新人教A版高中数学必修第二册：定积分

授课主题
定积分的概念
教学目标
1．通过具体例子，了解用“以直代曲”和逼近的思想．2．从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想．3．初步了解定积分的概念．4．会用定义求一些简单的定积分．
教学内容
1.
连续函数：如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2.
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a、x＝b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形(如图所示)．将曲边梯形分成
n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积
S近似的表示为S＝S1＋S2＋…＋Sn，当n越来越大，即小曲边梯形越来越多时，这些小曲边梯形的面积之和就无限趋近于曲边梯形的面积(如下图所示)．3.
定积分的概念：一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，这里a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．4.
定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分?f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.5.
定积分的基本性质：?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)；?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx；?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx
(其中aINCLUDEPICTURE
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例1　计算由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的平面图形的面积．解析：(1)分割．在区间[0,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：，，…，.其长度为
Δx＝－＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.显然，S＝Si.(2)近似代替．记f(x)＝x2.当n很大，即Δx很小时，在区间上，
可以认为函数f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f.这样，在区间上，用小矩形的面积ΔSi′近似代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝f·Δx＝2·(i＝1,2，…，n)．(3)求和．Sn＝Si′＝
EMBED
Equation.KSEE3
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·Δx＝2·＝0·＋2·＋…＋2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝＝.(4)取极限．当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，Sn＝趋向于S，从而有S＝Sn＝
f＝
＝.点评：(1)求曲边梯形的面积时，要按照分割—近似代替—求和—取极限这四个步骤进行．(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可以用每个区间的左端点的函数值代替，实际上可以用每个区间内的任意一点函数值代替．(3)求和时要用到一些常见的求和公式，如：1＋2＋3＋…＋n＝；12＋22＋32＋…＋n2＝.巩
固　求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．解析：因为y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S的2倍，下面求阴影部分的面积S.由得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割：将区间[0,2]n等分，则Δx＝，
取小矩形的高为f.(2)近似代替，求和：
Sn＝2·＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))).(3)取极限：
S＝Sn＝
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＝.所以所求阴影部分的面积为S＝2×4－＝.所以2S＝，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.题型二　用定义求定积分例2　用定积分的定义计算：dx.解析：(1)分割．将区间[0,1]分成n等份，0＜＜＜…＜＜＝1，分割后的区间长为
Δx＝－＝.(2)近似代替．第i个小曲边梯形的面积可近似为ΔSi≈ΔSi′＝f
·Δx＝2·(i＝1,2，…，n)．(3)求和．dx≈Sn＝Si′＝·Δx＝0·＋2·＋…＋2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,n))).(4)
取极限．当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，Sn＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,n)))趋向于dx，从而有dx＝Sn＝
＝点评：用定义法求定积分的四个步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．其中分割通常都是对积分区间进行等分，近似代替时通常取区间的端点，求和时要注意一些公式的灵活应用．巩
固　利用定积分的定义计算dx.解析：令f(x)＝x＋2.
将区间[
2,3]平均分为n个小区间，每个小区间的长度为Δxi＝，[xi－1，xi]＝，i＝1,2…，n.取ξi＝xi＝2＋，则f(ξi)＝2＋＋2＝4＋.f(ξi)Δxi＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(i,n)))·＝＝n·＋＝4＋.所以dx＝
＝.题型三　用几何意义求定积分例3　用定积分的意义求下列各式的值：(1)
dx；(2)
dx；(3)
dx.解析：(1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示．dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴dx＝××(3×3＋1)－××2＝－＝16.(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)的图象如下图所示，由定积分的几何意义知，dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝×π×12－×1×1×sin
π＝－，S矩形＝|AB|·|BC|＝2××＝，∴dx＝－＋＝＋.(3)函数y＝sin
x在区间[－π，π]上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，由在x轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，这个代数和为0，即
dx＝0.点评：定积分dx的几何意义是：介于
x＝a，x＝b之间，x轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x轴上方部分的面积为正，x轴下方部分的面积为负．巩
固　根据定积分的几何意义推出下列定积分的值：(1)
dx；(2)
dx；(3)
dx.解析：(1)在平面上，y＝表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆如图所示，其面积为S＝·π·32＝.由定积分的几何意义知，dx＝.如图，dx＝A1－A2＋A3＝0.(3)根据定积分的几何意义，所求定积分表示的是y＝|x－2|和x＝3，x＝1及y＝0所围成的图形的面积，即图中阴影部分面积．因此，dx＝×1×1＋×1×1＝1.题型四　利用性质求定积分例4　(1)计算(－x3)dx的值；(2)已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分．解析：(1)如图：由定积分的几何意义得：dx＝＝，x3dx＝0.由定积分性质得
(－x3)dx＝dx－x3dx＝.(2)如图：由定积分的几何意义得：xdx＝×2×2＝2.(4－x)dx＝×(1＋2)×1＝，dx＝×2×1＝1.∴f(x)dx＝xdx＋(4－x)dx＋dx＝2＋＋1＝.点评：定积分的性质主要涉及定积分的线性运算，这是解决定积分计算问题的重要工具．注意这些性质的正用、逆用以及变形使用．巩
固　已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．解析：由定积分的几何意义知x3dx＝0，2xdx＝＝π2－4，cos
xdx＝0.由定积分的性质得f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cos
xdx＝π2－4.A组1．函数f(x)＝x2在区间上(　　)A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小解析：函数f(x)＝x2在区间上，随着n的增大，f(x)的值的变化逐渐缩小，当n很大时，f(x)的值变化很小．答案：D　2．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替(　　)A．f
B．f
C．f
D．f(0)解析：当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．答案：C3．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(　　)A.　　
