新人教A版高中数学必修第二册：利用空间向量求角

授课主题
利用空间向量求角
教学目标
1．认识空间角的含义，主要是：两异面直线所成角、二面角、线面角．2．明确利用向量求各种角的方法．
教学内容
角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，
则cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝二面角设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝[0，π]题型一　求直线与直线所成的角例1　如图，在棱长为1的正方体ABCD?-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值．解析：方法一　∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＝.||＝＝＝＝.同理，||＝.设直线AM与CN所成的角为α.则cos
α＝＝＝.∴直线AM与CN所成的余弦值为.方法二　如图，分别以、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.∴＝－(1,0,0)＝，＝－(0,1,0)＝.故·＝0×1＋×0＋1×＝，||＝＝，||＝＝.设直线AM与CN所成的角为α，则cos
α＝＝＝.∴直线AM与CN所成的角的余弦值为.点评：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos
θ＝|cos
α|.巩
固　如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A.
B.
C.
D.解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)．cos〈，〉＝＝＝.故选A.答案：A.题型二　求直线与平面所成的角例2　如图，在棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．(1)证明：取CD的中点E，连接BE.因为AB∥DE，AB＝DE＝3k，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD且BE＝AD＝4k.在△BCE中，因为BE＝4k，CE＝3k，BC＝5k，所以BE2＋CE2＝BC2，所以∠BEC＝90°，即BE⊥CD，又因为BE∥AD，所以CD⊥AD.因为AA1⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以AA1⊥CD.又AA1∩AD＝A，所以CD⊥平面ADD1A1.
(2)
解析：以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以＝(－4k,6k,0)，＝(0,3k,1)，＝(0,0,1)．设平面AB1C的法向量n＝(x，y，z)，则由得取y＝2，得n＝(3,2，－6k)．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sin
θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，解得k＝1，故所求k的值为1.点评：利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量
；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sin
θ＝.巩
固　正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为，求AC1与侧面AA1B1B所成的角．证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B(0，a,0)、A1(0,0，a)、C1，取A1B1中点M，则M，连接AM、MC1，有＝，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)．∵·＝0，·＝0，∵AB∩AA1＝A且AB?平面AA1B1B，AA1?平面AA1B1B，∴MC1⊥平面AA1B1B，∴∠C1AM是AC1与侧面AA1B1B所成的角．∵＝，＝，∴·＝0＋＋2a2＝.而||＝
＝a，||＝
＝a，∴cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝30°，即AC1与侧面AA1B1B所成的角为30°.题型三　求二面角的平面角例3　如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC.
已知PD＝，CD=2，AE＝，求二面角E?PC?D的大小．解析：以D为原点，、、分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如右图所示．由已知可得D(0,0,0)，P(0,0，)，C(0,2,0)设A(x,0,0)(x＞0)，则B(x,2,0)，E，则＝，＝.由PE⊥CE得·＝0，即x2－＝0，故x＝.作DG⊥PC，可设G(0，y，z)．由·＝0得(0，y，z)·(0,2，－)＝0，即z＝y，又由G在PC上，得z＝－y＋，故y＝，z＝，＝(0，，)，作EF⊥PC于F，设F(0，m，n)，则＝.由·＝0得·(0,2，－)＝0，即2m－1－n＝0，又由F在PC上得n＝－m＋，故m＝1，n＝，＝.因⊥，⊥，故E?PC?D的平面角θ的大小为向量与的夹角．故cos
θ＝＝，θ＝，点评：利用空间向量求二面角的方法：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，求解步骤如下：①依据题设条件建立适当的空间直角坐标系；②求出两个平面的法向量n1，n2；③由cos
θ＝求n1，n2所成的锐角θ；④若二面角的平面角为锐角，则θ为所求，若二面角的平面角为钝角，则π－θ为所求．巩
固　如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)解析：过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，则所以不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为＝(0,0,1)，＝(，－1,0)，设平面ABP的法向量为n2＝(x，y，z)，则所以不妨令x＝1，则n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.一、选择题1．设n1，n2分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若〈n1，n2〉＝π，则此二面角的大小为______．答案：或2．正方体ABCD?A1B1C1D1中，BD1与AA1所成角的余弦为(　　)A.　　
　B.　　
　C.　　
　D．1答案：A3．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为(　　)A．30°
B．45°
C．60°
D．90°解析：l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角)，因为cos〈a，b〉＝＝，所以〈a，b〉＝60°.故选C.答案：C4．已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9，－3,4)和B(9,2,1)，则线段AB(　　)A．与平面xOy平行B．与平面xOz平行C．与平面zOy平行D．与平面xOy或zOy平行答案：C5．从空间一点P向二面角α?l?β的两个半平面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角α?l?β的大小为60°，则〈?，?〉的大小为(　　)A．30°或150°
B．120°C．60°或120°
D．60°答案：C6．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为　
(　　)A.
B．－C.
D．以上都不对解析：因为
＝，所以这个二面角的余弦值为或－.故选D.答案：D7．正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1和平面BB1C1C所成角的余弦值为(　　)A.
B
C.
