新人教A版高中数学必修第二册：等比数列的通项公式及性质
文档属性
| 名称 | 新人教A版高中数学必修第二册：等比数列的通项公式及性质 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 385.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-20 21:01:23 | ||
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文档简介
授课主题
等比数列的通项公式及性质
教学目标
1.通过实例，理解等比数列的概念.2.探索并掌握等比数列的通项公式.3.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
教学内容
1．等比数列的概念等比数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数.定义的数学式表示为＝q(n∈N
，q≠0)．2．等比数列的通项公式首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为an＝a1·qn－1(a1·q≠0)(n∈N
)．3．等比中项等比中项的定义：如果a，G，b成等比数列，则G叫a与b的等比中项4．等比数列的增减性当a1＞0，q
>1时，等比数列{an}是递增数列；当a1＜0,0＜q＜1，等比数列{an}是递增数列；当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列{an}是递增数列；当a1＜0，q
>1时，等比数列{an}是递减数列；当a1＜0，q＜0时，等比数列{an}是摆动数列；当q＝1时，等比数列{an}是常数列．5．等比数列的图像等比数列{an}的通项公式an＝a1·qn－1(a1·q≠0)，它的图象是分布在曲线y＝·qx(q>0)上的一些孤立的点．6．等比数列的性质1）等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1(a1·q≠0)
．等比数列的通项推广公式：an＝am·qn－m(a1·q≠0)
．2）非零常数列既是等差又是等比数列.3）若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}、是等比数列．4）在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋k，则aman＝apak；若2n＝p＋k，则a＝apak．题型一 等比数列的通项公式例1 在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解析：(1)解法一：因为所以两式相除得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝.所以an＝a1qn－1＝2.解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.(2)解法一：因为所以两式相除得q＝，从而a1＝32.又an＝1，所以32n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.巩
固 求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝3，a3＝27；(2)a1＝1，an＋1＝2an(n≥1)．解析：(1)∵a3＝a1q2，∴q2＝9，∴q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n.或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.∴an＝3n或(－1)n－13n.(2)由题意知＝2(n≥1)．∴数列{an}是公比为2的等比数列，且首项为a1＝1.∴通项公式为an＝a1qn－1＝1×2n－1＝2n－1.题型二 等比中项例2 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，②式与①式相除，得q(1－q)＝?q＝.∴a1＝＝＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9.∴a5，a7的等比中项是±3.点评：由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab，则＝即a、G、b成等比数列．所以a、G、b成等比数列?G2＝ab(ab≠0)．巩
固 已知数列a，－，b，－，c五个数成等比数列，求a，b，c的值．解析：∵b2＝＝6.∴b＝±.当b＝时，ab＝2，∴a＝.由bc＝2＝10，b＝，得c＝＝7.同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.题型三 等比数列的判定与证明例3 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0.可得an＋1≠0.所以＝2(n∈N
)．所以数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1为首项，以2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.点评：判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法:＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列．(2)等比中项法:a＝anan＋2(n∈N
且an≠0)?{an}为等比数列．巩
固 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N
)．(1)求a1、a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解析：由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.又S2＝(a2－1)．即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－.所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．题型四 等比数列的性质例4 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.解析：解法一：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2，从而解之，得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1或an＝23－n.解法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得?? 将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2，或q＝.由②得或以下同解法一．点评：在解有关等比数列的问题时，要注意利用等比数列的性质，可以使问题变得简单、明了．巩
固 已知等比数列{an}，(1)若a2＝4，a5＝－，求通项公式；(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解析：∵a5＝a2q3，∴q3＝＝＝－.∴q＝－，∴a1＝＝－8，∴an＝a1qn－1＝n－4.(2)由a3a4a5＝8得a＝8，∴a4＝2，∴a2a3a4a5a6＝a＝32.题型五 求成等比数列或等差数列的部分项例5 已知a，b，c，x，y，z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果，，成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．证明：证法一：∵ax＝by，∴x＝bx－y.∴＝b＝b1－＝(by)－.同理∵by＝cz，∴＝(by)－.∵，，成等差数列，∴－＝－，∴＝.∴a，b，c成等比数列．证法二：令ax＝by＝cz＝t，lg
ax＝lg
by＝lg
cz＝lg
t，∴t≠1，∴lg
t≠0.∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct.∴＝，＝，＝.∵＋＝，∴＋＝，∴b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．注：证法二更自然有效．点评：有关等差、等比数列的综合问题，注意恰当选择应用等差数列与等比数列的定义或应用等差中项与等比中项概念解题．巩
固 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．解析：设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得解此方程组得∴所求三数为3,5,7.1．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )A．±4
B．4
C．±
D.答案：A2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9，故选B.答案：B3．在数列{an}中，对任意n∈N
，都有an＋1－2an＝0，则的值为( )A.
