新人教A版高中数学必修第二册：排列

授课主题
排列
教学目标
1．通过实例，理解排列的概念．2．理解用“树”列出排列，并能写出相应的排列．3．理解元素、排列、排列数、排列数公式、阶乘的有关概念和表示．4．能利用计数原理推导排列数公式，并能解决简单的实际问题．5．掌握一些有附加条件的排列应用题的基本解法．
教学内容
排列一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．排列数公式：，，并且．全排列一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．的阶乘正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定：．对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置．对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位．例如：(1)5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有A·A种．(2)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为A·A．对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法，同时要掌握一些问题的逆向思考的方法——间接法．题型一　排列的概念例1　判断下列问题是否是排列问题：(1)从1,2,3,5中任取两个不同的数相减(除)，可得多少种不同的结果？(2)有12个车站，共需准备多少种客票？(3)从学号为1到10的十名同学中任选两名同学去学校开座谈会，有多少种选法？(4)平面上有5个点，其中任意三点不共线，这5点最多可确定多少条直线？多少条线段？多少条射线？(5)由数字1,2,3,4,5可组成多少个不同4位数字的密码？分析：根据定义从两个方面判断：一是取出的元素是否可重复，二是取出的元素是否有顺序．解析：(1)(2)满足排列的定义，是排列问题；(3)从十名中选两名同学，没有顺序，所以不是排列问题；(4)中由于确定直线、线段时与两点顺序无关，所以不是排列问题，而确定射线与两点顺序有关，所以确定射线是排列问题；(5)由于取出的元素可以重复，所以不是排列问题．点评：确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认．(1)要保证元素的无重复性，否则不是排列问题．(2)要保证选出的元素在被安排时的有序性，否则不是排列问题．而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．巩
固　判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有50名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作为对数的底数和真数，有多少不同的对数值？(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)从集合M＝{1,2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个方程为＋＝1的焦点在x轴上的椭圆？解析：(1)是．选出的2人，担任正、副班长任意，即与顺序有关．(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，即与顺序有关．(3)是．点的坐标与横、纵坐标的取值的不同有关系，即与顺序有关．(4)不是．焦点在x轴上的椭圆，方程中的a，b必有a>b，a，b的大小一定．题型二　排列的列举问题例2　写出下列问题的所有排列：(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？请写出这些两位数．(2)若直线Ax＋By＝0的系数A，B可以从2,3,5,7中取不同的数值，可以构成多少条不同的直线？写出这些直线的方程．分析：先画出树状图，再结合图写出．解析：(1)画树状图如下：故所有两位数为：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43.共12个．(2)画树状图如下：故所有直线的方程为：2x＋3y＝0,2x＋5y＝0,2x＋7y＝0,3x＋2y＝0,3x＋5y＝0,3x＋7y＝0，5x＋2y＝0,5x＋3y＝0,5x＋7y＝0,7x＋2y＝0，7x＋3y＝0,7x＋5y＝0，共12条．点评：写出某个问题的所有排列时，要借助树状图这一工具，做到不重不漏．而在画树状图时，先以安排在首位的那个元素为分类标准进行分类，在每类中，再按余下元素在前而元素不变的情况下定第二位并按序分类，依次一直进行到完成一个排列，最后按序把所有排列写出．巩
固　列出下列简单排列问题的所有排列：(1)由1,2,3这三个数字组成的三位数；(2)四个人A，B，C，D坐成一排照相所有可能坐法解析：(1)用树形图表示(如图所示)：由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．(2)先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种)．画出树形图如图．由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.题型三　排列数公式的应用例3　解下列各题：(1)解方程：3A＝4A；(2)计算：＋＋＋…＋.解析：(1)由3A＝4A得＝，所以＝，化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.因为x≤8且x－1≤9，所以原方程的解为x＝6.(2)∵＝－，∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－.点评：应用排列数公式需要注意的问题．(1)这个公式在m，n∈N
，m≤n情况下成立，在m>n时不成立，如A5是没有意义的．(2)公式乘积形式的右边有三个特点：第一个因数为n，最后一个因数为n－m＋1，共m个连续自然数的连乘积．(3)排列数公式的阶乘表示：An＝，An＝n！＝n·(n－1)·…·3·2·1.巩
固　(1)计算：＝________；(2)已知8A＝3A，则x＝________.解析：(1)原式＝＝＝＝＝1.(2)由8A＝3A得8×＝3×，即8＝，解得x＝7.答案：(1)1　(2)7题型四　数字排列问题例4　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4
310的四位偶数分析：奇、偶数问题是选特殊位置：对个位进行限制，又因为“0”的存在，首位也是特殊位置，因此“0”、首位和末位要同时考虑．正面情况较复杂时，可用间接法求解．解析：(1)法一[从特殊位置入手(直接法)]分三步完成.
