新人教A版高中数学必修第二册：数列综合

授课主题
数列综合
教学目标
1．熟练应用等差数列、等比数列的性质、通项公式和前n项和的公式，解决一些实际问题．2．了解数列求和的一些方法：裂项法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、公式法等，提高分析解决问题的能力．
教学内容
1．等差数列1）定义：an＋1－an＝d(n∈N
)或an－an－1＝d(n∈N
，n≥2)．2）通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n∈N
)．3）如果数列{an}的通项公式是
an＝An＋B(A、B是与n无关的常数)，那么数列{an}一定是等差数列．4）等差数列前n项和公式：Sn＝，Sn＝na1＋d.5）如果数列{an}的通项公式是
Sn＝An2＋Bn(A、B是与n无关的常数)，那么数列{an}一定是等差数列．6）a、b、c成等差数列{an}?b为a、c
的等差中项?2b＝a＋c.7）在等差数列{an}中，an＝am＋(n－m)d(n∈N
)．8）在等差数列{an}中，由m＋n＝p＋q?am＋an＝ap＋aq，若m＋n＝2p?am＋an＝2ap.9）在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k构成等差数列?2(S2k－Sk
)＝Sk＋(
S3k－S2k)．10）已知{an}
、{bn}为等差数列，则{an－c}，{can}，{an＋bn}，{an＋kbn}(其中c为常数，k∈N
)仍是等差数列．11）已知{an}
为等差数列，若k1，k2，k3，…，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，…，akn仍是等差数列．12）若三个数成等差数列，则设这三个数为a－d，a，a＋d，可简化计算．13）证明等差数列的两种方法．(1)定义：an＋1－an＝d(n∈N
)．(2)等差中项2an＝an－1＋an＋1(n∈N
，n≥2)．2．等比数列1）定义：＝q(n∈N
)或＝q(n∈N
，n≥2)．2）通项公式：an＝a1qn－1(n∈N
)．3）等比数列前n项和：Sn＝＝(q≠1)；Sn＝na1(q＝1)．4）a，b，c成等比数列?b为a、c
的等比中项?b2＝ac.5）在等比数列{an}中，an＝am×qn－m(n∈N
)．6）在等比数列{an}中，由m＋n＝p＋q?aman＝apaq，若m＋n＝2p?aman＝a.7）在等比数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k
构成等比数列?(
S2k－Sk)2＝Sk(S3k
－S2k)(Sk≠0)．8）已知{an}
、{bn}为等比数列，则{can}，{anbn}，(其中c为不为0的常数，k∈N
)仍是等比数列．9）已知{an}
为等比数列，若k1，k2，k3，…，kn为等差数列，则ak1，ak2，ak3，…，akn仍是等比数列．10）若三个数成等比数列，则设这三个数为，a，aq，可简化计算．11）证明等比数列的两种方法．(1)定义：＝q或＝q(n∈N
，n≥2)(2)等比中项：a＝an－1an＋1(n∈N
，n≥2)．3．通项公式的求法数列的通项公式是数列的重要内容之一，它把数列各项的性质集于一身．常用的求通项的方法有观察法、公式法、累加法、累乘法、前n项和作差法、辅助数列法．1）累加法：数列的基本形式为an＋1－an＝f(n)(n∈N
)的解析式，而f(1)＋f(2)＋……＋f(n)的和可求出．2）累乘法：数列的基本形式为＝f(n)(n∈N
)的解析关系，而f(1)·f(2)·…·f(n)的积可求出．3）前n项和作差法：利用an＝，能合则合．4）待定系数法：数列有形如an＋1＝kan＋b(k≠1)的关系，可用待定系数法求得(an＋t)为等比数列，再求得an.4．特殊数列的前n项和利用等差、等比数列求和公式是最基本最重要的方法．数列的求和除记住一些公式外，还应注重对通项公式的分析与整理，根据其特征求和，常用的方法技巧有分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等．1）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但如果将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，那么就可以分别求和，再将其合并即可．2）倒序相加法：这是在推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个a1＋an.3）错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差和等比数列．4）裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用．裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．题型一　求数列的通项公式(一)观察法就是观察数列的特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式．例1　数列1，3，5，7，…的通项公式为(　　)A．an＝(2n－1)·B．an＝(2n－1)＋C．an＝(2n＋1)＋D．an＝解析：1＝1＋，3＝3＋，5＝5＋，…，∴an＝(2n－1)＋.答案：B(二)公式法等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差、等比数列的定义，然后用等差、等比数列的通项公式表示它．例2　已知数列{an}为无穷数列，若an－1＋an＋1＝2an(n≥2且n∈N
)，且a2＝4，a6＝8，求通项an.解析：∵an－1＋an＋1＝2an，∴an－1，an，an＋1成等差数列．又∵n≥2且n∈N
，∴数列{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d.由可得∴通项an＝3＋(n－1)×1＝n＋2.(三)利用an与Sn的关系前n项和关系式有两种形式：一种是Sn与n的关系式，记为Sn＝f(n)，它可由公式an＝直接求出通项an，但要注意n＝1与n≥2两种情况能否统一；另一种是Sn与an的关系式，记为f(an，Sn)＝0，求它的通项公式an.例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝5Sn－3，求数列{an}的通项公式．解析：当n＝1时，∵a1＝5a1－3，∴a1＝，当n≥2时，∵an＝5Sn－3，∴an－1＝5Sn－1－3，∴an－an－1＝5(Sn－Sn－1)．即an－an－1＝5an，＝－，∴{an}是首项a1＝，公比q＝－的等比数列．∴an＝a1qn－1＝=(n∈N
)．(四)累加法、累乘法有些数列，虽然不是等差数列或等比数列，但是它的后项与前项的差或商具有一定的规律性，这时，可考虑利用累加或累乘法，结合等差、等比数列的知识解决．例4　已知a1＝1，＝，求an.解析：当n≥2时，an＝a1···…·＝1××××…×＝.而a1＝1也适合上式．故{an}的通项公式an＝n(n＋1)．(五)构造法有些数列直观上不符合以上各种形式，这时，可对其结构进行适当变形，以利于使用以上各类方法．例5　设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1·an＝0(n∈N
)，求{an}的通项．解析：∵an＋1－an＋an＋1·an＝0.∴－＝1.又＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列，故＝n，∴an＝.(六)待定系数法形如：已知a1，an＋1＝pan＋q(p、q为常数)形式均可用构造等比数列法，即an＋1＋x＝p(an＋x)，{an＋x}为等比数列，或an＋2－an＋1＝p(an＋1－an)，{an＋1－an}为等比数列．例6　若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋1，求an.分析：根据递推公式求出前几项，再观察规律，猜想通项公式，有时比较困难．可变换递推公式，利用构造等差或等比数列的技巧，从而求通项公式．解析：解法一：∵an＋1＝an＋1，∴an＋2＝an＋1＋1，两式相减得：an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，令bn＝an＋1－an(n＝1,2,3，…)，则b1＝a2－a1＝－1＝，bn＋1＝bn，∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝1＋＝2－.解法二：设an＋1－A＝(an－A)，则an＋1＝an－A＋A，根据an＋1＝an＋1可得：－A＋A＝1，即A＝2，∴an＋1－2＝(an－2)．令bn＝an－2，则b1＝a1－2＝－1，bn＋1＝bn，∴数列{bn}是以－1为首项，为公比的等比数列．∵bn＝b1·qn－1＝(－1)·n－1，∴an＝2＋bn＝2－n－1.题型二　数列求和数列中求前n项和是数列运算的重要内容，高考题中涉及此部分与通项的综合问题，对于等差数列与等比数列可依据公式求其和，对于某些具有特殊结构的非等差、等比数列可转化为利用等差或等比数列前n项和公式能求和的形式，常用方法有公式法、分组法、裂项法、错位相减法等．要对通项进行深入研究，找出规律，确定恰当的解题方法．例7　等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋.解析：∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2，∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N
