授课主题
函数的单调性、极值和导数
教学目标
1．了解函数单调性和导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．4．会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次．
教学内容
1.
函数单调性和导数的关系：一般地，可导函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)有如下关系：导函数的符号不等式的解集函数的单调性单调区间f′(x)＞0(a，b)单调递增递增区间f′(x)＜0(a，b)单调递减递减区间2.
极值的概念：已知函数y＝f(x)，设x0是定义域(a，b)任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点．如果都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小＝f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点．极大值与极小值统称为极值．极大值点与极小值点统称为极值点．函数的极值就是函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大．3.
极值与导数的关系：解方程f′(x0)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．题型一 求函数的单调区间
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例1 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)；(2)f(x)＝3x2－2ln
x.分析：求出导函数f′(x)，由f′(x)＞0得单调递增区间，由f′(x)＜0得单调递减区间．解析：(1)f′(x)＝2ax＋b＝2a(a＞0)．由f′(x)＞0，得x＞－；由f′(x)＜0，得x＜－.∴函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)f′(x)＝6x－＝＝2·，令f′(x)＞0，即＞0，
∵x＞0，∴3x2－1＞0，∴x＞.令f′(x)＜0，即＜0，∵x＞0，∴3x2－1＜0，∴0＜x＜.∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为点评：单调区间的求解过程：已知y＝f(x)．(1)分析
y＝f(x)的定义域；(2)求导数
y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．特别提醒：若一个函数的单调递增区间(或单调递减区间)有两个(或多个)，则这些区间要分开写，不能用并集符号连结．如函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，不能表示为“函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)”．
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巩
固 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x4－2x2＋3；
(2)f(x)＝.解析：(1)函数f(x)
的定义域为R.f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)．令f′(x)＞0，则4x(x＋1)(x－1)>0，解得－11，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)．所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)＜0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．题型二 证明函数的单调性例2 求证：函数f(x)＝ex－x＋1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或恒小于零，即可证明函数单调性问题．证明：由f(x)＝ex－x＋1，得f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．点评：函数f(x)在某一区间上f′(x)＞0是f(x)是增函数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x)＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立)即可．巩
固 证明函数f(x)＝在区间(0,2)内是单调递增函数．证明：因为f(x)＝，所以f′(x)＝＝，由于0＜x＜2，所以ln
x＜ln
2＜1，故f′(x)＝＞0，即函数在区间(0,2)内是单调递增函数．题型三 已知函数单调性求参数的范围例3 已知函数f(x)＝ln
x－ax2－x(a∈R)．(1)当a＝2时，求y＝f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围解析：(1)当a＝2时，f(x)＝ln
x－x2－x(x＞0)，其定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝－2x－1＝－＝－.令f′(x)＞0，则0＜x＜；令f′(x)＜0，则x＞.所以是函数f(x)的单调递增区间，是f(x)的单调递减区间．(2)因为f(x)＝ln
x－ax2－x，所以f′(x)＝－ax－1＝－(x＞0)，因为y＝f(x)存在单调递减区间，所以f′(x)＜0在(0，∞)上有解，又因为x＞0，则ax2＋x－1＞0在(0，∞)上有解．①当a＝0时，x＞1在(0，∞)上有解；②当a＞0时，ax2＋x－1＞0在(0，∞)上总有解；③当a＜0时，要使ax2＋x－1＞0在(0，∞)上有解，只需ax2＋x－1＝0有两个不等的正实根，所以解得－＜a＜0.综上知，a的取值范围是.点评：利用导数解决含参数函数的单调性问题应从两点考虑：①若参数对函数的定义域有影响，需对参数分类讨论；②若参数对导数的正负取值有影响，也需对参数分类讨论．巩
固 已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围．(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．解析：(1)f′(x)＝3x2－a.∵f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)内恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只要a≤0.又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴f(x)＝x3－1在R内是增函数．∴a的取值范围是(－∞，0]．(2)∵f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)内恒成立，∴a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，又∵－1固 已知函数f(x)＝ln
x－2x，求函数f(x)的极值．解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2.令f′(x)＝－2＝0，解得x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：xf′(x)＋0－f(x)↗极大值ln↘∴当x＝时，函数f(x)有极大值，且极大值为f＝ln－1＝ln.题型五 已知函数的极值求参数值例5 已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值，讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值．解析：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，所以f′(1)＝f′(－1)＝0，即解得a＝1，b＝0.所以f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,1)上是减函数，所以f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．点评：对于求含参数函数的极值问题，若参数对函数的单调性(即导数的正负)有影响则需对参数分类讨论，否则不用讨论参数．巩
固 设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a<－1 B．a>－1C．a>－
D．a<－答案：A题型六 函数极值的应用例6 已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？解析：(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)?↗a－2?↘a＋2?↗由表可知函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.(2)结合图象(图略)，当极大值a＋2＝0，极小值小于0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0，有极大值大于0时，曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．巩
固 设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a>－3
B．a<－3C．a>－
D．a<－答案：B（单调性）A组1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2)
B．(0,3)C．(1,4)
D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.答案：D 2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)C．(－∞，0)
D．(0,2)解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＜0，得0＜x＜2，所以f(x)的单调递减区间为(0,2)．故选D.答案：D3．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )A．f(2)B．f(e)D．f(e)0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)B．(－∞，1)C.