B.
C．1
D.解析：曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝，即为这段时间内物体所走的路程．答案：B4．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]五等分(如图所示)，以小区间中点的纵坐标为高，则所有小矩形的面积之和为____________．解析：由题意得S＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.答案：0.335．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(　　)
A．在t1时刻，甲车在乙车前面B．t1时刻后，甲车在乙车后面C．在t0时刻，两车的位置相同D．t0时刻后，乙车在甲车前面解析：由图象可知，曲线v甲比v乙在0～t0、0～t1与x轴所围成图形面积大，则在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面，故选A.答案：AB组
曲边梯形的面积一、选择题1．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是(　　)①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．A．1个　
　　
B．2个　
　　
C．3个　
　　
D．4个答案：A2．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值(　　)A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]D．以上答案均不正确解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C正确，故选C.答案：C3．由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的平面图形(如右图所示)，若把区间[0,2]等分成10个小区间，把曲边梯形分成10个小曲边梯形，则第6个小梯形的面积可近似地等于(　　)A.　　
B.
C.
D.解析：第6个区间为，区间长为，第6个小曲边梯形可近似地等于边长分别为和1的矩形的面积.答案：B4．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是(　　)A.
B.
C.
D.解析：s＝×＝＝.故选D.答案：D5．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是　(　　)A．
B．
C．
D．
解析：将区间[0,2]进行n等分每个区间长度为，故应选B.答案：B二、填空题6．在区间[1,10]上等间隔地插入8个点，则将它等分成______个小区间，每个小区间的长度为______．答案：9　17．
＝________.解析：
＝
＝3.答案：3
8．对于由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形，当把区间[0,1]等分为10个小区间时，曲边梯形的面积近似值为________．答案：三、解答题9．求出由直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝围成的平面图形的面积．解析：圆(x－1)2＋y2＝4在第一象限的面积如图：∠ACB＝，OB＝，面积S＝S△BOC＋S扇形ACB＝＋×2×2×＝＋.10．用定积分定义求由x＝0，x＝1，y＝x＋1，y＝0围成的图形的面积．解析：因为f(x)＝1＋x在区间[0,1]上连续，将区间[0,1]分成n等份，则每个区间的长度为Δxi＝，在[xi－1，xi]＝上取ξi＝xi－1＝(i＝1,2,3，…，n)，于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋，从而(ξi)Δxi＝·＝＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋·＝1＋，所以S＝
＝1＋＝.1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n等分区间[a，b]；(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；(3)求和：(ξi)·；(4)取极限：S＝(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．A组1．
下列命题不正确的是
(　　)A．若f(x)是连续的奇函数，则?f(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0D．若f(x)
在[a，b]上连续且?f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案：D2．
定积分?(－3)dx等于
(　　)A．－6
B．6C．－3
D．3答案：A　3．
已知?xdx＝2，则?xdx等于
(　　)A．0
B．2C．－1
D．－2答案：D　4．
由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是(　　)A．?(x2－4)dxB．|?(x2－4)dx|C．?|x2－4|dxD．?(x2－4)dx＋?(x2－4)dx答案：C　5．
设a＝?xdx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，则a，b，c的大小关系是
(　　)A．c>a>b
B．a>b>cC．a＝b>c
D．a>c>b答案：B　B组一、选择题1．定积分f(x)dx的大小(　　)A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]及ξi的取法无关C．与f(x)及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关答案：A2．已知f(x)dx＝3，则[f(x)＋6]dx＝(　　)A．9
B．12
C．15
D．18答案：C3．已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝(　　)A．0
B．16
C．12
D．8答案：B4．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sin3x围成的平面图形的面积可以表示为(　　)A.
(x3＋sin3x)dxB.
|(x3＋sin3x)dx|C.
(x3＋sin3x)dxD．2(x3＋sin3x)dx答案：D5.
由y＝ex，x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积为S，若选择x为积分变量，则S＝(　　)A.
exdx
B.
exdxC.
(ex－1)dx
D.
(ex－1)dx解析：根据定积分的几何意义，结合图形，在公共的积分区间[0,2]上，上界函数为y＝ex，下界函数为y＝1，所以S＝(ex－1)dx.答案：D二、填空题6．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为__________________________．解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为
xdx－dx＝dx答案：dx7.
dx＝________.解析：积分dx表示如下图所示的圆的面积的.所以S＝π(2)2＝π.答案：π8．给出以下结论：①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；②[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(a＜c＜b)；④f(x)·g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx.其中正确的有________(填序号)．答案：①②③三、解答题9．已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：(1)
3x3dx；解析：
3x3dx＝3x3dx＝3＝3×＝12.(2)
6x2dx；解析：6x2dx＝6x2dx＝6
＝6×＝126.(3)
(3x2－2x3)dx.解析：
(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－10．计算定积分：[－x]dx.解析：[－x]dx＝dx－xdx，令S1＝dx，S2＝xdx.S1、S2的几何意义如图(1)、(2)所示．对S1＝dx，令y＝≥0，则(x－1)2＋y2＝1(0≤x≤1，y≥0)由定积分几何意义知S1＝dx＝π×12＝.对于S2＝xdx，由其几何意义知S2＝×1×1＝，故[－x]dx＝S1－S2＝－＝.
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