B.
C.
D．1解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，∴＝＝.故选A.答案：A4．在等比数列中，a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )A．3
B．4
C．5
D．6解析：由a1qn－1＝an?·＝?n＝4.
答案：B5．等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于( )A．3
B．2
C．－2
D．2或－2解析：由a＝a1a5?(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)?(1＋d)2＝1＋4d?d＝2.故选B.答案：B6．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )A．－24
B．0
C．12
D．24答案：A7．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )A．31.5
B．160
C．79.5
D．159.5解析：1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5·25.∴a6＝＝79.5.答案：C8．等比数列1，，…的通项公式为________．解析：等比数列的首项为1，公比为＝，所以其通项公式为an＝n－1.答案：an＝n－19．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝________；若an＝an＋3，则公比q＝________.答案：±1 110．三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________或________．解析：设三数为，a，aq，则＋a＋aq＝14，·a·aq＝64，即a＝14，a3＝64，解得：a＝4，q＝或2.故所求三数为8,4,2或2,4,8.答案：8,4,2 2,4,811．(1)方程x2－17x＋16＝0的两根的等差中项是______，两根的等比中项是______．(2)在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．解析：(1)∵x2－17x＋16＝0的二根的x1＝1，x2＝16.∴x1与x2等差中项为等比中项为±4.(2)设插入的三数为a，b，c则b2＝ac＝×＝36.又b与第一项同号，∴b＝6，∴插入的三数之积abc＝b3＝216.答案：(1) ±4 (2)21612．等比数列{an}中a2＋a7＝66，a3a6＝128，求等比数列的通项公式an.解析：解法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由题意?
以下求解a1，q不易找到思路．转换思路，利用等比数列的性质，不难得以下解法．解法二：设等比数列的首项为a1，公比为d，由题意
??或.∴q5＝＝25或，q＝2或.∴an＝a2qn－2＝2n－1或.∴数列的通项公式为an＝2n－1或an＝28－n.点评：在解决等比数列的有关问题时，除了直接把题意翻译成数列之外，如果能合理地利用等比数列的性质，往往可以更简单地得到答案．13．已知等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠1且q≠0)，且bn＝an＋1－an.(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由．(2)求数列{bn}的通项公式．解析：(1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0且q≠1)，由于＝＝＝＝q，∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．(2)由(1)可知，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，∴bn＝(q－1)qn－1(q≠0且q≠1)．1．如果数列{an}是等比数列，那么( )A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列C．数列{lg
an}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列解析：利用等比数列的定义验证即可．答案：A2．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于( )A．5 B．10 C．15 D．20解析：a2a4＝a，a4a6＝a，故得(a3＋a5)2＝25，∴a3＋a5＝±5，又an＞0，即a3＋a5＝5.答案：A3．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于( )A.
B.C.或
D．－或－解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6.①又a4＋a14＝5.②由①、②组成方程组得或∴＝＝或.答案：C4．等比数列{an}中，an∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )A．10
B．20
C．36
D．128解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.故选B.答案：B5.＋1与－1，两数的等比中项是( )A．1
B．－1
C．±1
D.解析：设等比中项为b，则b2＝(＋1)·(－1)＝1，∴b＝±1，故选C.答案：C6．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是( )A.
B．－
C.
