新人教A版高中数学必修第二册：导数综合应用

授课主题
导数综合应用
教学目标
1．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值．
教学内容
1.
导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2.
导数与函数的单调性：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)为常函数．3.
导数与函数的极值点及极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正．4.
导数与函数的最值：一般地，在区间[a，b]上连续的函数y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．5.
导数在几何中的应用：如求切线问题，要正确求出相应函数的导数，看清题意，如果求过某点的函数的曲线的切线，首先要判断该点是否在曲线上，再确定切线条数，最后再应用导数求出切线．6.
导数在物理中的应用：
导数的物理意义：s′(t0)是路程为s(t)的变速直线运动的瞬时速度v(t0)，利用导数的物理意义可求变速直线运动在某时刻的瞬时速度．题型一　利用导数求函数的单调性例1　求满足条件的实数a，使y＝sin
x＋ax为R上的增函数．解析：y′＝cos
x＋a，依题意y′＞0在R上恒成立，所以a>[－cos
x]max＝1.当a＝1时，函数y＝sin
x＋x为R上的增函数．
综上所述，
a∈[1，＋∞)．点评：利用导数求函数的单调性，主要涉及的几类题型：求单调区间，判断函数在某区间上的单调性，根据单调性求参数．只要牢牢掌握导函数的符号与原函数单调性的对应关系，这些问题就不难解决．巩
固　已知函数f(x)＝mx3＋nx2
(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．解析：(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，所以3m＋n＝0，故n＝－3m.(2)因为n＝－3m，所以f(x)＝mx3－3mx2，所以f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)＞0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，解得00时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．题型二　函数过定点的切线及综合问题例2　求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．解析：y′＝－，设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝－，所以切线方程为y－y0＝－(x－x0)．因为点(2,0)在所求的直线上，得x·y0＝2－x0.再由P(x0，y0)在曲线y＝上，得x0·y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所以所求直线方程为x＋y－2＝0.点评：求过定点的曲线的切线方程，要区分定点是在曲线上还是在曲线外，若定点在曲线上，则为切点，可直接求导得出切线斜率，用点斜式写出切线方程；若不是切点，则设出切点坐标，通过切线与曲线的相切关系列出关于切点坐标的方程，求出切点坐标，再求出切线方程．巩
固　曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为(　　)A．x－y－2＝0
B．x＋y－2＝0C．x＋4y－5＝0
D．x－4y－5＝0解析：y′│x＝1＝│x＝1＝－│x＝1＝－1，故切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故选B.答案：B题型三　利用导数知识证明不等式例3　求证：x－＜ln(1＋x)＜x－，x∈(0，＋∞)．解析：令f(x)＝ln(1＋x)－，
则f(0)＝0.又f′(x)＝－1＋x＝＞0，x∈(0，＋∞)，∴y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴x∈(0，＋∞)，f(x)＞0恒成立．∴ln(1＋x)＞x－.令g(x)＝x－－ln(1＋x)，则g(0)＝0.又g′(x)＝1－－＝＞0，∴g(x)在(0，＋∞)内单调递增，∴x∈(0，＋∞)，x－－ln(1＋x)＞0恒成立．∴x－＜ln(1＋x)＜x－.点评：利用导数证明不等式，主要是利用单调性和最值法证明不等式．巩
固　若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是(　　)A．ex≤1＋x＋x2
B.≤1－x＋x2C．cos
x≥1－x2
D．ln(1＋x)≥x－x2解析：设f(x)＝cos
x＋x2－1，则f
′(x)＝－sin
x＋x≥0(x≥0)，所以f(x)＝cos
x＋x2－1是增函数，所以f(x)＝cos
x＋x2－1≥f(0)＝0，即cos
x≥1－x2.故选C.答案：C题型四　导数的几何意义的应用例4　已知曲线C1：y＝x2，曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.解析：设直线l与C1，C2的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为(x2)′＝2x，所以y1′|x＝x1＝2x1＝y2′|x＝x2＝－2(x2－2)，所以x1＝2－x2.又y1＝x12，y2＝－(x2－2)2＝－
x12＝－y1，所以k＝＝＝＝2x1，所以x1＝0或x1＝2，所以k＝0或k＝4，所以l的方程为：y＝0或y－4＝4(x－2)，即y＝0或4x－y－4＝0.巩
