新人教A版高中数学必修第二册：直线和直线的位置关系

授课主题
直线和直线的位置关系
教学目标
1．理解异面直线的概念和画法．2．理解并掌握公理4及等角定理．3．结合图形，正确理解空间中直线与直线的位置关系(特别是两条直线的异面关系)，理解并掌握异面直线所成角的求法．
教学内容
1．空间两条直线的位置关系
(1)平面的定义．
空间两条直线的位置关系有且只有三种．
(1)从是否有公共点的角度来分：
(2)从是否共面的角度来分：
2．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．3．平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行的传递性．
符号表述：?
a∥c.4．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．如图，AB∥A1B1，BC∥B1C1，对于∠ABC与∠A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于∠ABC与∠E1B1C1两个角的方向不同，这两个角互补，即∠ABC＋∠E1B1C1＝180°.5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°].
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．题型一　空间直线位置关系的判定
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例1　已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明.解析：直线a与c的位置关系有三种情况，如图所示．直线a与c可能平行，见图①；可能相交，见图②；可能异面，见图③.点评：两直线的位置关系有三种，在判断两直线的位置关系时，常常逐一验证排除．
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巩
固　下列条件中，一定能推出a与b是异面直线的是(　　)A．a，c异面且b，c异面B．a∥c，b与c相交C．a，b分别与c相交D．a?平面α，b∩α＝A且A?a
答案：D题型二　证明两直线是异面直线
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例2
已知直线AB，CD是异面直线，求证：直线AC，BD是异面直线证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α(如图)．∵AC?α，BD?α，∴A，B，C，D四点都在α内，∴AB?α，CD?α，这与已知中AB和CD是异面直线矛盾，故假设不成立．∴直线AC和BD是异面直线．点评：判定两直线为异面直线的常用方法为反证法．巩
固　如图，已知α∩β＝a，b?β，a∩b＝A，且c?α，a∥c，求证：b，c是异面直线．证明(反证法)：假设b，c不是异面直线，即b，c共面，∴b与c平行或相交．(1)当b∩c＝P时，已知b?β，c?α，又α∩β＝a，则P∈b?β，且P∈c?α，∴P在α与β的交线上，即P∈a.∴a∩c＝P，此与已知a∥c矛盾．(2)当b∥c时，由公理4，b∥a，与a∩b＝A矛盾．∴b，c为异面直线．题型三　求异面直线所成的角例3　在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2a，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝a，求AD，BC所成的角．分析：要求异面直线AD，BC所成的角，可通过空间中找一些特殊的点．此题已知E，F分别为两边中点，故可寻找某一边中点作角，如BD中点M，即∠EMF(或其补角)为所求角解析：如图，取BD中点M，由题意可知EM为△BAD的中位线，∴EMAD.同理MFBC，∴EM＝a，MF＝a，且∠EMF(或其补角)为所求角．在等腰△MEF中，取EF的中点N，连接MN，则MN⊥EF.又已知EF＝a，∴EN＝a.故有sin∠EMN＝＝.∴∠EMN＝60°，从而∠EMF＝120°>90°.∴AD，BC所成的角为∠EMF的补角，即AD和BC所成的角为60°.点评：在求异面直线所成角的过程中要注意以下问题：(1)由定义作角的顶点一定要恰当，所选点的位置同计算角的难易有直接关系(当然此题选AC中点连接三角形效果也一样)；(2)按定义所作角由图形反映出来，不一定就是所求的角，若不是则一定是其补角，这是由异面直线所成角的范围(0,90°]决定的；(3)求异面直线的步骤为：一找，二求，三答．巩
固　如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．解析：解法一：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.解法二：如图，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HEDB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接IF，则HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋IF2＝.∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.1．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b(　　)A．共面　　　　　　　B．平行C．异面
D．平行或异面解析：a和b无公共点，两直线的位置关系为平行或异面．答案：D2．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为(　　)A．90°　　　B．45°
C．60°　　　D．30°答案：D3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(　　)
A．平行　　
B．相交且垂直C．异面　　
D．相交成60°角解析：把展开图还原到直观图，如图所示，连接AC，△ABC为等边三角形，AB与CD相交成60°角．答案：D4．已知m，n为异面直线，m?平面α，n?平面β，α∩β＝l，则l(　　)A．与m，n都相交B．与m，n中至少有一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交解析：若m∥l，n∥l，则m∥n与m，n为异面直线矛盾，故l与m，n中至少有一条相交．答案：B5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为________．答案：60°6．对于平面α外的任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)A．平行
B．相交C．垂直
D．互为异面直线答案：D7．如图，空间四边形SABC中各边及对角线长都相等，若E，F分别为SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(　　)
A．90°　　
B．60°　　
C．45°　　
D．30°解析：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连接GE，GF，AE.如图，由三角形中位线定理，得GE＝BC，GF＝SA，且GE∥BC，GF∥SA，则∠GFE就是EF与SA所成的角(或补角)．若设此空间四边形边长为a，那么GF＝GE＝a，EA＝a，EF＝＝a，因此△EFG为等腰直角三角形，∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.答案：C8．如图，a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，E，F分别是线段AC和BD的中点，判断EF和a，EF和b的位置关系，并证明你的结论．解析：假设EF和a共面，设这个平面为α，则EF?α，a?α，∴A，B，E，F∈α，∴BF?α，AE?α.又∵C∈AE，D∈BF，∴C，D∈α.于是b?α.从而a，b共面于α，这与题设条件a，b是异面直线相矛盾．∴EF和a共面的假设不成立．∴EF和a是异面直线．同理可得EF和b也是异面直线．9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；解析：(1)连接DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．∵∠CC1D＝45°，∴AB1和CC1所成的角为45°
.(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．(2)连接DA1，A1C1.∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．∵△A1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1＝60°.即直线AB1和EF所成的角为60°.
1．填空：（1）三棱锥的六条棱可组成__________对异面直线．（2）正方体ABCDA1B1C1D1中与AB相交的棱有__________条；与AB平行的棱有__________条；与AB异面的棱有__________条．（3）两条直线在同一个平面上，它们的位置关系是__________．（4）三棱锥的6条棱能构成__________对相交直线．（5）三棱柱的9条棱能构成__________对平行直线．答案：（1）3；（2）4；3；4；（3）平行或相交；（4）12；（5）6.2．下列说法中正确的是(　　)A．不在一个平面内的两条直线是异面直线B．若两条直线不是异面直线，则这两条直线平行或相交C．直线a与直线c异面，直线b与直线c异面，则直线a与直线b异面D．两条直线垂直则这两条直线一定相交解析：A，C，D不正确，故选B.答案：B3．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为(　　)A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或120°解析：α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.答案：D4．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：c与b可以相交，也可以异面，故选C.答案：C5．如图所示的正四棱台ABCDA1B1C1D1中，A1D1所在的直线与BB1所在的直线是(　　)A．相交直线B．平行直线C．不垂直的异面直线D．互相垂直的异面直线解析：A1D1∥B1C1∥BC，B1BCC1是梯形，且BB1与B1C1、BC都不垂直．∴A1D1与BB1不垂直，是异面直线．答案：C
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