新人教A版高中数学必修第二册：等差数列通项公式及其性质

授课主题
等差数列的通项公式及性质
教学目标
1.通过实例，理解等差数列的概念.2.探索并掌握等差数列的通项公式.3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题.
教学内容
1．等差数列的定义等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数.定义的数学式表示为an－an－1＝d
(与n无关的常数)
，n≥2，n∈N
．2．等差数列的通项公式首项为a1公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．3．等差中项等差中项的定义：如果a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项4．等差数列的增减性等差数列当公差d>0时，为递增数列；当公差d<0时，为递减数列．5．等差数列的图像等差数列的图象是一条射线上的一群孤立点．6．等差数列的性质1)设{an}为等差数列，若已知公差为d，则an－am＝(n－m)d.由此知，an＝am＋(n－m)d.2)设{an}为等差数列，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和，即：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….3)设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq．设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap．4)设{an}为等差数列，则对于任意常数b，有{ban}为等差数列．等差数列{an}的等间隔项组成的数列为等差数列，如已知{an}为等差数列，且其公差为d，则{3an}为等差数列，其公差为3d；{a2n－1}是等差数列，其公差为2d．5)
若{an}为等差数列，{bn}为等差数列，且cn＝an＋bn，dn＝an－bn，则{cn}与{dn}也为等差数列．题型一　等差数列的通项公式例1　等差数列{an}中，已知a9＝3，a18＝12，求a36、an.解析：由a9＝3得：a1＋8d＝3，由a18＝12得：a1＋17d＝12.解方程组得：d＝1，a1＝－5.∴a36＝－5＋35＝30；an＝－5＋(n－1)＝n－6，n∈N
.巩
固　已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列中的项．如果是，是第几项？解析：解法一：设等差数列的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.∵a15＝33，a61＝217，∴解得∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27.令an＝153，则4n－27＝153，得n＝45∈N
，∴153是所给数列的第45项．解法二：∵{an}不是常数列，∴{an}的通项公式是关于n的一次函数．假设153是该数列的第n项，则(15,33)、(61,217)、(n,153)三点共线．∴＝，解得n＝45∈N
，∴153是所给数列的第45项．题型二　等差中项的应用例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．解析：解法一：∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7
的等差中项，∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.解法二：设a1＝－1，a5＝7，∴7＝－1＋(5－1)d?d＝2，an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3，∴所求的数列为－1,1,3,5,7.点评：若a、A、b成等差数列，即A＝，则A就是a与b的等差中项，若A＝(a＋b)时，则a、A、b成等差数列，这是判定三个数成等差数列的条件．巩
固　某办公室共有6个人，其年龄成等差数列，已知年龄最大的为52岁，而6个人的年龄和为237岁，求年龄最小的为多少岁？解析：设等差数列的a1＝52，公差为d，则d＜0，∴a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝237，∴52×6＋15d＝237，∴d＝－5，∴a1＋5d＝52－5×5＝27，∴年龄最小的应为27岁．题型三　等差数列的判定例3　已知数列{an}，满足a1＝2，an＋1＝.(1)数列是否为等差数列？说明理由．(2)求an.分析：先将递推公式变形，推导－为常数．解析：(1)数列是等差数列，理由如下：∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝.