D.解析：设其中三项为an，an＋1，an＋2(n∈N
)，公比为q，则有an＝an＋1＋an＋2，即an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0.∴q＝.∵各项都为正数，∴q＝.答案：D
7．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….则此数列( )A．是公比为q的等比数列B．是公比为q2的等比数列C．是公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列答案：B8．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值为( )A．n(2n－1)
B．(n＋1)2C．n2
D．(n－1)2解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a2n＝22n，an＞0，则
an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，选C.答案：C9．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______．解析：由an＋1＞an?a1qn＞a1qn－1.∵a1＜0，∴qn＜qn－1?qn＜0对任意正整数n都成立．∴q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.答案：0＜q＜110．若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.解析：∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.
∴a1aa5＝a＝.答案：11．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3
(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析：由a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，∴an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，即{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以该数列的通项an＝2n＋1－3.答案：2n＋1－312．设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为2，a1·a2·a3·…·a30＝230，求a3·a6·a9·…·a30的值．解析：解法一：∵a1a30＝a2a29＝a3a28＝…＝a15a16，a1a2a3…a30＝230，∴(a15a16)15＝230，∴a15a16＝4.∵a3a30＝a6a27＝a9a24＝a12a21＝a15a18，∴a3a6a9…a30＝(a15a18)5＝(a15a16q2)5＝220.解法二：设a3a6a9…a30＝x，①∴a1q2·a4q2·a7q2…a28q2＝x.∴a1a4a7…a28＝.②同理a2q·a5q·a8q…a29q＝x，∴a2·a5·a8…a29＝.③由①×②×③得∴a1a2a3…a30＝··x＝230，∴x3＝260，∴x＝220，∴a3a6a9…a30＝220.
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等比数列的通项公式及性质
教学目标
1.通过实例，理解等比数列的概念.2.探索并掌握等比数列的通项公式.3.能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
教学内容
1．等比数列的概念等比数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数.定义的数学式表示为＝q(n∈N
，q≠0)．2．等比数列的通项公式首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式为an＝a1·qn－1(a1·q≠0)(n∈N
)．3．等比中项等比中项的定义：如果a，G，b成等比数列，则G叫a与b的等比中项4．等比数列的增减性当a1＞0，q
>1时，等比数列{an}是递增数列；当a1＜0,0＜q＜1，等比数列{an}是递增数列；当a1＞0,0＜q＜1时，等比数列{an}是递增数列；当a1＜0，q
>1时，等比数列{an}是递减数列；当a1＜0，q＜0时，等比数列{an}是摆动数列；当q＝1时，等比数列{an}是常数列．5．等比数列的图像等比数列{an}的通项公式an＝a1·qn－1(a1·q≠0)，它的图象是分布在曲线y＝·qx(q>0)上的一些孤立的点．6．等比数列的性质1）等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1(a1·q≠0)
．等比数列的通项推广公式：an＝am·qn－m(a1·q≠0)
．2）非零常数列既是等差又是等比数列.3）若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}、是等比数列．4）在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋k，则aman＝apak；若2n＝p＋k，则a＝apak．题型一 等比数列的通项公式例1 在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解析：(1)解法一：因为所以两式相除得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝.所以an＝a1qn－1＝2.解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.(2)解法一：因为所以两式相除得q＝，从而a1＝32.又an＝1，所以32n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.巩
固 求下列各等比数列的通项公式：(1)a1＝3，a3＝27；(2)a1＝1，an＋1＝2an(n≥1)．解析：(1)∵a3＝a1q2，∴q2＝9，∴q＝±3.∴an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n.或an＝a1qn－1＝3×(－3)n－1＝(－1)n－13n.∴an＝3n或(－1)n－13n.(2)由题意知＝2(n≥1)．∴数列{an}是公比为2的等比数列，且首项为a1＝1.∴通项公式为an＝a1qn－1＝1×2n－1＝2n－1.题型二 等比中项例2 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，②式与①式相除，得q(1－q)＝?q＝.∴a1＝＝＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9.∴a5，a7的等比中项是±3.点评：由等比中项的定义可知：＝?G2＝ab?G＝±.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab，则＝即a、G、b成等比数列．所以a、G、b成等比数列?G2＝ab(ab≠0)．巩
