新人教A版高中数学必修第二册：椭圆及其标准方程
文档属性
| 名称 | 新人教A版高中数学必修第二册：椭圆及其标准方程 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 546.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-20 20:45:17 | ||
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文档简介
授课主题
椭圆及其标准方程
教学目标
1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程以及标准方程的推导过程．3．掌握椭圆的定义于标准方程，会求与椭圆有关的轨迹方程．
教学内容
1.椭圆定义如下图所示，平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．依椭圆的定义，设是椭圆上一点，则有，（为常数且2.椭圆的标准方程①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．题型一 椭圆定义的应用例1 已知P是椭圆
＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1、
F2是它的焦点．若PF1⊥PF2，求
△PF1F2的面积.解析：依题意，△PF1F2是直角三角形，∠P＝90°，所以
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，①又根据椭圆的定义有|PF1|＋|PF2|＝2a
，②由②2－①得2|PF1|·|PF2|＝4b2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2点评：椭圆定义的理解：①椭圆的定义用集合语言可描述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，a＞c＝|F1F2|＞0}．②当
a＝c时，动点M的轨迹是线段
F1F2(包括端点)．当a固 已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右两个焦点．(1)求F1，F2的坐标；(2)若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，求△ABF2的周长．解析：(1)由椭圆的方程＋＝1可知，a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴c＝4.∴F1(－4,0)，F2(4,0)．(2)由椭圆的定义可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10.∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝20.题型二 已知焦点位置求椭圆标准方程例2 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)且过.分析：求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定出适合题意的椭圆标准方程的形式，最后由条件确定出a和b即可．解析：(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵2a＝10,2c＝8，∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9，∴所求椭圆标准方程为＋＝1.(2)方法一 ∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知，2a＝
＋
＝eq
\r(10)＋eq
\r(10)＝2，∴a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，∴所求标准方程为＋＝1.方法二 ∵b2＝a2－c2＝a2－4，∴可设所求方程为＋＝1，然后将点的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程．点评：椭圆的标准方程：(1)只有当椭圆的两个焦点
F1、F2在坐标轴上，且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是椭圆的标准方程．(2)椭圆的焦点位置决定椭圆标准方程的两种形式．(3)椭圆中的代表a，b，c的三条线段的关系是a2＝b2＋c2.(4)椭圆标准方程的一般式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．当焦点位置不定时，常设一般式．巩
固 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解析：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴2a＝＋＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴?故所求椭圆的方程为＋x2＝1.题型三 已知两点求椭圆标准方程例3 已知中心在原点的椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程．解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．因为点和点都在椭圆上，所以即解得所以所求的椭圆的标准方程为x2＋＝1.点评：求椭圆标准方程的方法：(1)定义法：能够根据题设条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定椭圆的标准方程．(2)待定系数法：由题设条件确定方程的类型，设出标准方程，再由条件求出方程中的参数．(3)当椭圆的焦点位置不确定时，常设椭圆的标准方程为一般式．巩
固 求经过点
A
、B
的椭圆的标准方程．．解析：可设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．将
A、B点坐标代入，得
解之得m＝，
n＝.所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.题型四 利用椭圆的定义求轨迹方程例4 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1，所以|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，所以|MC2|＝3＋r.所以|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为＋＝1.点评：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．巩
固 椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程．解析：由题意2c＝16,2a＝9＋15＝24，∴b2＝80.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴所求方程为＋＝1或＋＝1.题型五 与椭圆有关的轨迹问题例5 已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x＋y＝9.将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.所以点M的轨迹是一个椭圆．巩
固 若将例2“点M在PP′上，并且＝2”改为“点M在直线PP′上，并且＝λ(λ＞0)”，则M点的轨迹是什么？解析：当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当λ＝1时，点M的轨迹是圆；当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆题型六 焦点三角形问题例6 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解析：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1，即|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos
120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②②代入①解得|PF1|＝.∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评：椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形．解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理和余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin
C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．巩
固 已知椭圆＋＝1
(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解析：(1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1.所以a2＝4.因此b2＝3.从而椭圆方程为＋＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.即∠F1PF2的余弦值等于.一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )A．(±5,0)
B．(0，±5)C．(0，±12)
D．(±12,0)答案：C 2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )A．16 B．18 C．20 D．不确定答案：B3．焦点在坐标轴上，且
a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为( )A.
＋＝1B.
＋＝1或＋＝1C.
＋y2＝1D.
＋y2＝1或x2＋＝1解析：因为
a2＝13,
c2＝12，所以b2＝a2－c2＝1，焦点可能在
x轴上，也可能在y
轴上．故选D.