即是首项为＝，公差为d＝的等差数列．(2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝.点评：根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差数列，要看任意相邻两项的差是否为同一常数，要判断一个数列为等差数列，需证明an＋1－an＝d(d为常数)对n∈N
恒成立，若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可．巩
固　在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝________解析：由an＋1＝an＋2(n≥1)可得数列{an}是公差为2的等差数列，又a1＝1，所以an＝2n－1.答案：2n－1题型四　利用等差数列的通项公式或性质解题例4　等差数列{an}中，如果a5＝11，a8＝5，求数列的通项公式．分析：求等差数列的通项公式只要求a1、d两个量即可．解析：解法一：由题意
??an＝19＋(n－1)×(－2)，故数列的通项公式为an＝21－2n.解法二：a8－a5＝5－11＝3d?d＝－2，a5＝a1＋4d?a1＝19，故an＝21－2n.点评：等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an.如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可以称为“知三求一”．有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也可以求出这个等差数列其它未知数的值．巩
固　数列{an}各项的倒数组成等差数列，如果a3＝
－1，a5＝＋1，求a11.分析：题目中给出了两个数列，首先要清楚两个数列的关系，数列{an}并不是等差数列，它的倒数列才是等差数列．应首先根据等差数列的知识考虑倒数列，后根据倒数关系求a11.解析：设{an}各项的倒数组成等差数列为{bn}，则b3＝＋1，b5＝－1.??b11＝b1＋10d＝－7?a11＝＝.题型五　利用等差数列的性质解题例5　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式.解析：解法一：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得：d＝±2.若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.解法二：∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5，∴a2＋a6＝2a4＝10.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9，从而a2，a6可看成方程x2－10x＋9＝0的两根，解得：或∴an＝2n－3或an＝13－2n.点评：等差数列的运算常用两条思路：①根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1、d，然后求其他；②利用性质巧解，其中m＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N
)?am＋an＝ak＋al＝2as.巩
固　在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，则a8＋a9＋a10的值为(　　)A．72　　　B．60　　　C．48　　　D．36分析：在题目中的项很多，利用通项公式转化为两个基本量a1和d，但并不能直接求出a1和d，因此利用a1和d来寻找所求和已知的等量关系．解析：解法一：设此数列的首项为a1，公差为d，则a5＋a13＝a1＋4d＋a1＋12d＝2a1＋16d＝40，即a1＋8d＝20.a8＋a9＋a10＝a1＋7d＋a1＋8d＋a1＋9d＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝60.解法二：可以应用等差数列的性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq，所以有a8＋a10＝a5＋a13＝2a9＝40，故a8＋a9＋a10＝60.故选B.答案：B题型六　等差数列的运算例6　已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2；(2)求{bn}的通项公式；(3){bn}中的第110项是{an}的第几项？分析：数列{bn}是数列{an}的一个子数列，其项数构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{an}是等差数列，则{bn}也是等差数列．解析：(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝3＋(n－1)(－5)＝8－5n.数列{an}中项数被4除余3的项是{an}的第3项，第7项，第11项，…，这些项组成一个新的等差数列(第二问中加以证明)，其首项b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n，n∈N
.∵bn－bn－1＝－20(n≥2，n∈N
)，∴{bn}是等差数列，其通项公式为bn＝13－20n.(3)b110＝13－20×110＝－2
187，设它是{an}中的第m项，则－2
187＝8－5m，则m＝439.点评：数列的项数相当于函数的自变量，通项公式相当于对应法则，对数列的研究应很好地把握项数，研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系．巩
固　三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解析：解法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.解法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24.得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)A．5　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．10解析：由角标性质得a1＋a9＝2a5，所以a5＝5.答案：A2．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有(　　)①{an＋an＋1}；②{a}；③{an＋1－an}；④{2an}；⑤{2an＋n}A．1个
B．2个
C．3个
D．4个答案：D3．下列命题中，为真命题的是(　　)A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列C．若存在自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列D．若{an}是等差数列，则对任意n∈N
都有2an＋1＝an＋an＋2答案：D4．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有(　　)A．a1＋a8＜a4＋a5　　
B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5
D．a1a8＝a4a5解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5，故选B.答案：B5．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为(　　)A．30　　　　B．27　　　　C．24　　　　D．21解析：设b1＝39，b2＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列．∴39＋b3＝2b2＝66，b3＝66－39＝27.故选B.答案：B6．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)A．5　　
B．4
C．3　　