)，∴＝＝＝，∴＋＋…＋＝［1－＋－＋－＋…＋－＋－］＝－.例8　设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝(n∈N
)．(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①∴当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②由①－②得3n－1an＝，∴an＝，在①中，令n＝1，得a1＝，∴数列{an}的通项公式an＝.(2)∵bn＝＝n·3n，∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1.④由④－③得2Sn＝n×3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)＝n×3n＋1－，∴Sn＝＋.题型三　数列的应用问题例9　设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N
.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.(1)解析：依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4；(2)解析：当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，故数列是首项为＝1，公差为1的等差数列，所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2(n∈N
)．(3)证明：当n＝1时，＝1＜；当n＝2时，＋＝1＋＝＜；当n≥3时，＝＜＝－，此时，＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜，综上，对一切正整数n，有＋＋…＋＜.例10　夏季高山上的温度从山脚起，每升高100
m，降低0.7
℃，已知山顶处的温度是14.8
℃，山脚处的温度是26
℃，问此山相对于山脚处的高度是多少？解析：∵每升高100
m温度降低0.7
℃，∴该处温度的变化是一个等差数列问题．设山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，∴26＋(n－1)(－0.7)＝14.8，解得n＝17.此山的高度为(17－1)×100＝1
600(m)．答：此山相对于山脚处的高度是1
600
m.一、选择题1．有穷数列{1,23,26,29，…}，那么23n＋6的项数是(　　)A．3n＋7
B．3n＋6C．n＋3
D．n＋2解析：此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n＋6，为等差数，且首项an＝0，公差d＝3，设3n＋6是第x项，则3n＋6＝0＋(x－1)×3?x＝n＋3.答案：C2．已知数列{an}中a1＝1且满足an＋1＝an＋2n，n∈N
，则an＝(　　)A．n2＋n＋1　　
B．n2－n＋1　　
C．n2－2n＋2　　
D．2n2－2n＋1答案：B3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－16，公差为2，那么使Sn取得最小值的是(　　)A．前8项　　　
B．前8项或9项　　
C．前9项或10项　　
D．前7项答案：B4．数列，3，，，3，…，则9是这个数列的第________项．(　　)A．12
B．13
C．14
D．15答案：C5．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7＝(　　)A．4
B．6
C．8
D．8－4解析：在等比数列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8，选C.答案：C6．已知{an}为等差数列，若a3＋a4＋a8＝9，则S9＝(　　)A．24
B．27
C．15
D．54解析：在等差数列中，由a3＋a4＋a8＝9得3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝a5＝3，所以S9＝＝＝＝27，选B.答案：B7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为0的常数)，则数列{an}(　　)A．一定是等差数列
B．一定是等比数列C．或是等差数列或是等比数列
D．既不是等差数列也不是等比数列答案：C8．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3
成等差数列．若a1
＝1，则S4＝(　　)A．7　　　　　B．8　　　　　C．15　　　　
D．16答案：C9．在数列{an}中，a1＝1，an＞0，＝＋4，则an＝(　　)A．4n－3　　　　　
B．2n－1　　　　　
C.　　　　　
