18.2.1 矩形的判定 课件（25张）
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18.2.1矩形的判定
知识回顾：
想一想：矩形的定义？矩形具有哪些性
质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有
的？列表进行比较。
平行四边形
矩形
边
角
对角线
对边平行
对边相等
对边平行
对边相等
对角相等
四个角都直角
互相平分
互相平分且相等
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
你还有其它的判定方法吗？
ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
情境二：李芳同学用画“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
。
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形
。
A
B
C
D
∵
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
矩形的对角线相等
条件
结论
对角线相等的平行四边形是矩形
②任意画一个符合条件的图形，通过观察、测量猜想其形状确定真命题；
对角线相等的四边形是矩形
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
证明:
∵
AB=DC,
BC=CB,
AC=DB
∴
△ABC≌
△DCB（SSS）
∵
平行四边形ABCD中
AB//CD
∴
∠ABC+∠DCB=180°
∴
∠ABC=∠DCB=90°
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC=∠DCB
∵
四边形ABCD是平行四边形
对角线相等的平行四边形是矩形
。
矩形的判定方法：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
如果四边形ABCD的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?
A
B
C
D
AC=BD
A
B
C
D
AC=BD
都不是矩形
测量…？
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
测量…？
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案:
方案:
方案:
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
方案:
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
方案:
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案:
分别测量出一组对边的长度和这组同旁内角的度数，如果这组对边的长度相等，且这两个内角都是直角，则窗框符合规格
方案:
平行四边形门框
一根足够长的细绳子
如何判别门框是矩形？
判断题：
1、内角都相等的四边形是矩形。（
）
2、对角线相等的四边形是矩形。
（
）
3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（
）
4、对角线互相平分且相等的四边形是矩形（
）
5、邻角相等的平行四边形是矩形。
（
）
6、对角互补的平行四边形是矩形。
（
）
7、
ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，
则四边形ABCD是矩形
。
（
）
√
╳
√
√
√
√
√
1、下面的说法中正确的是(
)
(A)有一个角是直角的四边形是矩形
(B)两条对角线相等的四边形是矩形
(C)两条对角线垂直的四边形是矩形
(D)四个角都是直角的四边形是矩形
做一做：
D
矩形
3、矩形两条对角线的夹角是120°，短边长为4CM，则矩形的对角线长为_______
8cm
2、在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,
则四边形ABCD是________
例1:如图，M为平行四边形ABCD
边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
M
∵四边形ABCD平行四边形
∴AB=CD且∠A+∠D=1800
又∵M是AD的中点
∴AM=DM
又∵
MB=MC
∴△ABM≌△DCM
∴∠A=∠D
∴∠A=900
又
∠A+∠D=1800
证明:
∴平行四边形ABCD是矩形
(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
例2：已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
求证：四边形EFGH是矩形．
证明:
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD
又OE=?OA,OF=?OB,OG=?OC,OH=?OD
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是矩形
(对角线互相平分且相等的四边形是矩形)
如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线，CE⊥BE，CD⊥BD，E，D为垂足，猜一猜：四边形BECD的形状
A
B
C
D
E
P
∵
BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线
∴∠DBE=90°
又∵
CE⊥BE，CD⊥BD
∴四边形BECD是矩形
∴∠D=∠E=90°
例：如图，
ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由
A
B
D
C
H
E
F
G
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DAB+∠ABC=180
°
证明：
同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°
∴四边形EFGH是矩形
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC
∴∠EAB+∠EBA=90
°
∴∠AEB=90°
即∠HEF=90°
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
2、如图,在矩形ABCD,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动。
猜想
四边形PBCQ的形状
当P、Q两点出发后多少秒时，
四边形PBCQ的面积为38.4cm
？
2
A
B
C
D
P·
·Q
1、如图,在△ABC中,点D是AC边上的一个动点,过点D作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
A
B
C
M
N
D
)
1
)
2
(
5
(
4
(
3
(
6
(1)求证:DE=DF
(2)当D运动到何处时,
四边形AECF为矩形?
