新人教A版高中数学必修第二册：两点距离、两平行线间的距离

授课主题
两点距离及两平行线间的距离
教学目标
1．掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程的系数判定解的情况，掌握判断两条直线位置关系的方法．2．当两条直线相交时，会求交点坐标．3．掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，能灵活运用此公式解决一些简单问题．4．体会坐标法对于解平面几何问题的重要性．5．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．
教学内容
1．求两直线的交点坐标
解方程组，以方程组的解为坐标的点就是交点．2．两点间的距离公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|＝3．点到直线距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为．4．平行直线间的距离
平行直线Ax＋By＋n＝0，Ax＋By＋m＝0的距离为．题型一　求两直线的交点例1　直线5x＋4y－2m－1＝0与直线2x＋3y－m＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．解析：由方程组得∴两直线的交点坐标为.∵此交点在第四象限，∴?－固　求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程l.解析：解法一：由方程组得∵直线l和直线3x＋y－1＝0平行，∴直线l的斜率k＝－3.∴根据点斜式有y－＝－3，即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.解法二：∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，∴设直线l的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0，即(λ＋2)x＋(λ－3)y＋2λ－3＝0.∵直线l与直线3x＋y－1＝0平行，∴＝≠，解得λ＝.从而所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.题型二　直线过定点问题例2
求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．证明：证法一：取m＝1，直线为y＝－4；再取m＝，直线为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)．将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．证法二：把原方程整理得(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，此方程对任意实数m都成立，则必有解得∴无论m取何实数时，此直线恒过定点(9，－4)．点评：证法二的证法即方程ax＋b＝0对x∈R恒成立时成立的条件：a＝b＝0.巩
固　不论m怎样变化，直线(m－2)x－(2m＋1)y－(3m＋4)＝0恒过定点________．解析：原方程可化为(x－2y－3)m－(2x＋y＋4)＝0，则得∴直线恒过定点(－1，－2)．答案：(－1，－2)题型三　两点间的距离公式及应用例3　已知点A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)．求证：△ABC为等腰三角形．证明：∵|AB|＝＝2，|AC|＝＝2，|BC|＝＝2，∴|AC|＝|BC|.又∵A，B，C三点不共线，∴△ABC为等腰三角形．点评：1.两点间的距离公式可用来解决一些有关距离的问题(如根据各边长度判断三角形或四边形的形状)，根据条件直接套用公式即可，要注意公式的变形应用，公式中两点的位置没有先后之分．2．应用坐标法解决平面几何问题的一般步骤是：第一步：建立坐标系，建系时应使尽可能多的点落在坐标轴上，并且充分利用图形的对称性，用坐标表示有关的量．第二步：进行有关代数运算；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．巩
固　已知点A(3，－1)，B，C(3,4)，试判断△ABC的形状．解析：∵|AB|＝
＝＝，|AC|＝5，|BC|＝，∴|AB|＝|BC|，且|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，故△ABC为等腰直角三角形．题型四　对称问题例4　一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．解析：如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)．由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得解得∴A的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.由方程组解得由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.点评：光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组求得．(2)常用对称的特例有：①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)．巩
固　一条光线从点A(3,2)出发，经x轴反射，通过点B(－1,6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．解析：∵点A(3,2)关于x轴的对称点A′(3，－2)，∴由两点式可得直线A′B的方程为＝，即2x＋y－4＝0.同理，点B关于x的轴对称点B′(－1，－6)．由两点式可得直线AB′的方程为＝，即2x－y－4＝0.∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0；反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.题型五　求点到直线的距离例5　求点P0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x＋y－10＝0；(2)x＝2；(3)y－1＝0.解析：(1)由点到直线的距离公式知d＝＝＝2.(2)解法一：直线方程化为一般式为x－2＝0.由点到直线的距离公式d＝＝3.解法二：∵直线x＝2与y轴平行，∴由图甲知d＝|－1－2|＝3.(3)解法一：由点到直线的距离公式得d＝＝1.解法二：∵直线y－1＝0与x轴平行，∴由图乙知d＝|2－1|＝1.点评：点到直线的距离是点与直线上所有点的距离中最短的，应用点到直线的距离公式应注意以下问题：(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，得d＝.(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离．(4)点到特殊直线的距离公式：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；③点P(x0，y0)在直线上时，d＝0；④P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；⑤P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|.巩