固　求曲线xy＝1和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积．解析：因为曲线xy＝1和y＝x2的交点为P(1,1)，因为函数y＝的导数y′＝－，所以切线斜率k1＝－1，切线方程是l1：y＝－x＋2.因为函数y＝x2的导数y′＝2x，所以切线斜率k2＝2,
切线方程是l2：y＝2x－1.易得l1，l2与x轴交点分别是A(2,0)，B，所求三角形面积为S＝××1＝.题型五　导数在物理中的应用例5　以初速度为v0(v0＞0)做竖直上抛运动的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－gt2，则物体在时刻t＝m处的瞬时速度是________．解析：因为s(t)＝v0t－gt2，所以s′(t)＝v0－gt，所以s′(m)＝v0－gm，即物体在时刻m处的瞬时速度v0－gm.答案：v0－gm.点评：导数在物理中的应用，主要是求物体运动的瞬时速度．另外，必须了解的内容是：对位移求导得到的是物体运动的速度，对速度求导，得到的是物体运动的加速度．巩
固　(1)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为(　　)A．t＝1
B．t＝2
C．t＝3
D．t＝4(2)一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是________．解析：(1)设t＝t0时，速度为零，则v(t0)＝s′＝－8t0＋16＝0，解得t0＝2，故选B.(2)由s＝2t－3t2得s′＝2－6t，当t＝0时得初速度v0＝s′＝2.答案：(1)B　(2)2题型六　导数在函数中的综合应用例6　已知a＞0，函数f(x)＝x3－a，x∈[0，＋∞)，设x1＞0，记曲线y＝f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l.(1)求l的方程；(2)设l与x轴的交点为(x2,0)，证明：x2≥.解析：(1)f(x)的导数f′(x)＝3x2，由此得切线l的方程y－(－a)＝(x－x1)．(2)依题意，在切线方程中令y＝0，得，
，以下只需证明g(x1)＝≥0在(0，＋∞)上恒成立．g′(x1)＝，令g′(x1)＝0，得x1＝0或，当x1∈时，g′(x1)＜0，g(x1)单调递减；当x1∈时，g′(x1)＞0，g(x1)单调递增，所以是函数g(x1)的极小值，也是最小值．所以g(x1)≥0恒成立，所以x2≥，当且仅当x1＝时取等成立．点评：导数在函数中的应用是多方面的，利用导数可以判定函数的单调性，可以求函数的极值和最值，可以证明不等式等．这就需要我们理解导数的概念和熟练掌握导数的运算．巩
固　设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1，3]上的最大值和最小值．解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0.∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.又直线x－6y－7＝0的斜率为，因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.∴a＝2，b＝－12，c＝0.(2)f(x)＝2x3－12x.f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，列表如下：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大↘极小↗所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．∵f(－1)＝10，f()＝－8，f(3)＝18，∴f(x)在[－1,3]上的最大值是f(3)＝18，最小值是f()＝－8.A组1．曲线y＝x(3ln
x＋1)在点(1,1)处的切线方程为____________．答案：4x－y－3＝02．函数y＝1＋3x－x3有(　　)A．极小值－1，极大值1B．极小值1，极大值3
C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3答案：D3．设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)解析：y′＝(x－a)(3x－a－2b)，由y′＝0，得x＝a或x＝，∴当x＝a时，y取极大值0；当x＝时，y取极小值且极小值为负．当x＜b时，y＜0；当x＞b时，y＞0，选C.答案：CB组一、选择题1．方程2x3－6x2＋7＝0
在区间(0,2)内根的个数为(　　)A．0个　　
B．1个　　
C．2个
D．3个解析：设f(x)＝2x3－6x2＋7，则f′(x)＝6x2－12x，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,2)内单调递减．又f(0)＝7，f(2)＝－1，∴方程在(0,2)内只有1个根．答案：B2．若f′(x)＝4x3＋2，则f(x)可能是(　　)A．f(x)＝4x4＋2
B．f(x)＝x4＋2C．f(x)＝x4＋2x＋1
D．f(x)＝4x4＋2x答案：C3．函数y＝的最大值为(　　)A．e－1
B．e
C．e2
D.答案：A4．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜0)在R上为减函数，则(　　)A．b2－4ac≥0
B．b＞0，c＞0C．b＝0，c＞0
D．b2－3ac≤0答案：D二、填空题5．若函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝2ax＋4，f(x)在[0,2]上有最大值f(2)，则要求f(x)在[0,2]上单调递增，则2ax＋4≥0在[0,2]上恒成立．当a≥0时，2ax＋4≥0恒成立．当a＜0时，要求4a＋4≥0恒成立，即a≥－1，所以a的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)6.
