新人教A版高中数学必修第二册：微积分基本定理

授课主题
微积分基本定理
教学目标
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
教学内容
1.
微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)
.定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F(x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F(x)|来表示F(b)－F(a)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作?f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a).2.
定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?f(x)dx＝S上.(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?f(x)dx＝－S下.(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则?f(x)dx＝0.
题型一　利用微积分基本定理求定积分例1　(1)求定积分2xdx的值；(2)求定积分(2x－x2)dx的值；(3)求定积分(sin
x＋2ex)dx的值．解析：(1)
2xdx＝2xdx＝2×eq
\o\al(2,0)＝22－02＝4.(2)
(2x－x2)dx＝2xdx＋(－x2)dx＝x2|－x3|＝－.(3)
??sin
x＋2ex?dx＝
sin
xdx＋2
exdx＝－cos
x|＋2ex|＝－cos
0＋cos(－π)＋2(e0－e－π)＝－.点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x)的导函数F′(x)＝f(x)为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果．巩
固　求下列定积分的值．(1)
(2x＋3)dx；
(2)
(1－t3)dt；(3)
eq
\r(2)sindx；
(4)
eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(x))))2))dx.分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数．解析：(1)∵(x2＋3x)′＝2x＋3，∴(2x＋3)dx＝(x2＋3x)|＝1＋3＝4.(2)∵′＝1－t3，∴(1－t3)dt＝eq
\o\al(1,－2)＝1－－＝7－＝.(3)因为sin＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin
x·\f(\r(2),2)＋cos
x·\f(\r(2),2)))＝sin
x＋cos
x，又(－cos
x＋sin
x)′＝sin
x＋cos
x，所以
eq
\r(2)sindx＝(
sin
x＋cos
x)
dx＝(－cos
x＋sin
x)|
＝(－cos
π＋sin
π)－(－cos
0＋sin
0)＝2.(4)
dx
＝(6x2+6+12x)
dx
＝(2x3+6x+6x2)|＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112题型二　求分段函数的定积分例2　若函数f(x)＝求f(x)dx的值．解析：由积分的性质，知：f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝＋eq
\r(2)－＋－＝－＋eq
\r(2)＋.点评：分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成n段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解．巩
固　
(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.解析：设
y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝所以(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝dx＋dx＋dx
＝＝(－2)×2－(－2)×(－3)2＋6×－6×＋2×32－2×2＝45.题型三　利用定积分求参数例3　已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求
a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又
f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx＝10＝a＋b＋c，所以a＋b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6,
b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩
固　
f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则(ax＋b)dx＝axdx＋bdx＝ax2＋bx＝a＋b，x(ax＋b)dx＝(ax2＋bx)dx＝ax3＋bx2＝a＋b，由解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是(　　)A.
xdx
　B.
(x＋1)dx
C.
1dx
D.
dx解析：xdx＝x2＝；(x＋1)dx＝＝；1dx＝x|＝1；dx＝x＝.答案：C2．
dx等于(　　)A．－2ln
2
B．2ln
2
C．－ln
2
D．ln
2解析：dx＝ln
x|＝ln
4－ln
2＝ln
2.答案：D3．函数y＝cos
xdx的导数是(　　)A．cos
x
B．－sin
xC．cos
x－1
D．sin
x答案：A　B组一、选择题1.
(ex＋2x)dx＝(　　)A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1答案：C2．已知f(x)＝则f(x)dx的值为(　　)A.
B.
C.
D．－答案：B3．由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是(　　)A.
(x2－1)dx
B.
|(x2－1)dx|C.
|x2－1|dx
D.
(x2－1)dx＋(x2－1)dx答案：C4．下列定积分计算正确的是(　　)A.
sin
xdx＝4
B.
2xdx＝1C.
dx＝ln
D.
3x2dx＝3解析：sin
xdx＝－cosx|＝0；2xdx＝＝log2e；dx＝＝1－ln
2＝ln；3x2dx＝x3|=2.故选C.答案：C5.若dx＝3＋ln
2，则正数a的值为(　　)
A．1　　
B．2　　
C．3　
D．5解析：dx＝＝a2＋ln
a－1＝3＋ln
2，所以a2－1＝3，所以a＝－2(舍去)，a＝2.故选B.答案：B二、填空题6．定积分dx＝__________.答案：(2－1)7．若x2dx＝9，则常数T的值为________．解析：因为′＝x2，所以x2dx＝|＝9，所以T＝3.答案：38．计算定积分(x2＋sin
x)dx＝________.答案：三、解答题9．计算下列定积分：(1)
|2－x|dx；解析：
|2－x|dx＝(2－x)dx＋(x－2)dx＝＋＝2＋＝.(2)－cos2xdx
.解析：10．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)，且f(x)dx＝1，求证：[f(x)]2dx>1.证明：由于f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b，所以a＋b＝1，所以[f(x)]2dx＝(ax＋b)2dx＝(a2x2＋2abx＋b2)dx＝＝a2＋ab＋b2＝2＋a2＝1＋a2>1(a≠0)，故原不等式成立．1．
设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则?f(－x)dx的值等于
(　　)A.
B.C.
D.答案　A解析　由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是?f(－x)dx＝?(x2－x)dx＝|＝.2．
(sin
x－acos
x)dx＝2，则实数a等于
(　　)A．－1
B．1
C．－
D.答案　A解析　＝－a＋1＝2，a＝－1.3．
由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos
x所围成的封闭图形的面积为
(　　)A.
B．1C.
D.答案　D解析　4．
设f(x)＝(其中e为自然对数的底数)，则?f(x)dx的值为(　　)A.
B.C.
D.答案　A解析　根据定积分的运算法则，由题意，可知?f(x)dx＝?x2dx＋?dx＝x3|＋ln
x|＝＋1＝.5．
?(x2＋1)dx＝________.答案　12解析　?(x2＋1)dx＝|＝×33＋3＝12.6.
如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案　解析　由，得x1＝0，x2＝2.∴S＝?(－x2＋2x＋1－1)dx＝?(－x2＋2x)dx＝|＝－＋4＝.
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