新人教A版高中数学必修第二册：空间向量证平行垂直
文档属性
| 名称 | 新人教A版高中数学必修第二册：空间向量证平行垂直 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 896.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-20 20:50:45 | ||
图片预览
文档简介
授课主题
空间向量的平行垂直问题
教学目标
1．理解空间点、直线、平面的向量表示方法．2．能用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系．3．用向量方法证明空间中的平行关系．4．用向量方法证明空间中的垂直关系．
教学内容
一、空间向量1．空间向量的基本定理：
共线向量定理：对空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，使．
共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，，使．
空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组（，，），使．表达式，叫做向量，，的线性表示式或线性组合．
上述定理中，，，叫做空间的一个基底，记作，其中都叫做基向量．
由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．2．空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系，分别沿轴，轴，轴的正方向引单位向量，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底．
空间直角坐标系，也常说成空间直角坐标系．3．在空间直角坐标系中，已知任一向量，根据空间向量分解定理，存在唯一数组，使，其中分别叫做向量在方向上的分量或投影，有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作．
若：，，
则：；；
；．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．二、空间向量在立体几何中的应用1.
两个向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．通常规定．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且．如果，则称与互相垂直，记作．空间向量的平行和垂直的条件：设，，
（）；两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：，，．如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的法向量（不能为法向量）。设是空间任一点，为空间内任一非零向量，则满足的点表示过点且与向量垂直的平面，称为该平面的向量表示式．设分别是平面的法向量，则或与重合；用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2，λ∈R若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0题型一 平面法向量的求法例1 若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.解析：＝，＝，由a·＝0，a·＝0，得即所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．答案：2∶3∶(－4)点评：求法向量的解题步骤：①设平面的法向量为n＝(x，y，z)；②在平面内选取两个不共线的向量，；③由列出等式；④解由得出的方程组，取其中一个为非零值(常取±1)，得到平面的一个法向量．巩
固 在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：DD1∥AA1，＝(0,0,1)，所以①对；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，所以②对；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)，所以③对；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，所以④错．故选C.答案：C题型二 利用空间向量证明平行问题例2 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.解析：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则A(a，0,0)，A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．所以N，Ma，，a，E，F0，，a，所以＝，＝，＝(a，a,0)，＝.设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，则所以所以y1＝－x1＝－2z1，取z1＝1，所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2,1)．同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2.令z2＝1，所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．因为m＝n，所以m∥n，所以平面AMN∥平面EFDB.点评：证明面面平行可用以下方法：①转化为证明相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．巩
固 如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．求证：EF∥平面SAD.证明：建立如右图所示的空间直角坐标系．设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，＝.取SD的中点G，则＝.因为＝，所以EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD，所以EF∥平面SAD.题型三 证明线线垂直例3 已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，证明：PM⊥QN.证明：如图，连接OM，ON，设＝a，＝b，＝c.∵＝(＋)＝(b＋c)，＝(＋)＝(a＋c)，∴＝＋＝－a＋(b＋c)＝(b＋c－a)．＝＋＝－b＋(a＋c)＝(a＋c－b)．∴·＝[c－(a－b)][c＋(a－b)]＝[c2－(a－b)2]＝(||2－||2)．由||＝||，∴·＝0，即⊥，即PM⊥QN.点评：利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量巩
固 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，则E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．因为·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，所以⊥，即A1F⊥C1E.题型四 证明线面垂直例4 在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.证明：AB⊥平面VAD.证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，V（，0，），
＝(0,1,0)，＝.由·＝0，得AB⊥VA，又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直．∴AB⊥平面VAD.点评：利用向量法证明线面垂直，有两种方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂直．巩
固 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明：方法一 设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)．因为＝＋＝a＋b，所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.所以
⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，所以EF⊥平面B1AC.方法二 设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)．所以＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．所以·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，所以EF⊥平面B1AC.题型五 证明面面垂直例5 在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.解析：法一 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，于是＝(3,0,0)，FG(1,0,0)，故＝3，所以PA∥FG.而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC.又FG?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC.方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥.所以令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．又n·＝0，所以n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC.点评：证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．巩
固 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，|AB|＝|BC|＝2，|BB1|＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，以直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则?令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则?令x2＝1，则n2＝(1，－1,4)，n1·n2＝1－1＝0，即平面AEC1⊥平面AA1C1C.一、选择题1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝( )A．1
B．－2C．－3
D．3答案：D2．若两个不同平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(2,3,8)，则( )A．α∥β
B．α⊥βC．α、β相交但不垂直
D．以上均不正确答案：B3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )A．(1，－1,1)
B.C.
