新人教A版高中数学必修第二册：函数的最值与导数

授课主题
函数的最值与导数
教学目标
1．会用导数求闭区间上函数的最大值，最小值，对多项式函数一般不超过三次．
教学内容
1.
函数在闭区间上的最值：若函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点处或区间端点处取得．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．题型一　求函数在闭区间上的最值例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4在[－3
,
3]上的最大值与最小值．解析：f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：x－3(－3，－2)－2(－2,2)23f′(x)＋0－0＋f(x)7↗↘－↗1∴
由上表看出，函数在区间[－3
,
3]上的最大值为，最小值为－.点评：(1)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②计算出f(a)，f(b)的值；③比较f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法：①对比极值点及端点值；②利用单调性．巩
固　求函数f(x)＝sin
2x－x，x∈的最值．解析：f′(x)＝2cos
2x－1，令f′(x)＝0，又x∈，得x＝±，由f＝－，f＝－＋，且f＝－，f＝，可知[f(x)]max＝，[f(x)]min＝－.题型二　由函数的最值确定参数例2　若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a，b的值．解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)．令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4.∵x∈[－1,2]，∴x＝0.由题意知a≠0.(1)若a>0，则f(x)，f′(x)随x的变化情况见下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)＋0－f(x)↗?最大值3?↘∴当x＝0时，f(x)取得最大值，∴b＝3.又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取得最小值，－16a＋3＝－29，∴a＝2.(2)若a<0，f′(x)，f(x)随x的变化情况见下表：x(－1,0)0(0,2)f′(x)－0＋f(x)↘?最小值－29↗∴当x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝b＝－29.又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29固　如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1,1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1,1]上的最小值是______________．解析：f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当－10，则f(x)为增函数；当00，f(x)为增函数；当x∈时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴当x＝－时，f(x)取得极大值f＝5＋；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝.又f(－1)＝，f(2)＝7，∴f(x)在x∈[－1,2]上的最大值为f(2)＝7.∴要使f(x)7.∴所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．点评：不等式恒成立常转化归结为函数的最值问题解决，但一定注意转化务必为等价转化，否则一定会出现错误．巩
固　已知函数f(x)＝(x＋1)ln
x－x＋1.若xf′(x)≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．解析：f′(x)＝＋ln
x－1＝ln
x＋，xf′(x)＝xln
x＋1，而xf′(x)≤x2＋ax＋1(x＞0)等价于ln
x－x≤a.令g(x)＝ln
x－x，则g′(x)＝－1.当0＜x＜1时，g′(x)＞0；当x>1时，g′(x)<0，x＝1是g(x)的最大值点，所以g(x)≤g(1)＝－1.综上可知，a的取值范围是[－1，＋∞)．A组1．连续不断的函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(　　)A．等于0
B．大于0C．小于0
D．以上都有可能解析：因为最大值等于最小值，所以该函数是常数函数，所以f′(x)＝0，故选A.答案：A　2．若f′(x0)＝0，则x0(　　)A．是极大值点
B．是极小值点C．是最值点
D．可能是极值点答案：D3．设函数f(x)＝x(x2－3)，则f(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　)A．－1
B．0
C．－2
D．2解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈[0,1]时f′(x)≤0，即f(x)在区间[0,1]上是减函数，所以最小值为f(1)＝－2.答案：CB组一、选择题1．函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是(　　)A．π－1
B.－1C．π
D．π＋1答案：C2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0),
则f?x?(　　)A．有最大值
B．有最小值C．是增函数
D．是减函数答案：A3．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为(　　)A．－10
B．－71
C．－15
D．－22答案：B4．函数y＝x·e－x，x∈[0,4]的最小值为(　　)A．0
B.
C.
D.解析：f′(x)＝e－x＋xe－x·(－1)＝e－x－xe－x，令f′(x)＝0得x＝1.又f(0)＝0，f(1)＝e－1＝，f(4)＝4e－4＝，所以f(x)min＝0，故选A.