D.答案：C10．下列四个命题：①若b2＝ac，则a，b，c成等比数列；②若{an}为等差数列，且常数c＜0且c≠1，则数列{can}为等比数列；③若{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列；④非零常数列既是等差数列，又是等比数列．其中，真命题的个数是(　　)A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：对于①当a、b、c都为零时，命题不成立；②③④成立．答案：C二、填空题
11．在等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝－2，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝
________.答案：－475012．在4和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．答案：21613．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝__________.解析：∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝＝63.答案：6314．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，则这个数列的通项公式是____________________．答案：an＝n2－n＋1(n∈N
)三、解答题15．已知等差数列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5.(1)求{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，求{bn}的通项公式bn.解析：(1)设{an}的首项是a1，公差为d，依题意得：∴∴an＝5n－25，(2)由(1)an＝5n－25，∴bn＝a2n－1＝5(2n－1)－25＝10n－30.16．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{an}的通项；(2)求数列的前n项和Sn.解析：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0(舍去)．故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2.17．等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．解析：设{an}的公差为d.由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1(n∈N
)．18．已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2＝an＋1，求an.解析：∵2＝an＋1，∴Sn＝(a＋2an＋1)，Sn－1＝(a＋2an－1＋1)，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.∵an>0，∴an－an－1＝2，∴n＝1时，a1＝1，∴an＝2n－1在n＝1时上式成立，∴an＝2n－1.19.求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和．解析：(1)当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2.(2)当a≠1时，Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，两式相减，有：(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an＝1＋2－(2n－1)an.故：Sn＝＋.20.已知数列{an}中，Sn是其前n项的和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1.(1)设bn＝an＋1－2an，求证：数列{bn}是等比数列；解析：由an＋1＝Sn＋1－Sn＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.∵S2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，故数列{bn}是以3为首项，2为公比的等比数列．(2)设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列；解析：cn＋1－cn＝－＝＝＝＝，又c1＝＝，∴数列{cn}是以为首项，为公差的等差数列．(3)求数列{an}的通项公式及其前n项的和Sn.解析：an＝(3n－1)×2n－2，利用错位相减法可求得：Sn＝(3n－4)×2n－1＋2.1．数列an＝，其前n项之和为，则项数n为(　　)A．12　　
B．11　　　C．10　　　D．9答案：D2.
已知等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，则数列的前n项和为(　　)A.
B．Snqn－1
C．Snq1－n
D.解析：数列的首项为1，公比为，它的前n项和为Tn＝＝，又Sn＝，∴Tn＝·Sn＝q1－n·Sn.故选C.答案：C3．数列{an}的通项公式an＝，则该数列的前____项之和等于9.(　　)A．99　　B．98　　　C．97　　　D．96解析：an＝＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝9?n＋1＝100，∴n＝99.故选A.答案：A4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S4等于(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案：A5.
求和：1＋3＋5＋…＋＝________.解析：Sn＋1＝＋(＋＋…＋)＝n2＋2n＋2－.答案：n2＋2n＋2－6．已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是这个数列的第________项．解析：令an＝log23?log2(n2＋3)－2＝log23?n2＋3＝12，∴n2＝9，n＝3.答案：37．下列命题中正确命题为________．①常数列一定是等比数列；②等比数列前n项和Sn＝(其中a1为首项，q为公比)；③前n项和Sn为n的二次函数的数列一定是等差数列；④0不可能是任何等比数列的一项．解析：对①举反例：an＝0；②q≠1；③为等差数列，要求让Sn无常数项．答案：④8．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________.解析：由an＋1·an＝an＋1－an?1＝－?－＝－1.∴数列是首项为－1，公差为－1的等差数列，＝－1＋(n－1)(－1)＝－n，∴an＝－.答案：－9．已知数列{an}的通项公式an＝lg，试问：该数列的前多少项之和最大？求出这个最大的和．(lg
2取0.3)解析：由题设知：an＋1－an＝lg－lg＝lg
sin＝－lg
2，∴数列{an}是等差数列，a1＝2，an＝2－(n－1)lg
2，当an＝2－(n－1)lg
2＜0时可解得n＞14.3，即n≥15时，an＜0∴当n＝14时，S14最大且S14＝28－lg
2.10.
已知数列{an}的通项公式为an＝求Sn.解析：①当n为奇数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－5)]＋(42＋44＋…＋4n－1)＝·＋＝＋＝＋.②当n为偶数时，Sn＝[1＋13＋…＋(6n－11)]＋(42＋44＋…＋4n－1＋4n)＝＋.
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