新人教A版高中数学必修第二册：椭圆的几何性质

授课主题
椭圆的几何性质
教学目标
1．掌握椭圆的简单几何性质．2．能用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题．3．理解数形结合的思想．4．会处理简单的直线与椭圆关系问题
教学内容
1.椭圆的性质标准方程＋＝1
(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0,1)
a，b，c的关系c2＝a2－b2（1）范围：，；（2）对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；（3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；（4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．（5）椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁；反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆．2．点
P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上
?＋＝1；点在椭圆内部?＋＜1；点在椭圆外部?＋>1.3．直线y＝kx＋m与椭圆
＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立方程组
消去
y得到关于
x的一元二次方程
Ax2＋Bx＋C＝0，则有位置关系方程解的个数Δ的取值相交两个解Δ>
0相切一个解Δ=0相离无解Δ<0题型一　椭圆的简单几何性质例1　求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率，并用描点法画出它的图形．分析：把椭圆方程写成标准形式，求出基本元素a、b、c，即可求出所需答案．解析：把椭圆的方程化为标准方程＋＝1.可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a＝3，短半轴长b＝2；又得半焦距c＝＝＝.因此，椭圆的长轴长2a＝6，短轴长2b＝4；两个焦点的坐标分别是(－，0)、(，0)；四个顶点的坐标分别是（-3，0）、(3,0)、(0，－2)、(0,2)；e＝＝.为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为y＝±eq
\r(9－x2)(－3≤x≤3)．由y＝eq
\r(9－x2)(0≤x≤3)，可求出椭圆在第一象限内一些点的坐标(x，y)，列表如下：x…00.511.522.53…y…21.971.891.731.491.110…描点，再用光滑曲线顺次连接这些点，得到椭圆在第一象限的图形；然后利用椭圆的对称性画出整个椭圆，如下图所示．点评：已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标和顶点坐标等．巩
固　求椭圆
36x2＋9y2＝324的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标解析：把椭圆方程化为标准形式：
＋＝1，于是
a＝6，b＝3,
c＝＝3.所以椭圆的长轴长为
2a＝12，短轴长为2b＝6，离心率
e＝＝，焦点坐标分别为
F1(0，－3),
F2(0,3)，四个顶点坐标分别为
A1(0，－6),
A2(0,6)，B1(－3,0),
B2(3,0)．题型二　求椭圆的标准方程例2　(1)若椭圆
＋＝1的离心率是
，求椭圆的标准方程．(2)如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，求椭圆的方程．解析：(1)当
k＋1＞4，即k＞3时，a2＝k＋1，b2＝4，所以c2＝k－3，于是
e2＝＝，解得k＝7，此时椭圆方程为
＋＝1
.当0＜k＋1＜4，即－1＜k＜3时，
a2＝4
，b2＝k＋1
，所以c2＝3－k
，于是e2＝＝，解得k＝1，此时椭圆方程为
＋＝1
.综上知，椭圆的标准方程为
＋＝1
或＋＝1
.(2)如图所示，cos∠OF2A＝cos
60°＝，即
＝，又a－c＝，所以a＝2，c＝，所以b2＝(2)2－()2＝9.所以椭圆的方程是＋＝1.点评：利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法．其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．巩
固　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4)．解析：(1)由已知2a＝12，e＝＝，得a＝6，c＝4，从而b2＝a2－c2＝20，又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵2a＝2×2b，∴a＝2b.当焦点在x轴上时，设方程为＋＝1，∵点(－2，－4)在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝17.∴椭圆的标准方程为＋＝1.当焦点在y轴上时，设方程为：＋＝1，∵点(－2，－4)在椭圆上，∴＋＝1，∴b2＝8，∴椭圆的标准方程为：＋＝1.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.题型三　求椭圆的离心率例3　已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如右图所示．由AF1⊥AF2知△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.由椭圆定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c，则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c，所以离心率e＝＝－1.点评：求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法：①直接求出a和c的值，套用公式e＝求得离心率；②根据题目条件提供的几何关系，建立参数a，b，c之间的关系式，结合椭圆定义以及a2＝b2＋c2等，消去b，得到a和c之间的关系，从而求得离心率的值或范围．巩
固　椭圆
＋＝1(
a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是
F1，F2.若
|AF1|,
|F1F2|，|F1B|
成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：由椭圆的定义知，|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c.因为|AF1|，|F1F2|，|BF1|成等比数列，因此4c2＝(a－c)(a＋c)，整理得5c2＝a2，两边同除以a2得5e2＝1，解得e＝.题型四　直线与椭圆的关系的判断例4　k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点，有一个公共点，没有公共点？解析：由得2x2＋3(kx＋2)2＝6，即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48.当Δ＝72k2－48＞0，即k＞，或k＜－时，直线和曲线有两个公共点；当Δ＝72k2－48＝0，即k＝，或k＝－时，直线和曲线有一个公共点；当Δ＝72k2－48<0，即－＜k＜时，直线和曲线没有公共点．点评：直线与椭圆的位置关系用判别式法判断，即将直线的方程代入椭圆方程中，整理成关于x(或y)的一元二次方程，其根的判别式为Δ，若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．巩