答案：D4．“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若方程＋＝1表示椭圆，则有且m－1≠3－m，即1＜m＜3且
m≠2.所以“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.答案：B5．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则其焦距为( )A．2
B．2C．2
D．2答案：A 6．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是( )A．(±，0)
B．(0，±)C.
D.
解析：椭圆4x2＋9y2＝1的标准形式为＋＝1，∴a2＝，b2＝.故c2＝－＝.答案：C7.
下列方程一定表示椭圆的是( )A.＋＝1
B.－＝1
C.＋＝1
D.
＋＝1
解析：根据椭圆的标准方程的形式知选项D正确．故选D.答案：D8．对于常数m、n，“
mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的
( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由
mn＞0，若
m＝n＞0，则方程mx2＋ny2＝1表示圆，故
mn＞0方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，若
mx2＋ny2＝1表示椭圆，则必有
mn＞0，故选B.答案：B9．(2013·全国大纲卷)已知
F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于
A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )A.＋y2＝1
B.＋＝1C.＋＝1
D.＋＝1
解析：如图，
|AF2|＝·|AB|＝，
|F1F2|＝2，由椭圆定义得，|AF1|＝2a－，①在Rt△AF1F2中，
|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝2＋22，②由①、②得，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的方程为
＋＝1.
故选C.答案：C10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )A.
B．3C.
D.
解析：a2＝16，b2＝9
?
c2＝7?
c＝.因为△PF1F2为直角三角形．且
b＝3＞＝c.所以F1或F2为直角三角形的直角顶点，所以点P的横坐标为±，设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1?
y2＝?|y|＝.故选D.答案：D二、填空题11．a＝6，c＝1，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是________________．答案：＋＝1 12．椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是________．答案：1413．设α∈，方程＋＝1表示焦点在
x轴上的椭圆，则α∈_________________.解析：依题意有sin
α＞cos
α＞0，因为
α∈，所以＜α＜.答案：14．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．答案：
8 15．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案：
8 16．已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．该椭圆的方程是__________________．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×4＝8，所以2a＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，得椭圆方程是＋＝1.答案：＋＝1三、解答题
17．已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4
m，外轮廓线上点到两个焦点距离的和为3
m，求这个椭圆的标准方程．解析：根据题意，
c＝1.2,
a＝1.5，所以b＝＝＝0.9，所以椭圆的标准方程为
＋＝1或
＋＝1
.18．已知方程k2x2＋(k2－2k＋2)y2＝k.(1)k为何值时，方程表示直线？(2)
k为何值时，方程表示圆？(3)k为何值时，方程表示椭圆？解析：因为k2－2k＋2＝(k－1)2＋1≥1，(1)当
k2＝0，即k＝0时，方程表示直线，该直线为
y＝0.(2)若表示圆，则
k2－2k＋2＝k2，且k＞0，解得k＝1.(3)若表示椭圆，则k2＞0，k＞0且k2－2k＋2≠k2，解得k＞0，且k≠1.综上知(1)k＝0时，方程表示直线；(2)k＝1时，方程表示圆；(3)
k＞0，且
k≠1时，方程表示椭圆．19．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解析：将圆的方程化为标准形式(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如右图：设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆．∴a＝3，c＝2，b＝＝，∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.20．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，求椭圆的标准方程．解析：由题意
S△POF2＝c2＝，所以c＝2，所以
a2＝b2＋4.
①所以点P坐标为
(1，)，把x＝1，y＝代入椭圆方程＋＝1中得，＋＝1，②由①、②解得
b2＝2，
a2＝2＋4.所以椭圆方程为
＋＝1.1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.4．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是5．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.1．到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是( )A．椭圆
B．圆
C．线段
D．射线答案：C2．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为( )A．椭圆
B．圆C．无轨迹
D．椭圆或线段或无轨迹解析：当2a＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．答案：D3．已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为( )A．2
B．4
C．5
D．7解析：2a＝10，利用椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.因为|PF1|＝6，所以|PF2|＝4.答案：B4．椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为( )A．5或3
B．8C．5
D．16答案：A5．已知椭圆＋＝1
(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )A．圆
B．椭圆
C．线段
D．直线解析：连OP，MF2，则OP//MF2,
|PO|＝|MF2|，又|PF1|＝|MF1|，所以|PO|＋|PF1|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a，由题意的定义知，点P的轨迹是椭圆．故选B.答案：B6．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )A.
＋＝1(x≠±2)B.
＋＝1(y≠±2)C.
＋＝1(y≠0)D.