D.解析：对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.故选B.
答案：B4．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )A．(1，－2,0)
B．(0，－2,2)C．(2，－4,4)
D．(2,4,4)解析：因为(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，所以(2，－4,4)可作为α的一个法向量．故选C.答案：C5．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则( )A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直解析：∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0.∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.答案：A6．已知a＝(sin
θ，cos
θ，)，b＝，且a⊥b，则θ等于
( )A．－
B.C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)解析：∵a⊥b，∴a·b＝2sin
θcos
θ＋1＝sin
2θ＋1＝0，得2θ＝2kπ－(k∈Z)，∴θ＝kπ－(k∈Z)．答案：D二、填空题7．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若＝i＋kj，＝2i＋j，且∠C＝90°，则k的值是________．解析：＝2i＋j，＝－＝i＋(1－k)j，由·＝0，得(2i＋j)·＝0，即2＋(1－k)＝0，∴k＝3.答案：38．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.答案：39．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝0，即(1,1,2)·(x，－2,3)＝0，得x－2＋6＝0.∴x＝－4.答案：－410.
已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________(填序号)．解析：·＝－2－2＋4＝0，所以AP⊥AB，①正确；·＝－4＋4＝0，所以AP⊥AD，②正确；是平面ABCD的法向量，所以③正确；④错误．答案：①②③11．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________.解析：因为·＝0，所以3＋5－2z＝0，即z＝4.因为＝(x－1，y，－3)，⊥平面ABC，所以即解之得即＝.答案：三、解答题12.
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明：方法一 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0，0，)，C1(0,1，)．因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1,1,0)．所以＝(1,1,0)，＝(0,0，),
＝(－2,2,0)．所以·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0.所以⊥，⊥.所以BC⊥AD，BC⊥AA1.又A1A∩AD＝A，所以BC⊥平面A1AD.又BC?平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.方法二 同方法一建系后，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，所以n1＝(1，－1,0)．由得令y2＝1，则x2＝1，z2＝，所以n2＝.因为n1·n2＝1－1＋0＝0，所以n1⊥n2.所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.13．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1，1)，由中点性质得E（1,1，）、F、G、H（，，1）.(1)则＝(1,0,1)，＝，＝，∵＝2，·＝1×＋1×＝0，∴∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.(2)∵＝，＝，＝，∴·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0，∴⊥，⊥，即A1G⊥DF，A1G⊥DE.又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.
一、选择题1．设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是( )A．(－1，－2,5)
B．(－1,1，－1)C．(1,
1,1)
D．(1，－1，－1)答案：B2．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝答案：D 3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则能使l∥α的是( )A．a＝(1,0,0)，u＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，u＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，u＝(－1,0,1)D．a＝(1，－1,3)，u＝(0,3,1)答案：D4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )A．平行
B．垂直C．相交不垂直
D．无法判断解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0.∴a⊥b，∴α⊥β.答案：B5．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为( )A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．故选C.答案：C二、填空题6.
＝λ＋u
(λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．解析：因为＝λ＋u，所以与，共面，所以AB∥平面CDE或AB?平面CDE.答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE7.
已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________．解析：因为u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0，所以u⊥v，所以l∥α或l?α.答案：l∥α或l?α8．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：∵α∥β，∴u1∥u2，∴＝＝，∴y＝1，z＝－4，∴y＋z＝－3.答案：－3三、解答题9．如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.证明：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N，＝，＝，＝.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即取z＝，解得n＝(0,4，)．∵·n＝·＝0，∴MN∥平面OCD.10．如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中
点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解析：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．再设Q(0,2，c)，所以＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，eq
\o(BQ,\s\up6(→))＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，则?令x＝1，则y＝1，z＝2.所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．所以n1·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1，这时n1·＝－2－2＋4＝0，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
PAGE
空间向量的平行垂直问题
教学目标
1．理解空间点、直线、平面的向量表示方法．2．能用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系．3．用向量方法证明空间中的平行关系．4．用向量方法证明空间中的垂直关系．
教学内容
一、空间向量1．空间向量的基本定理：
共线向量定理：对空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，使．
共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的一对实数，，使．
空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组（，，），使．表达式，叫做向量，，的线性表示式或线性组合．
上述定理中，，，叫做空间的一个基底，记作，其中都叫做基向量．
由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．2．空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系，分别沿轴，轴，轴的正方向引单位向量，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底，这个基底叫做单位正交基底．
空间直角坐标系，也常说成空间直角坐标系．3．在空间直角坐标系中，已知任一向量，根据空间向量分解定理，存在唯一数组，使，其中分别叫做向量在方向上的分量或投影，有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作．
若：，，
则：；；
；．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．二、空间向量在立体几何中的应用1.