固　在y轴上求与直线y＝x＋的距离等于3的点的坐标．解析：设点的坐标为(0，y)，直线y＝x＋可化为3x－4y＋1＝0，故d＝＝3.即|1－4y|＝15，∴y＝4或y＝－.∴点的坐标为(0,4)或.题型六　求两平行线间的距离例6
求两平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－9＝0间的距离．解析：解法一：在直线l1：3x＋4y－5＝0上任取一点，不妨取点P(3，－1)，则点P(3，－1)到直线l2：6x＋8y－9＝0的距离即为两平行直线间的距离．因此，d＝＝.解法二：把l2：6x＋8y－9＝0化为3x＋4y－＝0，由两平行直线间的距离公式，得d＝＝.点评：(1)利用两条平行直线间距离公式d＝.(2)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.巩
固　求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程l.解析：解法一：当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.由条件得＝，解得k＝0或k＝－.故所求的直线方程为y＝1或x＋2y＝0.当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．解法二：由平面几何知识知，l∥AB或l过AB中点．若l∥AB，且kAB＝－，则直线方程为x＋2y＝0；若l过AB的中点N(1,1)，则直线方程为y＝1.∴所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0.题型七　距离公式的综合应用例7　两互相平行的直线分别过A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行线间的距离为d，(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．解析：(1)解法一：设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，则即而d＝＝，两边平方整理得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，由于k∈R，所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得4d2(d2－90)≤0，即0固　已知点P(2，－1)．(1)求过P点与原点距离最大的直线方程，最大距离是多少？(2)是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，说明理由．解析：(1)作图可证过P点与原点O距离最大的直线l是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP得kl·kOP＝－1，∴kl＝－＝2，由直线方程的点斜式得，y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.(2)由(1)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．1．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标为(　　)A．(4,1)
B．(1,4)C.
D.答案：C2．已知两直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交点是P(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程是(　　)A．3x＋2y＝0
B．2x－3y＋5＝0C．2x＋3y＋1＝0
D．3x＋2y＋1＝0答案：C3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|等于(　　)A.
B.
C.
D.解析：易知A(0，－2)，B，|AB|＝.答案：C4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　)A．5
B．4
C．2
D．2解析：设A(x,0)，B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2.答案：C5．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　)A.
B．－
C．－
D.或－解析：＝1，解得m＝或－.答案：D6．两平行线y＝kx＋b1与y＝kx＋b2之间的距离是(　　)A．b1－b2
B.C．|b1－b2|
D．b2－b1解析：两直线方程可化为kx－y＋b1＝0，kx－y＋b2＝0.∴d＝.答案：B7．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是(　　)A．x＋2y－5＝0
B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0
D．3x＋y－5＝0解析：所求为过A(1,2)，且垂直OA的直线，∴k＝－，∴y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：A8．点P(m－n，－m)到直线＋＝1的距离等于(　　)A.
B.C.
D.解析：直线方程可化为nx＋my－mn＝0，故d＝＝＝.答案：A9．已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是(　　)A．4
B.
C.eq
\r(13)
D.eq
\r(13)解析：由题意m＝4，则d＝＝＝＝.答案：D10．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)A．8
B．2
C.