＋＝1(x≠0)答案：D
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椭圆及其标准方程
教学目标
1．了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程以及标准方程的推导过程．3．掌握椭圆的定义于标准方程，会求与椭圆有关的轨迹方程．
教学内容
1.椭圆定义如下图所示，平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．依椭圆的定义，设是椭圆上一点，则有，（为常数且2.椭圆的标准方程①，焦点是，，且．②，焦点是，，且．题型一 椭圆定义的应用例1 已知P是椭圆
＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1、
F2是它的焦点．若PF1⊥PF2，求
△PF1F2的面积.解析：依题意，△PF1F2是直角三角形，∠P＝90°，所以
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，①又根据椭圆的定义有|PF1|＋|PF2|＝2a
，②由②2－①得2|PF1|·|PF2|＝4b2，所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2点评：椭圆定义的理解：①椭圆的定义用集合语言可描述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，a＞c＝|F1F2|＞0}．②当
a＝c时，动点M的轨迹是线段
F1F2(包括端点)．当a
＋
＝eq
\r(10)＋eq
\r(10)＝2，∴a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，∴所求标准方程为＋＝1.方法二 ∵b2＝a2－c2＝a2－4，∴可设所求方程为＋＝1，然后将点的坐标代入可求出a，从而求出椭圆方程．点评：椭圆的标准方程：(1)只有当椭圆的两个焦点
F1、F2在坐标轴上，且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是椭圆的标准方程．(2)椭圆的焦点位置决定椭圆标准方程的两种形式．(3)椭圆中的代表a，b，c的三条线段的关系是a2＝b2＋c2.(4)椭圆标准方程的一般式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．当焦点位置不定时，常设一般式．巩
固 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解析：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴2a＝＋＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴?故所求椭圆的方程为＋x2＝1.题型三 已知两点求椭圆标准方程例3 已知中心在原点的椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程．解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．因为点和点都在椭圆上，所以即解得所以所求的椭圆的标准方程为x2＋＝1.点评：求椭圆标准方程的方法：(1)定义法：能够根据题设条件判断出点的轨迹是椭圆，然后根据定义确定椭圆的标准方程．(2)待定系数法：由题设条件确定方程的类型，设出标准方程，再由条件求出方程中的参数．(3)当椭圆的焦点位置不确定时，常设椭圆的标准方程为一般式．巩
固 求经过点
A
、B
的椭圆的标准方程．．解析：可设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．将
A、B点坐标代入，得
解之得m＝，
n＝.所以所求椭圆的标准方程为
＋＝1.题型四 利用椭圆的定义求轨迹方程例4 已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：如图所示，设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.由题意得动圆M内切于圆C1，所以|MC1|＝13－r.圆M外切于圆C2，所以|MC2|＝3＋r.所以|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，所以动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，b2＝a2－c2＝64－16＝48，故所求轨迹方程为＋＝1.点评：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．巩
固 椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，求椭圆的标准方程．解析：由题意2c＝16,2a＝9＋15＝24，∴b2＝80.又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，∴所求方程为＋＝1或＋＝1.题型五 与椭圆有关的轨迹问题例5 已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并且＝2，求点M的轨迹．解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x＋y＝9.将x0＝x，y0＝3y代入，得x2＋9y2＝9，即＋y2＝1.所以点M的轨迹是一个椭圆．巩
固 若将例2“点M在PP′上，并且＝2”改为“点M在直线PP′上，并且＝λ(λ＞0)”，则M点的轨迹是什么？解析：当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当λ＝1时，点M的轨迹是圆；当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆题型六 焦点三角形问题例6 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解析：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1，即|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|·cos
120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②②代入①解得|PF1|＝.∴S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin
120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评：椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形．解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理和余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin
C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量．巩
固 已知椭圆＋＝1
(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．解析：(1)依题意知c＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1.所以a2＝4.因此b2＝3.从而椭圆方程为＋＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4，又|PF1|－|PF2|＝1，所以|PF1|＝，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.即∠F1PF2的余弦值等于.一、选择题1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )A．(±5,0)
B．(0，±5)C．(0，±12)
D．(±12,0)答案：C 2．设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为( )A．16 B．18 C．20 D．不确定答案：B3．焦点在坐标轴上，且
a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为( )A.
＋＝1B.
＋＝1或＋＝1C.
＋y2＝1D.
＋y2＝1或x2＋＝1解析：因为
a2＝13,
c2＝12，所以b2＝a2－c2＝1，焦点可能在
x轴上，也可能在y
轴上．故选D.
答案：D4．“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若方程＋＝1表示椭圆，则有且m－1≠3－m，即1＜m＜3且
m≠2.所以“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B.答案：B5．已知椭圆的方程为＋＝1，焦点在x轴上，则其焦距为( )A．2
B．2C．2
D．2答案：A 6．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是( )A．(±，0)
B．(0，±)C.