D.解析：设正三棱柱ABCA1B1C1所有棱长均为1，以B为原点建立空间直角坐标系(如右图)，则C1(0,1,1)，A，＝，又平面BB1C1C的法向量n＝(1,0,0)，所以AC1与平面BB1C1C所成的角θ的正弦值sin
θ＝＝＝，cos
θ＝＝，故选A.答案：A8．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为(　　)A.
B.
C.
D.答案：B　二、填空题9．已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AB＝2，BC＝，则二面角P?BD?A的正切值为________．答案：　10．已知两条异面直线l1，l2，a＝(－2，－2,0)是l1的方向向量，b＝(2,1,2)是l2的方向向量，则l1与l2所成角的大小为________．答案：45°11．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．解析：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BO＝AB＝，所以A，B，D，所以＝，又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sin
θ＝|cos?，e|＝＝.答案：三、解答题12．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．(1)证明：在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以AA1⊥平面ABC.(2)解析：在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，所以BC2＝AC2＋AB2，AB⊥AC所以以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，＝(4,0,0)，＝(0,3，－4)，＝(4，－3,0)，＝(0,0,4)．设平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)．所以?所以取向量n1＝(0,4,3)由?取向量n2＝(3,4,0)所以cos
θ＝＝＝.(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ.所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)，解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.所以＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD⊥A1B，所以0＋3(3－3λ)－16λ＝0，则λ＝，因此＝.1．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则B1C与平面A1B1BA所成角的正弦值是(　　)A.
B.
C.
D.解析：设棱长为2，取棱A1B1、AB的中点D、E，建立如图所示的坐标系，则E(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，，0)，C(0，，2)，所以＝(－1，，2)，＝(0，，0)，且是平面A1B1BA的法向量，设所求角为θ，则sin
θ＝＝＝.故选B.2.　四棱锥PABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝2，点M，N分别在棱PD，PC上，且PC⊥平面AMN.(1)求AM与PD所成的角；(2)求二面角PAMN的余弦值；(3)求直线CD与平面AMN所成角的余弦值．分析：建立空间直角坐标系，将所求角转化为空间向量所成的角．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(0,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，所以＝(2,2，－2)，＝(0,2，－2)．设M(x1，y1，z1)，因为＝λ，所以(x1，y1，z1－2)＝λ(0,2，－2)，所以x1＝0，y1＝2λ，z1＝－2λ＋2，所以M(0,2λ，2－2λ)．因为PC⊥平面AMN，所以PC⊥AM，所以
·＝0，所以(2,2，－2)·(0,2λ，2－2λ)＝0，得4λ－2(2－2λ)＝0，所以λ＝，M(0,1,1)．设N(x2，y2，z2)，因为＝t，所以(x2，y2，z2－2)＝t(2,2，－2)，所以x2＝2t，y2＝2t，z2＝－2t＋2，所以N(2t,2t,2－2t)．因为⊥，所以·＝0，所以(2t,2t,2－2t)·(2,2，－2)＝0，所以4t＋4t－2(2－2t)＝0，所以t＝，所以N.(1)因为cos?，?＝＝0，所以AM与PD所成的角为90°.(2)因为AB⊥平面PAD，PC⊥平面AMN，所以，分别是平面PAD，平面AMN的法向量．因为·＝(2,0,0)·(2,2，－2)＝4，||＝2，||＝2，所以cos<，>＝＝，所以二面角PAMN的余弦值为.(3)因为是平面AMN的法向量，所以CD与平面AMN所成的角即为CD与PC所成角的余角．因为·＝(－2,0,0)·(2,2，－2)＝－4，所以cos<，>＝＝－，所以直线CD与PC所成角的余弦值为，即直线CD与平面AMN所成角的余弦值为.3．如下图，已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC,
PC的中点．(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E?AF?C的余弦值．(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又
BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA?平面PAD，AD?平面PAD
且PA∩AD＝A，所以
AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD.所以
AE⊥PD.(2)解析：如下图，设AB＝2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.由(1)知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE＝，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA＝＝＝，因此AH＝，又AD＝2，所以∠ADH＝45°，所以PA＝2.因为AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，F.所以＝(，0,0)，＝.设平面AEF的一法向量为m＝(x1，y1，z1)，则
因此
取z1＝－1，则m＝(0,2，－1)，因为
BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量．又＝(－，3,0)，所以
cos〈m,
〉＝＝＝.因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为.4．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
(1)证明：如图，取AB的中点O，连接CO、A1O.因为CA＝CB，所以CO⊥AB，又因为AA1＝AB，所以AA1＝2AO，又∠A1AO＝60°，所以∠AOA1＝90°，即AB⊥A1O，所以AB⊥平面A1OC，所以AB⊥A1C.解析：以O为原点，OA所在直线为x轴，OA1所在直线为y轴，OC所在直线为z轴，建立如图直角坐标系，则A(1,0,0)，A1(0，，0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，B1(－2，，0)，则＝(1,0，)，＝(－1，，0)，＝(0，－，)，设n＝(x，y，z)为平面BB1C1C的法向量，则所以n＝(，1，－1)为平面BB1C1C的一个法向量，故cos＝＝－，所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值sin
θ＝.
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