固　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短．解析：设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0.Δ＝9m2－16(m2－7)＝0∵
m2＝16∴
m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4.如图，显然y＝x－4与椭圆＋＝1的切点P距l最近，切点坐标为.题型五　弦长问题例5　已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段AB的长为.(1)求椭圆方程；(2)求△OAB的面积．解析：(1)∵a＝2b，∴设椭圆方程为＋＝1，联立得5x2＋16x＋16－4b2＝0，∴设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，∴|AB|＝＝|x1－x2|＝
＝·＝.∴5b2－4＝16，∴b2＝4，即b＝2.∴a＝2b＝4.∴椭圆方程为＋＝1.(2)点O到直线y＝x＋2的距离d＝＝，∴S△AOB＝·|AB|·d＝××＝.点评：直线
l的斜率为
k，与椭圆的两个交点坐标为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长为
|AB|＝|x1－x2|＝·.巩
固　已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．解析：方法一　因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由方程组得交点A(0，－2)，B.|AB|＝＝
＝
＝.方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组的解．消y得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0.所以|AB|＝＝＝＝
＝.题型六　中点弦问题例6　已知椭圆＋y2＝1，求过点P且被P平分的弦所在直线的方程．解析：方法一　由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y－＝k，即y＝kx＋－k，由得(2＋4k2)x2＋4k(1－k)x＋(1－k)2－4＝0，设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1＋x2＝－＝1，解之得k＝－.∴直线方程为2x＋4y－3＝0.方法二　设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，设为k，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，由得y－y＝－(x－x)，∴＝－·＝－，即k＝－，∴直线方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0.点评：求弦的中点坐标一般用韦达定理．巩
固　过点P(2,1)的直线l与椭圆＋y2＝1相交，求l被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．答案：x2＋2y2－2x－2y＝0在椭圆＋y2＝1内的部分一、选择题1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为　
(　　)A．(－1,0)，(1,0)
B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)
D．(0，－)，(0，)解析：椭圆方程化为标准式＋x2＝1，所以a2＝6，且焦点在y轴上．所以长轴端点坐标为(0，－)，(0，)．故选D.答案：D2．圆x2＋y2＝4上的点横坐标变为原来的两倍(纵坐标不变)，所得曲线的方程为(　　)A.＋＝1
B．x2＋＝1C.＋y2＝1
D．x2＋＝1答案：A3．椭圆＋＝1和
＋＝k(k＞0)具有相同的(　　)A．顶点
B．离心率C．长轴
D．短轴解析：椭圆＋＝1的离心率
e1＝＝，椭圆
＋＝k的离心率
e2＝＝＝＝e1.故选B.答案：B4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为
(　　)A.
B.
C.
D.解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.答案：C5．(2013·辽宁卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　)A.
B.
C.
D.解析：在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，所以|AF|2＝100＋64－128＝36，得|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.所以c＝|OF|＝|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则
|BF′|＝|AF|＝6，所以2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝＝.答案：B6．已知点(6,5)在椭圆＋＝1上，则(　　)A．点(－6，－5)不在椭圆上B．点(6，－6)不在椭圆上C．点(－6,5)在椭圆上D．以上都不对解析：椭圆关于x轴、y轴对称，也关于坐标原点成中心对称，故选C.答案：C7．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.解析：由已知得解得
所以e＝＝，故选C.答案：C8．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为(　　)A.
B.C.
D.解析：设P(x0，y0)，因为a2＝5，b2＝4，所以c＝1，所以S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，所以y0＝±1，因为＋＝1，所以x0＝±.故选D.答案：D9．直线l：y＝x＋a与椭圆＋y2＝1相切，则a的值为(　　)A．±5
B．5
C．±
D.解析：用判别式等于零求解．答案：C10．(2013·新课标全国I卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A.＋＝1
B.＋＝1C.＋＝1
D.＋＝1解析：设
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，＋＝1，①
＋＝1，②①－②得
＋＝0，所以kAB＝＝－＝，又kAB＝＝，所以
＝
，又
a2－b2＝c2＝9，解得
b2＝9,
a2＝18，所以椭圆方程为
＋＝1，故选D.答案：D二、填空题11.