D．2解析：设a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，两式相减得5d＝15，∴d＝3，故选C.答案：C7．在等差数列－5，－3，－2，－，…的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项为(　　)A．an＝n－
B．an＝－5－(n－1)C．an＝－5－(n－1)
D．an＝n2－3n解析：新数列的公差d＝＝，∴an＝－5＋(n－1)·＝n－.故选A.答案：A8．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为(　　)A．0
B．37
C．100
D．－37解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N
)，从而c37＝100.答案：C9．下面是关于公差d>0的等差数列(an)的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；　p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；　p4：数列{an＋3nd}是递增数列；其中的真命题为(　　)A．p1，p2
B．p3，p4C．p2，p3
D．p1，p4答案：D10．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.解析：∵3a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)，又∵a3＋a8＝a5＋a6＝10，∴3a5＋a7＝20.答案：2011．在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为________．解析：设三内角A、B、C成等差数列，则A＋C＝2B，又A＋C＋B＝180°，∴3B＝180°，B＝60°，A＋C＝2B＝120°.答案：120°12．已知a，b，c依次成等差数列，求证：a2－bc，b2－ac，c2－ab依次成等差数列．分析：要证三个数a2－bc，b2－ac，c2－ab成等差数列，只需证明等式：(b2－ac)－(a2－bc)＝(c2－ab)－(b2－ac)，即证2(b2－ac)＝(a2－bc)＋(c2－ab)成立．证明：∵a，b，c成等差数列，∴b－a＝c－b＝d，c－a＝2d(设其公差为d)，∴(a2－bc)＋(c2－ab)＝(a2－ab)＋(c2－bc)＝a(a－b)＋c(c－b)＝－ad＋cd＝d(c－a)＝d·2d＝2d2，又b2－ac＝b2－(b－d)(b＋d)＝b2－(b2－d2)＝d2，∴(a2－bc)＋(c2－ab)＝2(b2－ac)，∴a2－bc，b2－ac，c2－ab成等差数列．点评：本题实质上是一个条件等式的证明，关键是条件如何使用．这种证法引入了一个新字母，使条件与结论中的字母减少，关系明朗．此题证法很多，不再一一列举．13．设{an}是等差数列，bn＝，且b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝.求等差数列的通项an.分析：求{an}通项公式，关键是要确定数列的首项与公差．可设首项为a1，公差为d，运用方程思想，列两个方程，解方程组即可．解析：设首项为a1，公差为d，由已知得由第二个方程，化简为＝，解得a1＋d＝1，所以a1＝1－d，代入第一个方程得＋＋＝，即＋＝，化简得－＋＝0，解得＝4或＝，所以d＝－2或d＝2，故an＝5－2n或an＝2n－3.1．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝(　　)A．－2　　B．－
C.
D．2解析：由题意知a1＋6d－2(a1＋3d)＝－1，①a1＋2d＝0，②由①②可得d＝－，a1＝1.答案：B2．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是(　　)A．an＝a＋(n－1)d
B．an＝a＋(n－3)dC．an＝a＋2(n－2)d
D．an＝a＋2nd解析：数列的首项为a－2d，公差为2d，∴an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.答案：C3．有穷等差数列5,8,11，…，3n＋11(n∈N
)的项数是(　　)A．n
B．3n＋11C．n＋4
D．n＋3解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5,8,11三项，故这个数列的项数为n＋3.故选D.答案：D4．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是(　　)A．bn＝a
B．bn＝an＋n2C．bn＝an＋an＋1
D．bn＝nan解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满足：bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.故选C.答案：C5．已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)A.　　　　B.　　
　C.　　　　D.解析：a，b的等差中项为×＝×(－＋＋)＝.答案：A6．下面数列中，是等差数列的有(　　)①4,5,6,7,8…　②3,0，－3,0，－6，…　③0,0,0,0…　④，，，，…A．1个
B．2个C．3个
D．4个答案：C7．已知一个等差数列的第8,9,10项分别为b－1，b＋1，2b＋3，则通项公式an等于(　　)A．2n－5
B．2n－9C．2n－13
D．2n－17解析：d＝a9－a8＝(b＋1)－(b－1)＝2，∴a10－a9＝(2b＋3)－(b＋1)＝b＋2＝2，∴b＝0，∴a8＝－1，an＝a8＋(n－8)d＝－1＋2(n－8)＝2n－17.答案：D8．若x≠y，且两个数列：x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各成等差数列，那么＝(　　)A.
B.
C.
D．不能确定解析：a2－a1＝(y－x)，b2－b1＝(y－x)，∴＝.故选B.答案：B9．已知函数f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝________.解析：∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝2a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝4，∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2.又∵a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝(a2－d)＋(a4－d)＋…＋(a10－d)＝2－5d＝－8，∴a1＋a2＋…＋a10＝2＋(－8)＝－6.∴log2[f(a1)·f(a2)·…·f(a10)]＝log2(2a1＋a2＋…＋a10)＝a1＋a2＋…＋a10＝－6.答案：－610．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.解析：利用等差数列的通项公式求解．设等差数列公差为d，则由a3＝a－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，∴d2＝4，∴d＝±2.由于该数列为递增数列，∴d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－111．有四个数成等差数列，它们的平方和等于276，第一个数与第四个数之积比第二个数与第三个数之积少32，求这四个数．解析：设四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，∴∴∴a＝±7，d＝±2.∴所求的四个数依次为：1,5,9,13或13,9,5,1或－13，－9，－5，－1或－1，－5，－9，－13.12．若等差数列的第1,2,3项依次为，，，求这个等差数列的第101项．解析：由已知得方程：2×＝＋，解得x＝2.∵a1＝，d＝，∴a101＝＋100×＝8.
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