说明理由
E
F
18.2.1矩形的判定
知识回顾：
想一想：矩形的定义？矩形具有哪些性
质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有
的？列表进行比较。
平行四边形
矩形
边
角
对角线
对边平行
对边相等
对边平行
对边相等
对角相等
四个角都直角
互相平分
互相平分且相等
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
你还有其它的判定方法吗？
ABCD
∠A=900
四边形ABCD是矩形
情境二：李芳同学用画“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形
。
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形
。
A
B
C
D
∵
∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
矩形的对角线相等
条件
结论
对角线相等的平行四边形是矩形
②任意画一个符合条件的图形，通过观察、测量猜想其形状确定真命题；
对角线相等的四边形是矩形
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
证明:
∵
AB=DC,
BC=CB,
AC=DB
∴
△ABC≌
△DCB（SSS）
∵
平行四边形ABCD中
AB//CD
∴
∠ABC+∠DCB=180°
∴
∠ABC=∠DCB=90°
又∵
四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
∴
∠ABC=∠DCB
∵
四边形ABCD是平行四边形
对角线相等的平行四边形是矩形
。
矩形的判定方法：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
如果四边形ABCD的对角线AC=BD,这样的四边形是不是矩形?
A
B
C
D
AC=BD
A
B
C
D
AC=BD
都不是矩形
测量…？
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
测量…？
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案:
方案:
方案:
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格
方案:
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格
方案:
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案:
分别测量出一组对边的长度和这组同旁内角的度数，如果这组对边的长度相等，且这两个内角都是直角，则窗框符合规格
方案:
平行四边形门框
一根足够长的细绳子
如何判别门框是矩形？
判断题：
1、内角都相等的四边形是矩形。（
）
2、对角线相等的四边形是矩形。
（
）
3、对角线相等的平行四边形是矩形。
（
）
4、对角线互相平分且相等的四边形是矩形（
）
5、邻角相等的平行四边形是矩形。
（
）
6、对角互补的平行四边形是矩形。
（
）
7、
ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，
则四边形ABCD是矩形
。
（
）
√
╳
√
√
√
√
√
1、下面的说法中正确的是(
)
(A)有一个角是直角的四边形是矩形
(B)两条对角线相等的四边形是矩形
(C)两条对角线垂直的四边形是矩形
(D)四个角都是直角的四边形是矩形
做一做：
D
矩形
3、矩形两条对角线的夹角是120°，短边长为4CM，则矩形的对角线长为_______
8cm
2、在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D,
则四边形ABCD是________
例1:如图，M为平行四边形ABCD
边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
B
C
D
M
∵四边形ABCD平行四边形
∴AB=CD且∠A+∠D=1800
又∵M是AD的中点
∴AM=DM
又∵
MB=MC
∴△ABM≌△DCM
∴∠A=∠D
∴∠A=900
又
∠A+∠D=1800
证明:
∴平行四边形ABCD是矩形
(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
例2：已知，如图．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，
求证：四边形EFGH是矩形．
证明:
∵四边形ABCD是矩形
∴OA=OB=OC=OD
又OE=?OA,OF=?OB,OG=?OC,OH=?OD
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是矩形
(对角线互相平分且相等的四边形是矩形)
如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线，CE⊥BE，CD⊥BD，E，D为垂足，猜一猜：四边形BECD的形状
A
B
C
D
E
P
∵
BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠CBP的平分线
∴∠DBE=90°
又∵
CE⊥BE，CD⊥BD
∴四边形BECD是矩形
∴∠D=∠E=90°
例：如图，
ABCD四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由
A
B
D
C
H
E
F
G
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠DAB+∠ABC=180
°
证明：
同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°
∴四边形EFGH是矩形
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC
∴∠EAB+∠EBA=90
°
∴∠AEB=90°
即∠HEF=90°
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形
。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形
。
方法1：
方法2：
方法3：
2、如图,在矩形ABCD,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动。
猜想
四边形PBCQ的形状
当P、Q两点出发后多少秒时，
四边形PBCQ的面积为38.4cm
？
2
A
B
C
D
P·
·Q
1、如图,在△ABC中,点D是AC边上的一个动点,过点D作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
A
B
C
M
N
D
)
1
)
2
(
5
(
4
(
3
(
6
(1)求证:DE=DF
(2)当D运动到何处时,
四边形AECF为矩形?
说明理由
E
F