新人教A版高中数学必修第二册：等差数列前n项和

授课主题
等差数列前n项和
教学目标
1.理解数列前n项和的公式，探索并掌握等差数列的前n项和的公式.2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决与等差数列的前n项和相关的问题.
教学内容
1．数列的前n项和1)对于任意数列{an}，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，叫做数列{an}的前n项的和．2)Sn－Sn－1＝an(n≥2)，a1＝S1(n＝1).2．等差数列的前n项和1)等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝或Sn＝na1＋．2)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为k2d的等差数列．如：已知等差数列{an}，an＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：6,15,24.
它们成等差数列．3．已知Sn求an由Sn的定义可知，当n＝1时，S1＝a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即an＝.如：已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an＝＝2n－1，n∈N
.4．等差数列的前n项和与二次函数等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋可化成关于n的二次式子为Sn＝n2＋n，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．5．等差数列前n项和的部分性质1)
若Sn为等差数列{an}的前n项和，则也是等差数列．
如：已知等差数列{an}的通项公式为：an＝2n－1，则＝n，是等差数列．2)
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0.则Sn存在最大值；a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
如：已知等差数列{an}的通项公式为：an＝－2n＋8，则等差数列的前n项和Sn＝n(7－n)，Sn的最大值为12．3)
项数为2n的等差数列{an}，公差为d，有S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd.如：已知等差数列{an}共有100项，其通项公式为：an＝－3n＋2，等差数列的前n项和为Sn，则S偶－S奇＝－150.4)
项数为2n－1的等差数列{an}，有S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)，S奇－S偶＝an.如：已知等差数列{an}共有201项，其通项公式为：an＝3n－2，等差数列的前n项和为Sn，则S奇－S偶＝a101＝301.6．裂项相消法求和裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式：(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.题型一　等差数列的前n项和公式的应用例1　已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1
220，由此可以求其前n项和的公式吗？解析：由题设：S10＝310，S20＝1
220，得：?∴Sn＝4n＋×6＝3n2＋n.点评：对于等差数列{an}的5个“基本量”a1，d，n，an，Sn，若已知其中的三个，由等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d及前n项和公式Sn＝＝na1＋d便可求出另外两个，即“知三求二”．“知三求二”实质上是方程思想的具体体现．巩
固　记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为(　　)A．7　　　　B．6　　　　C．3　　　　D．2解析：由S2＝4，S4＝20，得2a1＋d＝4,4a1＋6d＝20，解得d＝3.答案：C题型二　等差数列的前n项和的问题例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证：数列{an}成等差数列，并求其首项、公差、通项公式．解析：a1＝S1＝3－2＝1，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，n＝1时，亦满足．∴an＝6n－5(n∈N
)．∴an＋1－an＝6(n∈N
)．∴数列{an}成等差数列，且首项为1，公差为6.点评：利用数列前n项和Sn，求通项公式第一步：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1；第二步：检验n＝1时，a1＝S1是否适合上式，若适合，则数列{an}的通项公式是an＝Sn－Sn－1；若不合适，则数列{an}的通项公式是an＝巩
固　已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.解析：a1＝S1＝－×12＋×1＝101，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－3n＋104.∵n＝1也适合上式，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N