D．(1，＋∞)答案：C2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)＞0
B．f(x)＜0C．f(x)＝0
D．f(x)≥0答案：A3．关于函数f(x)＝2x3－6x2＋7，下列说法不正确的是( )A．在区间(－∞，0)内，f(x)为增函数B．在区间(0,2)内，f(x)为减函数C．在区间(2，＋∞)内，f(x)为增函数D．在区间(－∞，0)∪(2，＋∞)内，f(x)为增函数答案：D
4.
已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)在(0,2)上是减函数，则a的取值范围是( )A．(0,16)
B．(－∞，16)C．(16，＋∞)
D．[16，＋∞)解析：f′(x)＝2x－＝，由题意f′(x)≤0在(0,2)上恒成立．所以2x3－a≤0在(0,2)上恒成立，即a≥2x3在(0,2)上恒成立，又因为0＜2x3＜16，所以a≥16.故选D.答案：D5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，
y＝f′(x)
的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析：由f′(x)的图象可知，x<0或x>2时，f′(x)>0；0x－2x的递减区间是________．解析：因为f′(x)＝cos
x－2＜0，所以f(x)在R上为减函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．解析：因为y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，所以方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，所以Δ＝02－4×(－4)×a＞0，得a＞0.答案：(0，＋∞)8．若f(x)＝ax3－x2＋x－5为R上的增函数，则实数a的取值范围是________．答案：三、解答题9．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．解析：f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x，由题知x＝0或x＝4为方程f′(x)＝0的两根，∴0＋4＝4＝.∴k＝1.10．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调性．解析：f′(x)＝＋2x，依题意，有f′(－1)＝0，故a＝.从而f′(x)＝＝.则f(x)的定义域为.当－＜x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜－时，f′(x)＜0；当x＞－时，f′(x)＞0.从而f(x)分别在区间，上递增，在区间上递减．（极值）A组1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于( )A．2
B．3
C．4
D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由f′(－3)＝0得a＝5.故选D.答案：D 2．设函数f(x)＝＋ln
x，则( )A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点答案：D3．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是( )A．有极小值
B．有极大值C．既有极大值又有极小值
D．无极值解析：x∈R，y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，所以函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．故选D.答案：AB组一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值有( )A．1个
B．2个
C．3个
D．4个答案：A2．下列关于函数的极值的说法正确的是( )A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数解析：导数值为0的点不一定是极值点，如y＝x3，y′＝3x2＝0时，x＝0不是极值点，所以选项A错；函数的极小值不一定小于它的极大值，如y＝，x＝－1时，有极大值y＝－1，x＝1时，有极小值y＝1，所以选项B错；函数在定义域内不一定有一个极大值和一个极小值，如y＝x3没有极值，所以选项C错；根据极值的定义知选项D正确．答案：D3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x0处取得极小值，则x0＝( )A．0
B．2
C．－2
D．3解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，故当x＝2时取得极小值．故选B.答案：B4．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( )A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件答案：B5．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )A．(2,3)
B．(3，＋∞)C．(2，＋∞)
D．(－∞，3)答案：B二、填空题6.
若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝______.解析：f′(x)＝.∴f′(1)＝＝0得a＝3.答案：37．函数y＝x3－3x的极大值点是______，极小值点是________，极大值为________，极小值为________．答案：x＝－1 x＝1 2 －28．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)＞0，解得m＞6或m＜－3.答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极大值5，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示．(1)求x0的值；解析：由题图，x<1时，f′(x)>0,1＜x＜2时，f′(x)<0，∴1是函数f(x)的极大值点，即x0＝1.(2)求a，b，c的值．解析：由题知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，则解得a＝2，b＝－9，c＝12.10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；解析：f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解析：由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0，得x＝－ln
2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln
2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln
2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)和(－ln
2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln
2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．
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