已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由题设得∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2)．答案：(－4，－2)7．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M
－m＝__________.解析：f′(x)＝3x2－12.由f′(x)＞0得x>2或x<－2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以最大值M
＝24，最小值m＝－8，所以M－m＝32.答案：328．已知函数f(x)＝(x2－2x)ex，下列说法中正确的有__________(填序号)．①f(x)在R上有两个极值点②f(x)在x＝处取得最大值③f(x)在x＝处取得最小值④f(x)在x＝处取得极小值⑤f(x)在R上有三个不同的零点解析：f′(x)＝ex(x2－2)，令f′(x)＝0得x＝±.当x＜－时，f′(x)＞0；当－＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，故函数在x＝处取得极小值，在x＝－处取得极大值，又f(－)＝(2＋2)e＞0，f()＝(2－2)e＜0，函数在R上有三个不同的零点．答案：①④⑤三、解答题9．在曲线y＝x3＋x－2上，哪一点的切线与直线
y＝－x＋1垂直？解析：设切点为(x0，y0)，对y＝x3＋x－2求导得y′＝3x2＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x＋1＝4，解得x0＝－1或x0＝1，所以切点为(－1
，－
4)或(1,0)．10．设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；解析：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，ln
a)时，f′(x)<0；当x∈(ln
a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以，f(x)在(－∞，ln
a)上单调递减，在(ln
a，＋∞)上单调递增．(2)若a＝1，k为整数，且当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0，求k的最大值．解析：由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故当x＞0时，(x－k)f′(x)＋x＋1＞0等价于k＜＋x(x＞0)．①令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)＜0，h(2)＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈(1,2)．当x∈(0，a)时，g′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(a)．又由g′(a)＝0，可得ea＝a＋2，所以g(a)＝a＋1∈(2,3)．由于①式等价于k＜g(a)，故整数k的最大值为2.1．关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值、不等式恒成立，此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令得到两个根；第二步：列表；第三步：由表所得。2．不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----例如：题型特征恒成立恒成立。A组1．设y＝|x|3，那么y在区间[－3，－1]上的最小值是(　　)
A．27　　　B．－3
C．－1
D．1
答案：D　2．函数f(x)＝x2－2x－9，则当x＝________时，
函数取得最________值，最值为________．答案：1　小　－103．已知f(x)＝x2＋3xf′(1)，则f′(2)＝(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8解析：依题意，f′(x)＝2x＋3f′(1)，则f′(1)＝－1，所以f′(2)＝4－3＝1，故选A.答案：A4．函数f(x)＝x3－ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝1时取得极值，则a＝(　　)A．2
B．3
C．4
D．5答案：B5．垂直于直线2x－6y＋1＝0且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程是________答案：y＝－3x－6B组一、选择题1．函数y＝cos
2x在点处的切线方程是(　　)A．4x＋2y＋π＝0　
B．4x－2y＋π＝0C．4x－2y－π＝0
D．4x＋2y－π＝0解析：，用点斜式求得
y＝－2·，故选D.答案：D
2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是(　　)A．3米/秒
B．2米/秒
C．1米/秒
D．4米/秒解析：v(t)＝s′＝－1＋2t，所以v(1)＝－1＋2×1＝1，故选C.答案：C3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)A．－
B.
C．－
D.解析：y′＝＝，答案：B4．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如下图所示，那么函数f(x)的图象最有可能的是(　　)解析：由f′(x)的图象知0和－2是f(x)的极值点，且当x＞0时，f(x)单调递减，故选A.答案：A5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)A．?x0∈R,
f
(x0)＝
0B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形C．若x0是y＝f(x)的极小值点，则y＝f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0解析：y＝f(x)的值域为(－∞，
＋∞),
所以选项A正确；函数f(x)的图象可以由y＝x3的图象经过平移和伸缩得到，因为f(x)＝x3是奇函数，所以f(x)的图象是中心对称图形．所以选项B正确；显然选项C不正确；选项D正确．故选C.答案：C二、填空题6．已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为19.解析：v(t)＝s′＝12t－5＝19，得t＝2.答案：27．已知曲线y＝f(x)在x＝－2处的切线的倾斜角为，则f′(－2)＝______.答案：－18．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为______________．解析：设切点P的横坐标为x0，且?x＝x0＝2x0＋2＝tan
α(α为点P处切线的倾斜角)，又因为α∈，所以0≤2x0＋2≤1，所以x0∈.答案：三、解答题9．已知x∈R，奇函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调，求实数a，b，c应满足的条件．解析：∵函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c是奇函数，可得f(0)＝0，∴c＝0，a＝0.∵f′(x)＝3x2－b，又∵函数f(x)在x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞]上单调，∴f′(x)＝3x2－b≥0或f′(x)＝3x2－b≤0(舍去)恒成立，∴b≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3.∴a＝0，b≤3，c＝0.10．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；解析：当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1，＋1)是减函数；当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)是增函数.(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．解析：由f(2)≥0得，a≥－.当a≥－，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3(x－2)＞0，所以f(x)在(2，＋∞)是增函数，于是当x∈[2，＋∞]时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
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