离心率e＝，一个焦点是F(0，－3)的椭圆标准方程为__________．解析：依题意＝，c＝3，所以a＝6，b＝，焦点在y轴上，所以椭圆标准方程为＋＝1.答案：＋＝112．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______________．解析：已知??＋＝1.答案：＋＝113.
椭圆
＋＝1(a＞b＞0
)的四个顶点顺次连接构成一个菱形，该菱形的面积为
2，又椭圆的离心率为
，则椭圆的标准方程是____________________________．解析：由题意，得2ab＝2，即ab＝.①又e2＝＝＝＝，即
2a2＝5b2.②解①②得
a2＝5,
b2＝2，所以所求椭圆方程为
＋＝1
.答案：＋＝114．在平面直角坐标系
xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．因为e＝，所以＝.由△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝115．直线y＝x＋m被椭圆2x2＋y2＝2截得的线段的中点横坐标为，则中点的纵坐标为________．解析：方法一　由消去y并整理得3x2＋2mx＋m2－2＝0.设线段的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以－＝，m＝－.由中点在直线y＝x－上得纵坐标y＝－＝－.方法二　设线段的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2x＋y＝2,2x＋y＝2.相减得2(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)·(y1＋y2)＝0.把＝1，x1＋x2＝代入上式得＝－，即为中点的纵坐标．答案：－16．如图，F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为______________．解析：连接AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又因为△F2AB是等边三角形，所以∠AF2F1＝30°，所以AF1＝c，AF2＝c，所以e＝＝＝＝－1.答案：－1三、解答题17．过椭圆＋＝1的右焦点
F2作长轴的垂线与椭圆交于第一象限的P点，
F1是椭圆的左焦点，求
△F1F2P的外接圆方程．解析：a2＝8，b2＝6，所以
c＝，焦点坐标为
F1(－，0)，F2(，0)，将x＝代入椭圆方程，得
y＝，所以
P，线段PF1的中点坐标为
M，|MF1|＝＝.因为△F1F2P是直角三角形，
∠F1F2P＝90°，所以，它的外接圆的圆心是M，半径是
|MF1|，所以，所求圆的方程为x2＋2＝.18．设椭圆＋y2＝1的两个焦点是F1(－c,0)与F2(c,0)，且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求实数m的取值范围．解析：
由题设有m>0,
c＝，设点P的坐标为(x0，y0)，由PF1⊥PF2得·＝－1，化简得x＋y＝m.①将①与＋y＝1联立，解得x＝，
y＝.由m>0,
x＝≥0，得m≥1.∴实数m的取值范围是这[1，＋∞)．19．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两点，P是l上满足·
＝－1的点．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设点C(－2,0)，若过点C的直线与动点P的轨迹恰有一个公共点，求该直线的斜率．解析：
(1)设P(x，y)，A(x，y1)，B(x，－y1)，则＝(0，y1－y)，＝(0，－y1－y)．因为
·＝－1，所以y2－y＝－1，所以y＝y2＋1.
①又点A在椭圆上，所以x2＋2y＝4.
②由①②得x2＋2(y2＋1)＝4.因此，点P的轨迹方程是＋y2＝1.(2)由题意可设直线的方程为y＝k(x＋2)，由消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＝0得(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＝0，∴k＝±，则直线的斜率为±.20．已知椭圆的焦点是F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，设∠F1PF2＝θ，求的值．解析：(1)由题2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，所以2a＝4又2c＝2.∴b＝得椭圆方程为＋＝1.(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ，因为椭圆的离心率e＝，则＝＝.由正弦定理得＝＝，整理得：5sin
θ＝(1＋cos
θ)，所以＝.1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)A．(－1,0)、(1,0)　
B．(0，－1)、(0,1)C．(－，0)、(，0)
D．(0，－)、(0，)答案：D2．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)A．(±13,0)
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)答案：D3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.　
B.　
C.　
　
D.答案：B4．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－＜a＜　
B．a＜－或a＞C．－2＜a＜2
D．－1＜a＜1答案：A5．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m＞1
B．m≥1或0＜m＜1C．0＜m＜5且m≠1
D．m≥1且m≠5答案：D6．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(　　)A.
B.
C.
D.答案：D
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