新人教A版高中数学必修第二册：导数的计算综合问题

授课主题
导数的计算综合问题
教学目标
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如的导数)．3．能利用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则解决某些函数的综合问题．
教学内容
1.
复合函数：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2.
复合函数的求导法则：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．题型一　复合函数的定义例1　指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos
3x.解析：(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的．(3)y＝cos
3x是由函数y＝cos
u，u＝3x复合而成的．点评：分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．巩
固　指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y＝ln
；(2)y＝esin
x；(3)y＝cos
(x＋1)．解析：(1)y＝ln
u，u＝；(2)y＝eu，u＝sin
x；(3)y＝cos
u，u＝x＋1.
题型二　求复合函数的导数例2　求下列函数的导数：(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x＋3.解析：(1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，(2)y＝＝可看作y＝，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝·(－2)＝
＝.(3)原函数可看作y＝sin
u，u＝－2x＋的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·(－2)＝－2cos(－2x＋)(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln
10·2＝(ln
100)102x＋3.点评：对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．巩
固　求下列复合函数的导数：(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝cos2x.解析：(1)设y＝，u＝3x－x2，则yx′＝yu′·ux′＝·(3－2x)＝.(2)设u＝1－3x，则y＝u－3，所以yx′＝yu′·ux′＝(u－3)′·(1－3x)′＝－3u－4·(－3)＝9u－4＝9(1－3x)－4＝.(3)解法一　令y＝u2，则u＝cos
x，所以y′＝(u2)′·(cos
x)′＝2u·(－sin
x)＝－2cos
xsin
x＝－sin
2x.
解法二　
y＝cos2x＝，所以y′＝′＝·(－sin
2x)(2x)′＝－sin
2x.题型三　曲线的切线方程的综合应用例3　曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少？分析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点．解析：曲线在点(3,27)处切线的方程为y＝27x－54，此直线与x轴，y轴的交点分别为(2,0)和(0，－54)，故切线与两坐标轴围成的三角形面积是S＝×2×54＝54.巩
固　设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.解析：因为y′＝a·eax，且y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以k＝2＝f′(0)＝a，即a＝2.题型四　复合函数与导数运算法则的综合问题例4　求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝xcossin.解析：(1)y′＝′＝x′＋x′＝＋＝.(2)∵y＝xcossin＝x(－sin
2x)cos
2x＝－xsin
4x，∴y′＝′＝－sin
4x－cos
4x·4＝－sin
4x－2xcos
4x.点评：在复合函数的求导中运用求导运算法则，要注意三点：①法则运用的先后顺序；②有些复杂函数可以先化简，再用求导公式和符合函数的求导法则求导；③有些复合函数化简后不再是复合函数，如y＝sin
2x＝2sin
xcos
x，化简后可按照函数求导的乘法法则进行．巩
固　已知f(x)＝eπxsin
πx，求f′(x)及f′.答案：一、选择题1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是(　　)A．y＝un，u＝cos
xn　　
　B．y＝t，t＝cosnxC．y＝tn，t＝cos
x
D．y＝cos
t，t＝xn答案：C　2．y＝loga(2x2－1)的导数是(　　)A.
B.C.
D.答案：A3．设正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)A.∪
B．[0，π)C.
D.∪解析：因为(sin
x)′＝cos
x，所以k1＝
cos
x，所以－1≤k1≤1，所以倾斜角的范围是∪.故选A.答案：A4．设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)＞0的解集为(　　)A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)
D．(－1,0)解析：f(x)定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝2x－2－＝>0.解得－12.所以f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．答案：C5．已知函数f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1))处的切线方程是(　　)A．3x－15y＋4＝0　
B．15x－3y－2＝0C．15x－3y＋2＝0　
D．3x－y＋1＝0解析：f′(x)＝－2x2＋4ax＋3，因为f′(x)的最大值为5，所以＝5，解得a＝1(舍去a＝－1)，所以f(x)＝－x3＋2x2＋3x，f(1)＝，f′(1)＝5，所以切线方程为y－＝5(x－1)，即15x－3y－2＝0.故选B.答案：B二、填空题6．f(x)＝xsin
x－cos
x，f′(π)＝__________.答案：－π7．y＝2xln
x在x＝2处的导数为__________．答案：2＋4ln228．设函数f(x)＝ex＋g(x)，若曲线y＝g(x)在点P(0，g(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点Q(0，f(0))处的切线方程为________________________．解析：g′(0)＝2，g(0)＝1，所以f′(0)＝3，f(0)＝2，所以曲线y＝f(x)在点Q(0，f(0))处的切线方程为y－2＝3x，即3x－y＋2＝0.答案：3x－y＋2＝0三、解答题9．已知曲线y＝e2x·cos
3x在点(0,1)处的切线与直线C的距离为，求直线C的方程．解析：因为y′＝(e2x)′cos
3x＋e2x·(cos
3x)′＝2e2x·cos
3x－3e2x·sin
3x，所以y′|x＝0＝2，所以在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得＝，解得b＝6或－4.所以适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.10.
设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；解析：方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是
解得
故f(x)＝x－.(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知：曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.1．函数y＝(3x－2)2的导数为(　　)A．2(3x－2)　　　
B．6xC．6x(3x－2)
D．6(3x－2)解析：∵y＝(3x－2)2，∴y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．答案：D　2．函数y＝sin
2x的导数为(　　)A．y′＝cos
2x
B．y′＝2xsin
2xC．y′＝2cos
2x
D．y′＝2sin
2x解析：令u＝2x，则y′＝(sin
u)′·u′(x)＝2cos
u＝2cos
2x.答案：C3．函数y＝e2x＋1，则y′|x＝0＝(　　)A．e
B．2e
C．2e2
D．2e＋1解析：设y＝eu，u＝2x＋1，则yx′＝yn′·ux′＝eu·2＝2e2x＋1，所以y′|x＝0＝2e1＝2e.故选B.答案：B
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