固 已知数列a，－，b，－，c五个数成等比数列，求a，b，c的值．解析：∵b2＝＝6.∴b＝±.当b＝时，ab＝2，∴a＝.由bc＝2＝10，b＝，得c＝＝7.同理，当b＝－时，a＝－，c＝－7.综上所述，a，b，c的值分别为，，7或－，－，－7.题型三 等比数列的判定与证明例3 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)．由a1＝1，知a1＋1≠0.可得an＋1≠0.所以＝2(n∈N
)．所以数列{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1为首项，以2为公比的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1＝2n，即an＝2n－1.点评：判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法:＝q(q为常数且不为零)?{an}为等比数列．(2)等比中项法:a＝anan＋2(n∈N
且an≠0)?{an}为等比数列．巩
固 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N
)．(1)求a1、a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．解析：由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，∴a1＝－.又S2＝(a2－1)．即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－.所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．题型四 等比数列的性质例4 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.解析：解法一：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8，∴a2＝2，从而解之，得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1，当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1或an＝23－n.解法二：由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2，代入已知得?? 将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2，或q＝.由②得或以下同解法一．点评：在解有关等比数列的问题时，要注意利用等比数列的性质，可以使问题变得简单、明了．巩
固 已知等比数列{an}，(1)若a2＝4，a5＝－，求通项公式；(2)若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解析：∵a5＝a2q3，∴q3＝＝＝－.∴q＝－，∴a1＝＝－8，∴an＝a1qn－1＝n－4.(2)由a3a4a5＝8得a＝8，∴a4＝2，∴a2a3a4a5a6＝a＝32.题型五 求成等比数列或等差数列的部分项例5 已知a，b，c，x，y，z都是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，如果，，成等差数列，求证：a，b，c成等比数列．证明：证法一：∵ax＝by，∴x＝bx－y.∴＝b＝b1－＝(by)－.同理∵by＝cz，∴＝(by)－.∵，，成等差数列，∴－＝－，∴＝.∴a，b，c成等比数列．证法二：令ax＝by＝cz＝t，lg
ax＝lg
by＝lg
cz＝lg
t，∴t≠1，∴lg
t≠0.∴x＝logat，y＝logbt，z＝logct.∴＝，＝，＝.∵＋＝，∴＋＝，∴b2＝ac，∴a，b，c成等比数列．注：证法二更自然有效．点评：有关等差、等比数列的综合问题，注意恰当选择应用等差数列与等比数列的定义或应用等差中项与等比中项概念解题．巩
固 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．解析：设所求之数为a－d，a，a＋d，则由题设得解此方程组得∴所求三数为3,5,7.1．等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( )A．±4
B．4
C．±
D.答案：A2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9
D．b＝－3，ac＝－9解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac＝9，故选B.答案：B3．在数列{an}中，对任意n∈N
，都有an＋1－2an＝0，则的值为( )A.
B.
C.
D．1解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，∴＝＝.故选A.答案：A4．在等比数列中，a1＝，an＝，q＝，则项数n为( )A．3
B．4
C．5
D．6解析：由a1qn－1＝an?·＝?n＝4.
答案：B5．等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于( )A．3
B．2
C．－2
D．2或－2解析：由a＝a1a5?(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)?(1＋d)2＝1＋4d?d＝2.故选B.答案：B6．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于( )A．－24
B．0
C．12
D．24答案：A7．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于( )A．31.5
B．160
C．79.5
D．159.5解析：1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5·25.∴a6＝＝79.5.答案：C8．等比数列1，，…的通项公式为________．解析：等比数列的首项为1，公比为＝，所以其通项公式为an＝n－1.答案：an＝n－19．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝________；若an＝an＋3，则公比q＝________.答案：±1 110．三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是________或________．解析：设三数为，a，aq，则＋a＋aq＝14，·a·aq＝64，即a＝14，a3＝64，解得：a＝4，q＝或2.故所求三数为8,4,2或2,4,8.答案：8,4,2 2,4,811．(1)方程x2－17x＋16＝0的两根的等差中项是______，两根的等比中项是______．(2)在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．解析：(1)∵x2－17x＋16＝0的二根的x1＝1，x2＝16.∴x1与x2等差中项为等比中项为±4.(2)设插入的三数为a，b，c则b2＝ac＝×＝36.又b与第一项同号，∴b＝6，∴插入的三数之积abc＝b3＝216.答案：(1) ±4 (2)21612．等比数列{an}中a2＋a7＝66，a3a6＝128，求等比数列的通项公式an.解析：解法一：设等比数列的首项为a1，公比为q，由题意?