两个向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作．通常规定．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且．如果，则称与互相垂直，记作．空间向量的平行和垂直的条件：设，，
（）；两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式：，，．如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的法向量（不能为法向量）。设是空间任一点，为空间内任一非零向量，则满足的点表示过点且与向量垂直的平面，称为该平面的向量表示式．设分别是平面的法向量，则或与重合；用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2，λ∈R若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0题型一 平面法向量的求法例1 若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.解析：＝，＝，由a·＝0，a·＝0，得即所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．答案：2∶3∶(－4)点评：求法向量的解题步骤：①设平面的法向量为n＝(x，y，z)；②在平面内选取两个不共线的向量，；③由列出等式；④解由得出的方程组，取其中一个为非零值(常取±1)，得到平面的一个法向量．巩
固 在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：DD1∥AA1，＝(0,0,1)，所以①对；BC1∥AD1，＝(0,1,1)，所以②对；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0)，所以③对；C1点坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，所以④错．故选C.答案：C题型二 利用空间向量证明平行问题例2 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.解析：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则A(a，0,0)，A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)．所以N，Ma，，a，E，F0，，a，所以＝，＝，＝(a，a,0)，＝.设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，则所以所以y1＝－x1＝－2z1，取z1＝1，所以平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2,1)．同理由可得x2＝－y2，y2＝－2z2.令z2＝1，所以平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．因为m＝n，所以m∥n，所以平面AMN∥平面EFDB.点评：证明面面平行可用以下方法：①转化为证明相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．巩
固 如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．求证：EF∥平面SAD.证明：建立如右图所示的空间直角坐标系．设A(a,0,0)，S(0,0，b)，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，＝.取SD的中点G，则＝.因为＝，所以EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD，所以EF∥平面SAD.题型三 证明线线垂直例3 已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，证明：PM⊥QN.证明：如图，连接OM，ON，设＝a，＝b，＝c.∵＝(＋)＝(b＋c)，＝(＋)＝(a＋c)，∴＝＋＝－a＋(b＋c)＝(b＋c－a)．＝＋＝－b＋(a＋c)＝(a＋c－b)．∴·＝[c－(a－b)][c＋(a－b)]＝[c2－(a－b)2]＝(||2－||2)．由||＝||，∴·＝0，即⊥，即PM⊥QN.点评：利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量巩
固 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，则E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．所以＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．因为·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，所以⊥，即A1F⊥C1E.题型四 证明线面垂直例4 在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.证明：AB⊥平面VAD.证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，V（，0，），
＝(0,1,0)，＝.由·＝0，得AB⊥VA，又AB⊥AD，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，AD都垂直．∴AB⊥平面VAD.点评：利用向量法证明线面垂直，有两种方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量都垂直．巩
固 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明：方法一 设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)．因为＝＋＝a＋b，所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.所以
⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，所以EF⊥平面B1AC.方法二 设正方体的棱长为2，以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2，2,1)，F(1,1,2)．所以＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．所以·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，所以⊥，⊥，所以EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，所以EF⊥平面B1AC.题型五 证明面面垂直例5 在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.解析：法一 如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，于是＝(3,0,0)，FG(1,0,0)，故＝3，所以PA∥FG.而PA⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC.又FG?平面EFG，所以平面EFG⊥平面PBC.方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)．所以＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，则有n⊥，n⊥.所以令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1)．显然＝(3,0,0)是平面PBC的一个法向量．又n·＝0，所以n⊥，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，所以平面EFG⊥平面PBC.点评：证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．巩
固 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，|AB|＝|BC|＝2，|BB1|＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明：由题意得AB，BC，B1B两两垂直，以B为原点，以直线BA，BC，BB1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝.设平面AA1C1C的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则?令x1＝1，得y1＝1，∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则?令x2＝1，则n2＝(1，－1,4)，n1·n2＝1－1＝0，即平面AEC1⊥平面AA1C1C.一、选择题1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝( )A．1
B．－2C．－3
D．3答案：D2．若两个不同平面α、β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(2,3,8)，则( )A．α∥β
B．α⊥βC．α、β相交但不垂直
D．以上均不正确答案：B3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )A．(1，－1,1)
B.C.
