新人教A版高中数学必修第二册：倾斜角及直线平行垂直的判定

授课主题
直线的倾斜角、及平行垂直的判定
教学目标
1．掌握直线倾斜角的定义和取值范围．2．掌握直线斜率的定义、斜率与倾斜角的关系．3．掌握过两点的直线的斜率计算公式．4．理解两直线平行与垂直时倾斜角之间的关系．5．能够通过代数的方法，运用斜率来判定两直线平行与垂直关系．
教学内容
1．倾斜角与斜率
(1)倾斜角与斜率的概念.倾斜角斜率前提条件直线l与x轴相交倾斜角不是90°定义取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角直线l倾斜角的正切值表示或记法αk＝tan
α
(2)倾斜角与斜率的对应关系
由上表可知直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°，斜率k的取值范围是(－∞，＋∞)．2．过两点的直线的斜率公式
直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝
(x1≠x2)．3．两条直线平行的判定两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等.即：α1＝α2?l1∥l2?k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．4．两条直线垂直的判定探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2?k1k2＝－1.例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－，则l1⊥l2．题型一　求直线的倾斜角与斜率例1　如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率.分析：对于直线l1的斜率，可通过计算tan
30°直接获得，而求直线l2的斜率则需要先求出倾斜角α2.解析：l1的斜率k1＝tan
α1＝tan
30°＝.∵l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l2的斜率k2＝tan
120°＝tan(180°－60°)＝－tan
60°＝－.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及三角函数的诱导公式及特殊角正切值，还用到了平面几何知识，α2＝α1＋90°，然后再求tan
α2即可．巩
固　求倾斜角为下列数值的直线的斜率．(1)α＝30°；(2)α＝45°；(3)α＝60°；(4)α＝0°解析：(1)k＝tan
30°＝；(2)k＝tan
45°＝1；(3)k＝tan
60°＝；(4)k＝tan
0°＝0.题型二　根据斜率公式求斜率例2
已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．解析：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝，∴直线AB的斜率为，AC的斜率为.(2)如图，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.点评：(1)当已知两定点坐标，求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等．若相等，直线垂直x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解．(2)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．巩
固　求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．(1)(1,1)，(2,4)；(2)(－3,5)，(0,2)；(3)(4,4)，(4,5)；(4)(10,2)，(－10,2)．解析：(1)k＝＝3＞0，则倾斜角是锐角；(2)k＝＝－1＜0，则倾斜角是钝角；(3)倾斜角是90°(无斜率)；(4)k＝＝0，则倾斜角为0°.题型三　三点共线问题例3　求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．证明：由斜率公式知kAB＝＝2，kAC＝＝2.则kAB＝kAC，且直线AB与AC均过点A，即直线AB与AC重合，也即A，B，C三点共线．点评：已知三点中，若任意两点连线的斜率相等，则此三点一定共线；反之，当三点共线时，任意两点连线的斜率一定相等(除非都不存在)．解这类问题时要先对斜率是否存在作出判断，有时要先进行讨论，然后再下结论．巩
固　已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．解析：∵三点的横坐标不等，∴三点所共直线的斜率存在．由斜率公式可得kAB＝＝，kBC＝＝.∵三点在一条直线上，∴kAB＝kBC，即＝，解得a＝1.此时这条直线的斜率k＝kAB＝＝1，设这条直线倾斜角为α，当0°≤α<180°时，只有tan
45°＝1，∴α＝45°，即这条直线的倾斜角为45°.题型四　两条直线平行与垂直的关系例4　判定下列各小题中的直线l1与l2是否平行或垂直．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)(3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)(4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10，40)，N(10,40)解析：(1)k1＝＝1，k2＝＝.∵k1≠k2，k1k2≠－1∴l1与l2不平行也不垂直．(2)k1＝1，k2＝＝1，∴k1＝k2.∴l1∥l2或l1与l2重合．(3)k1＝－10，k2＝＝.∵k1k2＝－1，∴l1⊥l2.(4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴，k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.点评：(1)通过直线的斜率来判定直线的平行关系是解析几何基本思想的一种具体体现，即我们可以通过判断两条不重合直线的斜率是否相等来判断两条直线是否平行．(2)两直线垂直是两直线相交的一种特例，如果这两条垂直直线的斜率都存在，则有k1k2＝－1，如果这两条直线中有一条斜率不存在，则另一条斜率必为0.即l1⊥l2?巩
固　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．解析：两直线斜率都存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.据题目所给条件表示出k1，k2，进而求出a的值．设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－，又k1＝，则＝－，∴a＝1，或a＝6.经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2，①当k2＝0时，a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l2的斜率存在，此时k1＝.∴由k2k1＝－1，可得a＝3或a＝－4.题型五　两直线平行与垂直的应用例5
已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．解析：设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边．①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD.∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3.此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3,3)．②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，kCD＝，又∵AD⊥AB，∴·3＝－1.又AB∥CD，∴＝3.解上述两式可得此时AD与BC不平行．综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为(3,3)或.点评：(1)把哪条边作为直角梯形的直角腰是分类的标准，解决此题时要注意不要丢根．(2)在遇到两条直线的平行或垂直的问题时，一是要注意直线的斜率不存在时的情形，如本例中的CD作为直角腰时，其斜率便不存在．巩
固　已知四边形ABCD的顶点为A(2，2＋2)，B(－2,2)，C(0,2－2)，D(4,2)，求证：四边形ABCD为矩形．分析：证明四边形为矩形有两种方法：一是首先证明四边形是平行四边形，再说明有一对邻边互相垂直；二是直接证明四组邻边都互相垂直．kAB＝＝，kBC＝＝－，kCD＝＝，kDA＝＝－.证明：证法一：∵kAB＝kCD，kBC＝kDA，∴AB∥CD，BC∥DA.∴ABCD是平行四边形．又kAB·kBC＝－1，即AB⊥BC.∴ABCD为矩形．证法二：由kAB·kBC＝－1，kDA·kAB＝－1，kCD·kBC＝－1，kCD·kDA＝－1知AB⊥BC，AB⊥DA，CD⊥BC，CD⊥DA，∴ABCD为矩形．1．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)A．－3
B．3
C．－
D.答案：B2．过点A(1,2)和B(－3,2)的直线与直线y＝0的位置关系是(　　)A．相交
B．平行
C．重合
D．垂直答案：B3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)A.