)．由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7.即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0.(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n.(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－＝n2－n＋3502.故Tn＝题型三　等差数列前n项和的最值问题例3　在等差数列{an}中a1＝25，S17＝S9，则数列的前多少项之和最大？并求此最大值．解析：解法一：由得17×25＋d＝9×25＋d，解得d＝－2.从而Sn＝25n＋×(－2)＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大，最大值是169.解法二：∵Sn＝n2＋n(d<0)，∴Sn的图象是开口向下的抛物线上一群孤立的点，∵S17＝S9，∴最高点的横坐标为，即S13最大，由法一可得d＝－2，可求得最大值为169.解法三：∵S17＝S9，∴a10＋a11＋…＋a17＝0.∴a10＋a17＝a11＋a16＝…a13＋a14＝0.∵a1＝25＞0，∴a13＞0，a14＜0.∴S13最大，由解法一可得d＝－2，可求得最大值为169.解法四：同解法一，可得d＝－2.由得12≤n≤13.∴当n＝13时，Sn有最大值，为169.点评：求数列的最值问题，可以参考函数的最值问题的处理方法，当然也要注意由数列本身的特点所决定的一些方法，如用或来确定最值．巩
固　数列{an}是等差数列，a1＝30，d＝－0.6.(1)从第几项开始有an＜0?(2)求此数列的前n项和的最大值．分析：(1)由通项公式表示出an；求n的取值范围．(2)利用求和公式表示出关于n的关系式．
解析：(1)∵a1＝30，d＝－0.6，∴an＝30－0.6(n－1)＝－0.6n＋30.6，令－0.6n＋30.6≤0，则n≥＝51.由于n∈N
，故当n＞51时，an＜0，即从第52项起以后各项均小于0.(2)解法一：Sn＝30n＋×(－0.6)＝－0.3n2＋30.3n＝－0.32＋.当n取接近于的自然数，即n＝51或50时，Sn达到最大值S50＝765.解法二：∵d＝－0.6＜0，a1＝30＞0，由(1)知a51＝0，a52＜0，∴S1＜S2＜…＜S50＝S51，且S51＞S52＞S53＞….∴(Sn)max＝S51＝30×51＋×(－0.6)＝765.题型四　裂项法求和例4　求和：(1)1＋＋＋…＋；(2)(1002－992)＋(982－972)＋…＋(42－32)＋(22－12)．解析：(1)an＝＝＝2，Sn＝2＝2＝.(2)(1002－992)＋(982－972)＋…＋(42－32)＋(22－12)＝199＋195＋…＋7＋3＝×50＝101×50＝5
050.点评：使用裂项相消法时必须搞清楚消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．巩
固　Sn是等差数列{an}的前n项和，bn＝，且a3b3＝，S3＋a15＝21.求数列{bn}的前n项和Tn.分析：因为Tn←bn←Sn←an←a1，d，所以应确定{an}的首项及公差．解析：设{an}的首项为a，公差为d，则a3＝a＋2d，a15＝a＋14d，S3＝3a＋3d，b3＝，由已知得解得所以an＝n，Sn＝，bn＝＝2，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋2＋2＋…＋2＋2＝2＝.点评：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，同时明确解题方向．求数列{bn}的前n项和Tn使用的是裂项法．题型五　求数列通项公式例5　已知a1＝3且an＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N
)，求an及Sn.解析：∵an＝Sn－Sn－1，an＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N
)，∴Sn－2Sn－1＝2n，∴－＝1(n≥2且n∈N
)．设bn＝，则{bn}是公差为1的等差数列，∴bn＝b1＋n－1.又∵b1＝＝＝，∴＝n＋，∴Sn＝(2n＋1)2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋3)2n－2，∴an＝Sn＝(2n＋1)2n－1.点评：构造新数列时注意新数列首项的求法，注意新数列与原数列角标是否对应相等。巩
固　设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝________.解析：an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋3…＋n＝＋1.答案：＋11．设等差数列{an}的公差为d，如果它的前n项和Sn＝n2＋n，那么(　　)A．an＝2n，d＝－2　　　
B．an＝2n，d＝2C．an＝－2n，d＝－2
D．an＝－2n，d＝2答案：B2．已知数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为(　　)A．－9　
　　B．－11　　
　C．－13　　
D．－15解析：(a3＋a8)2＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3.∴S10＝＝－15.答案：D3．1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7)等于(　　)A.
B.C.
D.解析：本题的项数为n＋3项，这一点很关键．答案：C
4．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为(　　)A．8　　　　B．16　　　　C．4　　　　D．0解析：S4＝32?2(a2＋a3)＝32，∴a2＋a3＝16，又＝，a3＝3a2，∴a2＝4，a3＝12，∴d＝a3－a2＝8.故选A.答案：A5．设a1，a2，…和b1，b2，…都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}前100项之和为(　　)A．0
B．100
C．10
000
D．50
500解析：S100＝×100＝10
000.故选C.答案：C6．已知等差数列{an}中，前15项之和为S15＝90，则a8等于(　　)A．6
B.
C．12
D.解析：∵S15＝×15＝×15＝15a8＝90，∴a8＝6，故选A.答案：A7．已知等差数列共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1的值为(　　)A．30
B．29
C．28
D．27解析：奇数项共有n＋1项，其和为×(n＋1)＝·(n＋1)＝290，∴(n＋1)an＋1＝290，偶数项共有n项，其和为×n＝·n＝nan＋1＝261，∴an＋1＝290－261＝29.故选B.答案：B8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为(　　)A.
B.
C.