D．16答案：A11．到直线3x－4y－1＝0的距离为2的直线方程为(　　)A．3x－4y－11＝0B．3x－4x＋9＝0C．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0D．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0答案：C12．垂直于直线x－y＋1＝0且到原点的距离等于5的直线方程是________．解析：由题意，可设所求直线方程为x＋y＋c＝0，则＝5.∴|c|＝10，即c＝±10.答案：x＋y－10＝0或x＋y＋10＝013．根据图中信息写出：(1)|AB|＝________；|BC|＝________.答案：　2(2)|CD|＝________；|DA|＝________.答案：　2(3)|AC|＝________；|BD|＝________.答案：3　14．已知M(1,0)，N(－1,0)，点P在直线2x－y－1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________．答案：2.415．求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．证明：证法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．证法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，有解得x＝2，y＝－3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．16．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．
(1)求BC边上的中线AM的长；解析：设点M的坐标为(x，y)，∵点M为BC边的中点，∴即M(2,2)，由两点间的距离公式得：|AM|＝＝.∴BC边上的中线AM长为.(2)证明△ABC为等腰直角三角形．证明：由两点间的距离公式得|AB|＝＝2，|BC|＝＝2，|AC|＝＝2，∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC为等腰直角三角形．17．(1)求与点P(3,5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标．解析：设P′(x0，y0)，则kPP′＝，PP′中点为M.∴解得∴点P′坐标为(5，－1)．(2)已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．解析：当直线l1的斜率不存在时，方程为x＝1，此时l1与l的交点B的坐标为(1,4)．|AB|＝＝5符合题意．当直线l1的斜率存在时，设为k.则k≠－2，∴直线l1为y＋1＝k(x－1)，则l1与l的交点B为，∴|AB|＝＝5.解得k＝－，∴直线l1为3x＋4y＋1＝0.综上可得l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.18．求点P(3，－2)到下列直线的距离：(1)y＝x＋；解析：把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.(2)y＝6；解析：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.(3)x＝4.解析：因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.19．求与直线2x－y－1＝0平行，且和2x－y－1＝0的距离为2的直线方程．解析：解法一：由已知可设所要求的直线方程为2x－y＋c＝0，则两条平行直线间的距离为d＝，∴＝2，∴|c＋1|＝2.∴c＝－1±2，所求直线方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.解法二：设所要求的直线上任意一点P(x，y)，则P到直线2x－y－1＝0的距离为d＝，∴＝2，∴2x－y－1＝±2.∴所要求的直线方程为2x－y＋2－1＝0或2x－y－2－1＝0.1．关于两条直线相交的判定：(1)两直线组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．注意两直线的斜率一个存在，另一个不存在时，两直线也相交．2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离公式适用于坐标系中的任意两点．3．对于特殊情况，可结合图形求解．(1)P1P2平行于x轴时，y1＝y2，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)P1P2平行于y轴时，x1＝x2，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)P1，P2在直线y＝kx＋b上时，|P1P2|＝＝＝·|x2－x1|.4．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.5．在求两平行线间距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的．1．直线3x＋5y＋1＝0与直线4x＋3y＋5＝0的交点是(　　)A．(－2,1)
B．(－3,2)C．(2，－1)
D．(3，－2)答案：A2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＝0相交于一点，则k的值为(　　)A．－2
B．－
C．2
D.解析：易求直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－.答案：B3．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是(　　)A．(2,3)
B．(－2,3)
C.
D．(－2,0)解析：将直线化为a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，故直线过定点(－2,3)．答案：B4．已知点A(a,0)，B(b,0)，则A，B两点间的距离为(　　)A．a－b
B．b－a
C.
　
D．|a－b|答案：D5．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是(　　)A．直角三角形
B．等腰三角形C．等边三角形
D．等腰直角三角形解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC为等腰三角形．答案：B6．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)A．1
B.
C．2
D.解析：d＝＝.答案：D7．填空：(1)
直线l1：x＝－1，l2：x＝2的位置关系为______．(2)两点A(0，－4)与B(0，－1)间的距离为______．(3)已知两点A(2,5)，B(3,7)，则|AB|的值为______．(4)P(x，y)到原点O(0,0)的距离d＝______．答案：(1)
平行；
(2)3；　(3)；　(4).8．填空：(1)
点P0(0,5)到直线2x－y＝0的距离为__________．(2)
直线y＝a与直线y＝b的距离d＝______.(3)
点P(x，y)到直线y＝b的距离为________，点P(x，y)到直线x＝a的距离d＝________.答案：(1)
；
(2)
|b－a|；　(3)
|b－y|；　|a－x|.9．已知点F在x轴上，且到直线x－y＋2＝0的距离为3，则点F的坐标为________．解析：由题意设F(x,0)，则＝3，即|x＋2|＝3，∴x＝或x＝－5.故点F(，0)或(－5，0)．答案：(，0)或(－5，0)10．点P(－2,0)到直线y＝3的距离为________．答案：311．两条平行直线3x＋4y－2＝0,3x＋4y－12＝0之间的距离为________．解析：d＝＝＝2.答案：2
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