D.解析：对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0.故选B.
答案：B4．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )A．(1，－2,0)
B．(0，－2,2)C．(2，－4,4)
D．(2,4,4)解析：因为(2，－4,4)＝2(1，－2,2)＝2n，所以(2，－4,4)可作为α的一个法向量．故选C.答案：C5．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，则( )A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直D．l1，l2，l3两两互相垂直解析：∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0.b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0.∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.答案：A6．已知a＝(sin
θ，cos
θ，)，b＝，且a⊥b，则θ等于
( )A．－
B.C．2kπ－(k∈Z)
D．kπ－(k∈Z)解析：∵a⊥b，∴a·b＝2sin
θcos
θ＋1＝sin
2θ＋1＝0，得2θ＝2kπ－(k∈Z)，∴θ＝kπ－(k∈Z)．答案：D二、填空题7．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若＝i＋kj，＝2i＋j，且∠C＝90°，则k的值是________．解析：＝2i＋j，＝－＝i＋(1－k)j，由·＝0，得(2i＋j)·＝0，即2＋(1－k)＝0，∴k＝3.答案：38．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.答案：39．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝0，即(1,1,2)·(x，－2,3)＝0，得x－2＋6＝0.∴x＝－4.答案：－410.
已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________(填序号)．解析：·＝－2－2＋4＝0，所以AP⊥AB，①正确；·＝－4＋4＝0，所以AP⊥AD，②正确；是平面ABCD的法向量，所以③正确；④错误．答案：①②③11．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________.解析：因为·＝0，所以3＋5－2z＝0，即z＝4.因为＝(x－1，y，－3)，⊥平面ABC，所以即解之得即＝.答案：三、解答题12.
三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如右图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.证明：方法一 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0，0，)，C1(0,1，)．因为D为BC的中点，所以D点坐标为(1,1,0)．所以＝(1,1,0)，＝(0,0，),
＝(－2,2,0)．所以·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0.所以⊥，⊥.所以BC⊥AD，BC⊥AA1.又A1A∩AD＝A，所以BC⊥平面A1AD.又BC?平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.方法二 同方法一建系后，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．由得令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，所以n1＝(1，－1,0)．由得令y2＝1，则x2＝1，z2＝，所以n2＝.因为n1·n2＝1－1＋0＝0，所以n1⊥n2.所以平面A1AD⊥平面BCC1B1.13．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.解析：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1，1)，由中点性质得E（1,1，）、F、G、H（，，1）.(1)则＝(1,0,1)，＝，＝，∵＝2，·＝1×＋1×＝0，∴∥，⊥，即AB1∥GE，AB1⊥EH.(2)∵＝，＝，＝，∴·＝－＋0＝0，·＝＋0－＝0，∴⊥，⊥，即A1G⊥DF，A1G⊥DE.又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.
一、选择题1．设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是( )A．(－1，－2,5)
B．(－1,1，－1)C．(1,
1,1)
D．(1，－1，－1)答案：B2．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )A．x＝6，y＝15
B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15
D．x＝6，y＝答案：D 3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则能使l∥α的是( )A．a＝(1,0,0)，u＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，u＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，u＝(－1,0,1)D．a＝(1，－1,3)，u＝(0,3,1)答案：D4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( )A．平行
B．垂直C．相交不垂直
D．无法判断解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0.∴a⊥b，∴α⊥β.答案：B5．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为( )A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：因为＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．故选C.答案：C二、填空题6.
＝λ＋u
(λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．解析：因为＝λ＋u，所以与，共面，所以AB∥平面CDE或AB?平面CDE.答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE7.
已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________．解析：因为u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0，所以u⊥v，所以l∥α或l?α.答案：l∥α或l?α8．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.解析：∵α∥β，∴u1∥u2，∴＝＝，∴y＝1，z＝－4，∴y＋z＝－3.答案：－3三、解答题9．如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.证明：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N，＝，＝，＝.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即取z＝，解得n＝(0,4，)．∵·n＝·＝0，∴MN∥平面OCD.10．如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中
点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?解析：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．再设Q(0,2，c)，所以＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，eq
\o(BQ,\s\up6(→))＝(－2,0，c)，＝(－2，－2,2)．设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，则?令x＝1，则y＝1，z＝2.所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．所以n1·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1，这时n1·＝－2－2＋4＝0，故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
PAGE