B．－
C.
D．－答案：D4．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(　　)A．①②③④
B．①③C．②④
D．以上全错答案：B5．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是(　　)A．60°
B．120°
C．45°
D．135°答案：C6．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)，(x,6)，且l1∥l2，则x＝(　　)A．2
B．－2
C．4
D．1答案：A7．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，点D使直线CD⊥AB，且CB∥AD，则点D坐标是(　　)A．(1,0)
B．(－1,0)C．(0，－1)
D．(0,1)答案：D　8．以A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)为顶点的三角形是(　　)A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A为直角顶点的直角三角形D．以B为直角顶点的直角三角形答案：D9．在直角坐标平面内有两个点A(4,2)，B(1，－2)，在x轴上有点C，使∠ACB＝，则点C的坐标是(　　)A．(3,0)
B．(0,0)C．(5,0)
D．(0,0)或(5,0)答案：D10．下列各对直线不互相垂直的是(　　)A．l1的倾斜角为120°，l2过点P(1,0)，Q(4，)B．l1的斜率为－，l2过点A(1,1)，BC．l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2)D．l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点A(－6,0)，S(－1，3)答案：C11．经过点(m,3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．答案：212．确定l1与l2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l1过点A(2,3)，B(－1,0)，l2过点P(1,0)且斜率为1，则l1________l2.(2)l1过点C(3,1)，D(－2,0)，l2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l1________l2.解析：(1)∵kl1＝＝1，∴l1∥l2.(2)kl1＝，∴kl1·kl2＝－1，∴l1⊥l2.答案：(1)∥　(2)⊥13．△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．解析：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即－·＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即·＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.14．已知四边形MNPQ的顶点M(1,1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2,2)，求证：四边形MNPQ为矩形．证明：∵kMN＝＝－1，kPQ＝＝－1，∴MN∥PQ.又∵kMQ＝＝1，kNP＝＝1，MQ∥NP，∴四边形MNPQ为平行四边形．又∵kMN·kMQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．填空：（1）当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为____．（2）当直线倾斜角为90°时它的斜率______．α取值范围是______．答案：（1）0°；（2）不存在　[0，π).2．如图所示，直线l与y轴垂直，则直线l的倾斜角为(　　)A．0°
　　
B．90°C．180°
　　
D．不存在答案：A3．已知直线l的倾斜角α＝30°，则其斜率k的值为(　　)A．0
B.
C.
D．1答案：B4．直线l经过原点和(1，－1)，则它的倾斜角是(　　)A．45°
B．135°C．45°或135°
D．－45°答案：B5．以下四个命题错误的是(　　)①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；④坐标平面上所有直线都有斜率．A．①②
B．③④
C．①③
D．②④答案：D6．过两点(2，－6)和(－，3)的直线的斜率为(　　)A．－
B.
C．－
D.答案：A7．下列各组点中，三点共线的是(　　)A．(1,4)，(－1,2)，(3,5)B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)C．(1,0)，，(7,2)D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)答案：C
8．直线2x－3y＋1＝0的一个方向向量是(　　)A．(2，－3)
B．(2,3)C．(－3,2)
D．(3,2)答案：D9．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)A．1
B．4
C．1或3
D．1或4解析：由斜率公式得＝1，解得m＝1.答案：A10．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)A．k1B．k3D．k1α3，∴k2>k3>0，故选D.答案：D11．已知直线l的斜率k＝－1，则其倾斜角为_________.答案：135°12．直线l的斜率为k，倾斜角是α，－1α<1,0°≤α<180°，求α即可．答案：∪13．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围．解析：如图所示，由题意可知：kPA＝＝－1，kPB＝＝3.要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥3.14．求经过点A(ma，mb)，B(a，b)(ab≠0，m≠1)两点的直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．解析：∵ab≠0且m≠1，∴经过两点的直线的斜率k＝＝，即tan
α＝.则当ab＞0时，α为锐角，当ab＜0时，α为钝角．
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