新人教A版高中数学必修第二册：圆的标准方程和一般方程

授课主题
圆的标准方程和一般方程
教学目标
1．正确掌握圆的标准方程及其推导过程．2．掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程．3．能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．4．正确理解圆的一般方程及其特点．5．会求圆的一般方程．6．能进行圆的一般方程和标准方程的互化．
教学内容
1．圆的标准方程(1)以点为圆心，为半径的圆的方程：(2)圆心在原点的圆的标准方程：2．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如下表所示的对应关系：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的关系d>rd＝rd当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．(2)
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形.方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F>0表示以为圆心，
以为半径的圆5．点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0点M在圆上x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在圆内x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0题型一　求圆的标准方程
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例1　求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在y轴上，半径是1，且过点(1,2)；(2)圆心在点C(3,4)，半径是；(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．解析：根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．(1)x2＋(y－2)2＝1；
(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5；(3)解法一：∵圆的半径r＝|CP|＝＝5，圆心在点(8，－3)．∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.解法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2.又∵点P(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.点评：确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径，因此圆心和半径被称为圆的两要素．巩
固　写出下列方程表示的圆的圆心和半径．(1)x2＋y2＝2；(2)(x－3)2＋y2＝a2(a≠0)；(3)(x＋2)2＋(y＋1)2＝b2(b≠0)．解析：搞清圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中，圆心为(a，b)，半径为r，本题易于解决．(1)圆心(0,0)，半径为.(2)圆心(3,0)，半径为|a|.(3)圆心(－2，－1)，半径为|b|.题型二　点与圆的位置关系例2
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外.解析：由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，∴圆心M的坐标为(0,1)，半径r＝|PQ|＝×＝5.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝＝r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．点评：判断点与圆的位置关系，可以通过判断该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点坐标代入圆的方程判断，方法如下：点A(x0，y0)到圆心C(a，b)的距离为|AC|＝.①当点A(x0，y0)在圆上时，|AC|＝r，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；②当点A(x0，y0)在圆内时，|AC|r，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.巩
固　判断点M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)与圆(x－5)2＋(y－6)2＝10的位置关系．解析：∵圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10，分别将M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)代入得(6－5)2＋(9－6)2＝10，∴M在圆上；(3－5)2＋(3－6)2＝13>10，∴N在圆外；(5－5)2＋(3－6)2＝9<10，∴O在圆内．题型三　圆的标准方程的应用例3　如图所示，一座圆形拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽多少米？解析：以圆拱顶为坐标原点，以过拱顶点的垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，－2)．设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.①将点A的坐标(6，－2)代入方程①，解得r＝10，∴圆的方程x2＋(y＋10)2＝100.②当水面下降1
m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，代入方程②，求得x0＝.即水面下降1
m后，水面宽为2x0＝2≈14.28
m.点评：此类应用问题首先是恰当选择直角坐标系，坐标系的不同选择对解决问题有很大影响．巩
固　求以点C(2，－1)为圆心，截直线x＋y＋1＝0所得的弦长为2的圆的方程．解析：设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，则圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝＝.又由垂径定理和勾股定理得：r2＝d2＋2＝()2＋2＝4.∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.题型四　圆的一般方程的概念例4　下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解析：将其化成标准式再进行判断，并给出答案．(1)∵方程2x2＋y2－7x＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆；(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆；(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆；(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为2＋y2＝2，∴它表示以为圆心，为半径的圆．点评：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的程序是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即：①x2与y2的系数相等；②不含xy的项，当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数．(2)圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．巩
