新人教A版高中数学必修第二册：直线与平面、平面与平面垂直的性质

授课主题
直线与平面、平面与平面垂直的判定
教学目标
1．理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问题．2．了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．
教学内容
1．直线与平面垂直的性质定理.文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行　　　符号语言图形语言作用①线面垂直?线线平行；②作平行线　　
　2．平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言图形语言作用①面面垂直?线面垂直；②作面的垂线　
题型一　线面垂直性质的应用
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例1　如右图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD证明：(1)如图，取PD的中点E，连接AE，NE，又N为PC中点，则NE∥CD，NE＝CD.又∵AM∥CD，AM＝CD，∴AM//=NE.∴四边形AMNE为平行四边形．∴MN∥AE.∵???CD⊥AE.∴MN⊥CD.(2)当∠PDA＝45°时，Rt△PAD为等腰直角三角形，则AE⊥PD.又MN∥AE，∴MN⊥PD.又PD∩CD＝D，∴MN⊥平面PCD.点评：线面垂直是空间垂直关系的核心，是线线垂直，面面垂直，线面、面面平行相互转化的桥梁．
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巩
固　如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.证明：过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ.∵b⊥β，c?β，∴b⊥c.①∵a⊥α，c?α，∴a⊥c.又a′∥a，∴a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.题型二　面面垂直性质的应用例2
如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA?平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．巩
固　如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角BPCA的正切值．证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，BD?平面PAD.∴BD⊥平面PAC.(2)设AC与BD交于点O，连接OE，∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO.∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.∴∠BEO为二面角BPCA的平面角．∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD为正方形，∴BO＝.在△PAC中，＝?＝?OE＝.∴tan∠BEO＝＝3.∴二面角BPCA的平面角的正切值为3.题型三　综合应用例3　如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.(2)解析：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连接DE，EF，DF，在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E.PB?平面PGB，GB?平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．巩
固　如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC的体积．证明：(1)因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA，因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC.(2)解析：作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因为∠AEB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，所以Rt△AEB≌Rt△BEP，所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.因为PC⊥平面AEB，所以三棱锥PABC的体积V＝·S·PC＝.1．若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　)A．只有一条
　　
　B．有无数条C．是平面α内的所有直线
　　　D．不存在解析：找到a在平面α内的射影，在平面α内有无数条直线与射影垂直，也与a垂直．答案：B2.如图，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，下列结论中不正确的是(　　)
A．PB⊥BCB．PD⊥CDC．PO⊥BDD．PA⊥BD答案：C3．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，下列命题中不正确的是(　　)A.?a⊥β
B.?a⊥bC.?c∥α
D.?b⊥α答案：D4．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n　②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n　③m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n　④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n其中真命题的序号是(　　)A．①②
B．③④
C．①④
D．②③答案：D5．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．答案：56．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a与β的位置关系为__________．答案：a∥β或a?β或a与β相交7．已知，△ABC所在平面外一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.证明：过B作BD⊥VA于D，∵平面VAB⊥平面VAC，∴BD⊥平面VAC，∴BD⊥AC，又∵VB⊥平面ABC，∴VB⊥AC，又∵BD∩VB＝B，∴AC⊥平面VBA，∴AC⊥BA.8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF，其中BC＝.(1)证明：DE∥平面BCF；解析：在等边三角形ABC中，AD＝AE，∴＝，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，∴DE∥BC.又∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)证明CF⊥平面ABF.解析：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，即AF⊥CF，①且BF＝CF＝.∵在三棱锥ABCF中，BC＝，∴BC2＝BF2＋CF2.∴CF⊥BF.②∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)当AD＝时，求三棱锥FDEG的体积VF－DEG.解析：由(1)可知，GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴VFDEG＝VEDFG＝××DG×FG×GE＝××××＝.1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(　　)A．b∥α　
B．b?α　
C．b⊥α　
D．b∥α或b?α答案：D2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(　　)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内答案：D3．若直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列四个命题：①α∥β?l⊥m　②α⊥β?l∥m　③l∥m?α⊥β
④l⊥m?α∥β其中正确的命题的序号是(　　)A．①②
B．③④
C．②④
D．①③答案：D4．如图，?ADEF的边AF垂直于平面ABCD，AF＝2，CD＝3，则CE＝________.解析：∵AF∥ED，AF⊥平面ABCD，∴ED⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.在Rt△EDC中，ED＝2，CD＝3，∴CE＝＝.答案：
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