答案：A二、填空题5．函数f(x)＝(－2≤x≤1)的最大值是________，最小值是________．解析：x2＋1在x∈[－2,1]上的最大值为5，最小值为1.答案：　16．函数y＝－x(x≥0)的最大值是________．解析：y′＝－1(x≥0)．令y′＝0，得x＝.当x变化时，y′，y的变化情况见下表：x0y′＋0－y0?↗?↘∴由上表看出，x＝时，函数的最大值为.答案：7．设x0是函数f(x)＝(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．解析：f′(x)＝(ex－e－x)，令f′(x)＝0，所以x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，所以切线方程为y＝1.答案：y＝18．函数f(x)＝，x∈[－2,2]的最大值是______，最小值是______．解析：f′(x)＝＝，令f′(x)＝0可得x＝1或－1.又因为f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，所以最大值为2，最小值为－2.答案：2　－2三、解答题9．函数f(x)＝x3－3ax－a在区间(0,1)内有最小值，求a的取值范围．解析：函数在开区间内有最小值，则最小值应是函数在此区间内的极小值．f′(x)＝3x2－3a.若a≤0，则f′(x)≥0，f(x)无极小值，故a>0.令f′＝0，得x＝或x＝－
(舍去)．∵函数f(x)在(0,1)内有最小值，则x＝是f(x)的极小值点．∴0<<1.∴0(2)若|a|＞1，求y＝f(x)在闭区间[0，|2a|]上的最小值．解析：因为f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6[x2－(a＋1)x＋a]＝6(x－1)(x－a)，①当a＞1时，x∈(－∞，1]∪[a，＋∞)时，y＝f(x)递增，x∈(1，a)时，y＝f(x)递减，所以当x∈[0,2|a|]，且2|a|＞2，x∈[0,1]∪[a,2|a|]时，y＝f(x)递增，x∈(1，a)时，y＝f(x)递减，比较f(0)＝0和f(a)＝a2(3－a)的大小可知，当13，函数最小值为f(a)＝a2(3－a)．②当a＜－1时，且2|a|＞2，在x∈[0,2|a|]时，x∈(0,1)时，y＝f(x)递减，x∈[1,2|a|]时，y＝f(x)递增，所以最小值是f(1)＝3a－1.综上所述：当a＞3时，函数y＝f(x)最小值是3a2－a3；当1B．大于0C．小于0
D．以上都有可能[答案]　A[解析]　∵M＝m，∴y＝f(x)是常数函数∴f′(x)＝0，故应选A.2．设f(x)＝x4＋x3＋x2在[－1,1]上的最小值为(　　)A．0　　　　
B．－2　
　　C．－1　
　　
D.[答案]　A[解析]　y′＝x3＋x2＋x＝x(x2＋x＋1)令y′＝0，解得x＝0.∴f(－1)＝，f(0)＝0，f(1)＝∴f(x)在[－1,1]上最小值为0.故应选A.3．函数y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为(　　)A.
B．2
C．－1
D．－4[答案]　C[解析]　y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)令y′＝0解得x＝或x＝－1当x＝－2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝2；当x＝时，y＝；当x＝1时，y＝2.所以函数的最小值为－1，故应选C.4．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为(　　)A．最大值为13，最小值为
B．最大值为1，最小值为4C．最大值为13，最小值为1
D．最大值为－1，最小值为－7[答案]　A[解析]　∵y＝x2－x＋1，∴y′＝2x－1，令y′＝0，∴x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1.5．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为(　　)A.
B．1
C．0
D．不存在[答案]　A[解析]　y′＝－＝·由y′＝0得x＝，在上y′>0，在上y′<0.∴x＝时y极大＝，又x∈(0,1)，∴ymax＝.6．函数f(x)＝x4－4x
(|x|<1)(　　)A．有最大值，无最小值
B．有最大值，也有最小值C．无最大值，有最小值
D．既无最大值，也无最小值[答案]　D[解析]　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)．令f′(x)＝0，得x＝1.又x∈(－1,1)∴该方程无解，故函数f(x)在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D.7．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)A．5，－15
B．5,4C．－4，－15
D．5，－16[答案]　A[解析]　y′＝6x2－6x－12＝6(x－2)(x＋1)，令y′＝0，得x＝2或x＝－1(舍)．∵f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，∴ymax＝5，ymin＝－15，故选A.8．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)A．－
B.C．－
D.或－[答案]　C[解析]　y′＝－2x－2，令y′＝0得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－10得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′<0，得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以有k－1<－2B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)[答案]　B[解析]　∵f(x)＝x3＋ax－2在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立又∵在[1，＋∞)上(－3x2)max＝－3∴a≥－3，故应选B.二、填空题11．函数y＝x＋(1－x)，0≤x≤1的最小值为______．[答案]　由y′>0得x>，由y′<0得x<.此函数在上为减函数，在上为增函数，∴最小值在x＝时取得，ymin＝.12．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值________，最小值为________．[答案]　不存在；－28[解析]　f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝；当x>时，函数为增函数，当－2≤x≤时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(－2)＝57，f＝－28，所以最小值为－28.13．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．[答案]　－1[解析]　f′(x)＝＝令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－(舍去)当x>时，f′(x)<0；当00；当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.14．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝________.[答案]　32[解析]　f′(x)＝3x2－12由f′(x)>0得x>2或x<－2，由f′(x)<0得－2.令f′(x)＝0，得x＝
.∴f(x)在[－1,1]上的极值为f＝＋＝.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)＝1，f(－1)＝－1，比较以上函数值可得f(x)max＝，f(x)min＝－1.16．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值．[解析]　f(x)的定义域为.f′(x)＝2x＋＝＝.当－0；当－1－时，f′(x)>0，所以f(x)在上的最小值为f＝ln2＋.又f－f＝ln＋－ln－＝ln＋＝<0，所以f(x)在区间上的最大值为
f＝ln＋.17．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．[解析]　(1)解：由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减?2(1－ln2＋a)单调递增?故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.18．已知函数f(x)＝，x∈[0,1]．(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)设a≥1，函数g(x)＝x3－3a2x－2a，x∈[0,1]．若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围．[解析]　(1)对函数f(x)求导，得f′(x)＝＝－令f′(x)＝0解得x＝或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，)(，1)1f′(x)－0＋f(x)－?－4?－3所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数；当x∈时，f(x)是增函数．当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3]．(2)g′(x)＝3(x2－a2)．因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)]．又g(1)＝1－2a－3a2，g(0)＝－2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1－2a－3a2，－2a]．任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)＝f(x1)成立，则[1－2a－3a2，－2a]?[－4，－3]．即解①式得a≥1或a≤－；解②式得a≤.又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.
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