固　求出下列各圆的圆心坐标和半径：(1)x2＋y2－6x＝0；(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；(3)x2＋y2－2ax－2y＋3a2＝0.解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆心为(3,0)，半径为3.(2)原方程化为x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.(3)原方程化为(x－a)2＋(y－)2＝3－2a2.因为表示圆，所以3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a，)，半径为.题型五　求圆的方程例5
求经过A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解析：根据题中条件，既可设标准方程，也可设一般方程，有多种解法．解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则有整理得解得∴所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.解法二：设圆心C(a，b)且圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵|CA|＝|CB|，CB⊥l，∴解得a＝，b＝－，从而r＝.故所求的方程为2＋2＝.解法三：设圆心为C，则CB⊥l，∴CB的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.又AB的垂直平分线的方程为x＋y－4＝0，联立得圆心C.∴半径r＝
＝.∴所求圆的方程为2＋2＝.点评：(1)求圆的方程的基本方法：确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数”是解题的基本方法．其中，选标准是根据已知条件选恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数．一般来讲，条件涉及圆上的点多，可选择一般方程，条件涉及圆心与半径，可选择标准方程．(2)求圆的方程的一般步骤：①根据题意选用圆的两种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组；③解方程组．求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求的圆的方程．巩
固　(1)已知圆经过A(2，－3)和B(－2，－5)，若圆心在直线x－2y－3＝0上，求圆的方程．(2)求过点A(－1,0)，B(3,0)和C(0,1)的圆的方程．解析：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径．(1)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则∴∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则?∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.解法三：线段AB中垂线的方程为2x＋y＋4＝0.它与直线x－2y－3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离得r2＝10，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.(2)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(
)把A、B、C三点坐标代入方程(
)得∴故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0.解法二：线段AB的中垂线方程为x＝1，线段AC的中垂线方程为x＋y＝0，由得圆心坐标为M(1，－1)，半径r＝|MA|＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.题型六　求轨迹方程例6　自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．解析：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有x12＋y12＝4，且x＝，y＝.∴x1＝2x－2，y1＝2y.∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.当A，B重合时，P与A点重合，不合题意，∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．点评：求轨迹方程的一般步骤：①建系：建立适当的平面直角坐标系；②设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；③列式：列出关于x，y的方程．巩
固　设圆的方程为x2＋y2＝4，过点M(0,1)的直线l交圆于点A，B，O是坐标原点，点P为AB的中点，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程．解析：设点P的坐标为(x，y)、A(x1，y1)、B(x2，y2)．因为A、B在圆上，所以x12＋y12＝4，x22＋y22＝4，两式相减得x12－x22＋y12－y22＝0，所以(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0，当x1≠x2时，有x1＋x2＋(y1＋y2)·＝0，①并且②将②代入①并整理得x2＋2＝.③当x1＝x2时，点A、B的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P的坐标为(0,0)也满足③，所以点P的轨迹方程是x2＋2＝.1．已知点P(a，a＋1)在圆x2＋y2＝25内部，那么a的取值范围是(　　)A．－4B．－5D．－6B．一个圆C．两条射线
D．半个圆解析：当y≤0时，平方得x2＋y2＝25，表示下半圆．答案：D3．一辆卡车宽1.6
m，要经过一个半径为3.6
m的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　)A．1.4
mB．3.5
mC．3.6
mD．2.0
m解析：下图所示为隧道与卡车的横截面，以半圆的直径为x轴，圆心为原点建立直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，点A的坐标为(0.8，h)，设M(0.8，y)在半圆上，则y＝≈3.5，∴h≤y＝3.5(m)．答案：B4．方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是(　　)A．两直线B．圆C．一点D．不表示任何曲线答案：B5．x2＋y2－4y－1＝0的圆心和半径分别为(　　)A．(2,0)，5
B．(0，－2)，C．(0,2)，
D．(2,2)，5解析：x2＋(y－2)2＝5，圆心(0,2)，半径.答案：C6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点对称的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5答案：A7．如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是(　　)A．[0,2]
B．[0,1]C.
