＝A1E，FC＝FC1，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．连接EF，BD1，A1C1∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，∴B1D1⊥平面A1ACC1，又EF?平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1，又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1，又EF?平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1.14．如图甲，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2a，E为DC的中点，现将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，如图乙．(1)求二面角ABCD的正切值；解析：取AE中点O，BC中点F，连接DO，OF，DF(如图)．由题知：AB＝2AD，DE＝EC，∴AD＝DE，∴DO⊥AE，又∵平面ADE⊥平面ABCE，∴DO⊥平面ABCE，又∵AB⊥BC，OF∥AB，∴OF⊥BC，由三垂线定理得DF⊥BC，∴∠DFO为二面角ABCD的平面角．在Rt△DOF中，DO＝a，OF＝＝a，∴tan∠DFO＝＝.即二面角ABCD的正切值是.(2)求证：AD⊥平面BDE.证明：连接BE，则BE＝＝a，又AE＝a，AB＝2a，∴AB2＝AE2＋EB2，∴AE⊥EB.由(1)知DO⊥平面ABCE，∴DO⊥BE，又∵DO∩AE＝O，∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥AD，又∵AD⊥DE，BE∩DE＝E，∴AD⊥平面BDE.
PAGE