以下求解a1，q不易找到思路．转换思路，利用等比数列的性质，不难得以下解法．解法二：设等比数列的首项为a1，公比为d，由题意
??或.∴q5＝＝25或，q＝2或.∴an＝a2qn－2＝2n－1或.∴数列的通项公式为an＝2n－1或an＝28－n.点评：在解决等比数列的有关问题时，除了直接把题意翻译成数列之外，如果能合理地利用等比数列的性质，往往可以更简单地得到答案．13．已知等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠1且q≠0)，且bn＝an＋1－an.(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由．(2)求数列{bn}的通项公式．解析：(1)∵等比数列{an}中，a1＝1，公比为q，∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0且q≠1)，由于＝＝＝＝q，∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1，公比为q的等比数列．(2)由(1)可知，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，∴bn＝(q－1)qn－1(q≠0且q≠1)．1．如果数列{an}是等比数列，那么( )A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列C．数列{lg
an}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列解析：利用等比数列的定义验证即可．答案：A2．已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于( )A．5 B．10 C．15 D．20解析：a2a4＝a，a4a6＝a，故得(a3＋a5)2＝25，∴a3＋a5＝±5，又an＞0，即a3＋a5＝5.答案：A3．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于( )A.
B.C.或
D．－或－解析：在等比数列{an}中，a7·a11＝a4·a14＝6.①又a4＋a14＝5.②由①、②组成方程组得或∴＝＝或.答案：C4．等比数列{an}中，an∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )A．10
B．20
C．36
D．128解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.故选B.答案：B5.＋1与－1，两数的等比中项是( )A．1
B．－1
C．±1
D.解析：设等比中项为b，则b2＝(＋1)·(－1)＝1，∴b＝±1，故选C.答案：C6．一个各项都为正数的等比数列，且任何项都等于它后面两项的和，则公比是( )A.
B．－
C.
D.解析：设其中三项为an，an＋1，an＋2(n∈N
)，公比为q，则有an＝an＋1＋an＋2，即an＝anq＋anq2，∴q2＋q－1＝0.∴q＝.∵各项都为正数，∴q＝.答案：D
7．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….则此数列( )A．是公比为q的等比数列B．是公比为q2的等比数列C．是公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列答案：B8．已知等比数列{an}满足an＞0，n＝1,2…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1的值为( )A．n(2n－1)
B．(n＋1)2C．n2
D．(n－1)2解析：由a5·a2n－5＝22n(n≥3)得a2n＝22n，an＞0，则
an＝2n，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，选C.答案：C9．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______．解析：由an＋1＞an?a1qn＞a1qn－1.∵a1＜0，∴qn＜qn－1?qn＜0对任意正整数n都成立．∴q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.答案：0＜q＜110．若等比数列{an}满足a2a4＝，则a1aa5＝________.解析：∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4＝a＝，a1·a5＝a.
∴a1aa5＝a＝.答案：11．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3
(n≥1)，则该数列的通项an＝________.解析：由a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，∴an＋1＋3＝2(an＋3)(n≥1)，即{an＋3}是以a1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以该数列的通项an＝2n＋1－3.答案：2n＋1－312．设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比为2，a1·a2·a3·…·a30＝230，求a3·a6·a9·…·a30的值．解析：解法一：∵a1a30＝a2a29＝a3a28＝…＝a15a16，a1a2a3…a30＝230，∴(a15a16)15＝230，∴a15a16＝4.∵a3a30＝a6a27＝a9a24＝a12a21＝a15a18，∴a3a6a9…a30＝(a15a18)5＝(a15a16q2)5＝220.解法二：设a3a6a9…a30＝x，①∴a1q2·a4q2·a7q2…a28q2＝x.∴a1a4a7…a28＝.②同理a2q·a5q·a8q…a29q＝x，∴a2·a5·a8…a29＝.③由①×②×③得∴a1a2a3…a30＝··x＝230，∴x3＝260，∴x＝220，∴a3a6a9…a30＝220.
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