D.解析：S2n－1＝(2n－1)·＝(2n－1)·＝(2n－1)an.同理T2n－1＝(2n－1)bn.∴＝＝.令n＝11得＝＝＝.故选C.答案：C9．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn＝________.答案：n2－n10．已知lg
x＋lg
x3＋lg
x5＋…＋lg
x21＝11，则x＝___________.解析：由条件得lg(x·x3·x5·…·x21)＝11?lg
x1＋3＋5＋…＋21＝11?121lg
x＝11，lg
x＝，x＝10.答案：11．已知数列{an}的前n项和Sn＝4n2＋2(n∈N
)，则an＝______________________.解析：n＝1时，a1＝S1＝6；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4.∴an＝答案：12．已知一个等差数列{an}的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为77，求项数n的值．解析：由已知得a1＋a2＋a3＋a4＝21.
an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，∴a1＋an＝＝22，∴Sn＝＝11n＝77，∴n＝7.13．已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13.(1)求公差d的值；(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．解析：(1)由11a5＝5a8－13，得11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13.∵a1＝－3，∴d＝.(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×，令an≤0，得n≤.∴a1＜a2＜…＜a6＜0＜a7＜….∴Sn的最小值为S6＝6a1＋＝6×(－3)＋15×＝－.1．等差数列的前n项和的性质：(1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，组成公差为k2d的等差数列．(2)数列{an}是等差数列?Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．(3)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)且S偶－S奇＝nd.＝.若等差数列的项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an且S奇－S偶＝an，＝.(4)若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于为等差数列．2．求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：(1)由二次函数的最值特征得解．Sn＝na1＋d＝n2＋n＝－＝－(－)2
.由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N
知，当n取最接近－的正整数时，Sn取到最大值(或最小值)．值得注意的是最接近－的正整数有时是1个，有时是2个．(2)根据项的正负来定．若a1＞0，d＜0，则数列的所有正数项之和最大；若a1＜0，d＞0，则数列的所有负数项之和最小．1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝(　　)A．138
B．135
C．95
D．23解析：∵(a3＋a5)－(a2＋a4)＝2d＝6，∴d＝3，a1＝－4，∴S10＝10a1＋＝95.答案：C2．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于(　　)A．5或7
B．3或5C．7或－1
D．3或－1解析：Sn＝＝35.∴na1＋11n＝70.①an＝a1＋(n－1)×2＝11.∴a1＋2n＝13.②由①②得a1＝3或a1＝－1.答案：D3．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为(　　)A．8
B．7
C．6
D．5解析：S奇＝6a1＋×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.答案：D4．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为(　　)A．30　　　B．31　　　C．32　　　D．33解析：中间项为an＋1.S奇＝·(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.S偶＝·n＝n·an＋1＝480.∴an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.故选C.答案：C5．等差数列{an}的公差d＝且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为(　　)A．52.5
B．72.5
C．60
D．85解析：设a1＋a3＋a5＋…＋a99＝x，a2＋a4＋…＋a100＝y，则x＋y＝S100＝145，y－x＝50d＝25.解得x＝60，y＝85.故选C.答案：C6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则为(　　)A.
B.
C.
D.解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，∵S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，∴S9－S6＝3，S12－S9＝4.∴S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.∴＝.答案：A7．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为(　　)A．a3＋a5
B．a2＋2a10
C．a20＋d
D．a12＋a9解析：∵S20＝×20＝10(a1＋a20)，∴M＝a1＋a20＝a12＋a9.故选D.答案：D8．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是(　　)A．an＝2n2＋3n－1
B．an＝n2＋5n－5C．an＝2n3－3n2＋3n－1
D．an＝2n3－n2＋n－2解析：当n＝1时，a1＝1，排除A、D.当n＝3时，a3＝5＋6＋7＋8＋9＝35.而B中，a3＝32＋5×3－5＝19.故选C.答案：C9．把正整数以下列方法分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设Sn表示第n组中所有各数的和，那么S21等于(　　)A．1
113
B．4
641C．5
082
D．53
361解析：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1＋2＋3＋…＋20＝210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21＝21×211＋×1＝4641，故选B.答案：B10．在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，Sn＝155，则n＝________.解析：(a1＋a2＋a3)＋(an＋an－1＋an－2)＝3(a1＋an)＝15＋78，∴a1＋an＝31.又Sn＝＝155，∴＝155?n＝10.答案：1011.
等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，则S110＝________.解析：成等差数列，又＝10，＝，∴的公差为－
∴＝＋10×＝－1，∴S110＝－110.答案：－11012．在等差数列{an}中，
已知S8＝48，S12＝168，求a1和d.解析：?a1＝－8，d＝4.13．(1)已知{an}的首项a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N
)，求{an}的通项公式．(2)已知{an}中，an＋1＝an，且a1＝2，求数列{an}的通项公式．解析：(1)an－an－1＝2(n－1)，an－1－an－2＝2(n－2)，an－2－an－3＝2(n－3)，…a3－a2＝2×2，a2－a1＝2×1.将上述式子相加，可得an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n2－n，所以an＝n2－n＋1，当n＝1时也成立．(2)∵an＋1＝an，∴＝，∴＝，…∴an＝···…···a1＝····…····2＝(n∈N
)．
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