D.解析：l必过圆心(1,2)，0≤k≤2(几何意义知)．答案：A8．圆x2＋y2－6x＋4y＝0的周长是________．解析：(x－3)2＋(y＋2)2＝13，r＝，C＝2πr＝2π.答案：2π9．已知圆的方程为x2＋y2＋2x－4y－20＝0，则此圆的圆心坐标为________，半径为________．答案：(－1,2)　510．已知圆上三点A(0,4)，B(3,0)，C(0,0)，则该圆的方程为________________．解析：利用待定系数法或利用几何性质求解．答案：2＋(y－2)2＝11．过点A(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.解析：由图形可知点A(1，)在圆(x－2)2＋y2＝4的内部，圆心为O(2,0)，要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以k＝－＝－＝.答案：12．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．答案：7　313．已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是____________________________________．答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝914．已知△AOB的顶点坐标分别是A(4,0)，B(0,3)，O(0,0)，求△AOB的外接圆方程(用两种方法解)．解析：解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(4，0)，B(0,3)，O(0,0)都在圆上，代入得?∴圆的方程为(x－2)2＋2＝.解法二：AO的中垂线方程为x＝2.BO的中垂线方程为y＝.则圆心坐标为，r＝＝.∴圆的方程为(x－2)2＋2＝.15．已知集合A＝{(x，y)|x＝3a＋1，y＝4a}，集合B＝{(x，y)|(x－2)2＋y2<25a2}，且A∩B≠?，求实数a的取值范围．解析：集合A表示点M(3a＋1,4a)，集合B表示圆N：(x－2)2＋y2＝25a2的内部部分．A∩B≠?表示点M(3a＋1,4a)在圆N内部，∴(3a＋1－2)2＋(4a)2<25a2，解得a>，∴a的取值范围是.16．一动点到A(－4,0)的距离是到B(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．解析：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|，即＝2，(x＋4)2＋y2＝4(x－2)2＋4y2，x2＋8x＋16＋y2＝4x2－16x＋16＋4y2，整理得x2＋y2－8x＝0.∴所求动点的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0.17．求经过两点P(－2,4)，Q(3，－1)，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P(－2,4)，Q(3，－1)代入圆的方程得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.设x1，x2为方程x2＋Dx＋F＝0的两根．由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.∴圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.18．已知点A在直线2x－3y＋5＝0上移动，点P为连接M(4，－3)和点A的线段的中点，求P的轨迹方程．解析：设点P的坐标为(x，y)，A的坐标为(x0，y0)．∵点A在直线2x－3y＋5＝0上，∴有2x0－3y0＋5＝0.又∵P为MA的中点，∴有∴代入直线方程得2(2x－4)－3(2y＋3)＋5＝0，化简得：2x－3y－6＝0即为所求．1．圆心是O(－3,4)，半径为5的圆的方程为(　　)A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：直接代入圆的标准方程可得．答案：D2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定解析：m2＋52＝25＋m2≥25>24，点在圆外．答案：A3．以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋4)2＝16B．(x＋3)2＋(y－4)2＝16C．(x－3)2＋(y＋4)2＝9D．(x＋3)2＋(y－4)2＝9解析：因圆与x轴相切，故圆的半径r＝4.答案：B4．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　　)A.
B.
C．1
D.解析：圆心C(1,0)，再利用点到直线的距离公式得d＝.答案：A5．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(　　)A．(4，－6)，r＝16
B．(2，－3)，r＝4C．(－2，3)，r＝4
D．(2，－3)，r＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2,3)，半径r＝eq
\r(42＋?－6?2＋12)＝4.答案：C6．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有(　　)A．D＝E
B．D＝FC．F＝E
D．D＝E＝F解析：由题知圆心在直线y＝x上，即－＝－，∴D＝E.答案：A7．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　)A．R
B．(－∞，1)C．(－∞，1]
D．[1，＋∞)解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k>0得k<1.答案：B8．填空：（1）圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为：____________.（2）圆心在x轴上，半径为1，且过点(－1,1)的圆的标准方程为：________.（3）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝32的圆心为________，半径为________．答案：（1）x2＋y2＝9；（2）(x＋1)2＋y2＝1；（3）(1，－2)　3．9．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为______________________．解析：圆的半径r＝＝，∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，展开整理得，x2＋y2＋6x－8y－48＝0为圆的一般方程．答案：x2＋y2＋6x－8y－48＝010．指出下列圆的圆心和半径：(1)x2＋y2－x＝0；(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；(3)x2＋y2＋2ay－1＝0.解析：(1)2＋y2＝，圆心，半径r＝；(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a,0)，半径r＝|a|；(3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝.
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