D.
解析：椭圆4x2＋9y2＝1的标准形式为＋＝1，∴a2＝，b2＝.故c2＝－＝.答案：C7.
下列方程一定表示椭圆的是( )A.＋＝1
B.－＝1
C.＋＝1
D.
＋＝1
解析：根据椭圆的标准方程的形式知选项D正确．故选D.答案：D8．对于常数m、n，“
mn＞0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的
( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由
mn＞0，若
m＝n＞0，则方程mx2＋ny2＝1表示圆，故
mn＞0方程mx2＋ny2＝1表示椭圆，若
mx2＋ny2＝1表示椭圆，则必有
mn＞0，故选B.答案：B9．(2013·全国大纲卷)已知
F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于
A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )A.＋y2＝1
B.＋＝1C.＋＝1
D.＋＝1
解析：如图，
|AF2|＝·|AB|＝，
|F1F2|＝2，由椭圆定义得，|AF1|＝2a－，①在Rt△AF1F2中，
|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝2＋22，②由①、②得，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的方程为
＋＝1.
故选C.答案：C10．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上．若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为( )A.
B．3C.
D.
解析：a2＝16，b2＝9
?
c2＝7?
c＝.因为△PF1F2为直角三角形．且
b＝3＞＝c.所以F1或F2为直角三角形的直角顶点，所以点P的横坐标为±，设P(±，|y|)，把x＝±代入椭圆方程，知＋＝1?
y2＝?|y|＝.故选D.答案：D二、填空题11．a＝6，c＝1，焦点在y轴上的椭圆的标准方程是________________．答案：＋＝1 12．椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是________．答案：1413．设α∈，方程＋＝1表示焦点在
x轴上的椭圆，则α∈_________________.解析：依题意有sin
α＞cos
α＞0，因为
α∈，所以＜α＜.答案：14．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．答案：
8 15．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.答案：
8 16．已知椭圆的两焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，P为椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．该椭圆的方程是__________________．解析：因为|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝2×4＝8，所以2a＝8，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，得椭圆方程是＋＝1.答案：＋＝1三、解答题
17．已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4
m，外轮廓线上点到两个焦点距离的和为3
m，求这个椭圆的标准方程．解析：根据题意，
c＝1.2,
a＝1.5，所以b＝＝＝0.9，所以椭圆的标准方程为
＋＝1或
＋＝1
.18．已知方程k2x2＋(k2－2k＋2)y2＝k.(1)k为何值时，方程表示直线？(2)
k为何值时，方程表示圆？(3)k为何值时，方程表示椭圆？解析：因为k2－2k＋2＝(k－1)2＋1≥1，(1)当
k2＝0，即k＝0时，方程表示直线，该直线为
y＝0.(2)若表示圆，则
k2－2k＋2＝k2，且k＞0，解得k＝1.(3)若表示椭圆，则k2＞0，k＞0且k2－2k＋2≠k2，解得k＞0，且k≠1.综上知(1)k＝0时，方程表示直线；(2)k＝1时，方程表示圆；(3)
k＞0，且
k≠1时，方程表示椭圆．19．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解析：将圆的方程化为标准形式(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如右图：设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆．∴a＝3，c＝2，b＝＝，∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.20．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，求椭圆的标准方程．解析：由题意
S△POF2＝c2＝，所以c＝2，所以
a2＝b2＋4.
①所以点P坐标为
(1，)，把x＝1，y＝代入椭圆方程＋＝1中得，＋＝1，②由①、②解得
b2＝2，
a2＝2＋4.所以椭圆方程为
＋＝1.1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.4．解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是5．注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.1．到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是( )A．椭圆
B．圆
C．线段
D．射线答案：C2．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为( )A．椭圆
B．圆C．无轨迹
D．椭圆或线段或无轨迹解析：当2a＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．答案：D3．已知椭圆＋＝1上一点P到其一个焦点的距离为6，则点P到另一个焦点的距离为( )A．2
B．4
C．5
D．7解析：2a＝10，利用椭圆的定义可知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.因为|PF1|＝6，所以|PF2|＝4.答案：B4．椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为( )A．5或3
B．8C．5
D．16答案：A5．已知椭圆＋＝1
(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )A．圆
B．椭圆
C．线段
D．直线解析：连OP，MF2，则OP//MF2,
|PO|＝|MF2|，又|PF1|＝|MF1|，所以|PO|＋|PF1|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a，由题意的定义知，点P的轨迹是椭圆．故选B.答案：B6．已知A(0，－1)、B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )A.
＋＝1(x≠±2)B.
＋＝1(y≠±2)C.
＋＝1(y≠0)D.
＋＝1(x≠0)答案：D
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