第一步：先填个位，有种填法；第二步：再填十万位，有种填法；第三步：填其它位，有种填法.故共有??=288个六位奇数.法二[从特殊元素入手(直接法)]0不在两端有种排法，从1，3，5中任选一个排在个位有种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有种排法，故共有??=288个六位奇数.法三(间接法)6个数字的全排列有个，0，2，4在个位上的排列数为3个，1，3，5在个位上，0在十万位上的排列有3个，故对应的六位奇数的排列数为―3―3=288个.法四[容斥原理(间接法)]
6个数字的全排列有个，个位不满足条件的数有3个，十万位不满足条件的数有个，个位与十万位均不满足条件的数有2个，故对应的六位奇数的排列数为―3―＋2=288个.(2)
法一(直接法)个位不排5，有种排法，但十万位数字的排法因个位是否排0而有所不同，因此分两类：第一类：当个位排0时，有个.第二类：当个位不排0时，有??个.故符合题意的六位数共有＋??＝504(个)．法二(间接法)0在十万位和5在个位的排列都不符合题意：―2＋=504(个)．(3)
直接法①当千位上排1,3时，有A·A·A个．②当千位上排2时，有A·A个．③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个，形如41××的有A·A个，形如43××的只有4
310和4
302这两个数，故共有A·A·A＋A·A＋2A＋A·A＋2＝110(个)．点评：(1)第一问中第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好先填个位．(2)第二问中易忽视0不能排首位而得A·A＝600个的错误结论．巩
固　由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(　　)A．72个
B．96个C．108个
D．144个解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法，①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，此时满足条件的六位偶数有3AA×2＝72个；②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，此时满足条件的六位偶数有3AA×3＝36个．所以共有72＋36＝108个．故选C.答案：C题型五　排列节目问题例5　要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？解析：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A种排法．由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A·A种．点评：相离问题用插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”.巩
固　某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，若①两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为______；②两个新节目可以相邻，也可以不相邻，那么不同插法的种数为______．解析：①因为两个新节目不相邻，且5个节目已排成节目单，所以，新增加的两个新节目只需插入到原5个节目之间的空隙(包括两端的两个空位)共6个位置上，所以，不同的插法有A＝30种．②分两类，第一类是两个新节目不相邻，有A＝30种方法；第二类是两个新节目相邻，有6A＝12种，所以，共有不同插法有30＋12＝42种．答案：30种　42种题型六　排队问题例6　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．分析：先分析清楚是无限制条件的排列问题，还是有限制条件的排列问题．若是无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算；若是有限制条件的排列问题，则要搞清楚限制条件是对元素还是对位置要求的，再选择是用直接法还是间接法计算．解析：(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N＝A
＝7×6×5×4×3＝2
520(种)．(2)(直接分步法)先考虑甲，有A种方案，再考虑其余6人全排，故N＝A·A＝2
160(种)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙，有A种方案，再安排其余5人全排，故N＝A·A＝240(种)．(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类．第一类：甲在最右端时，有N1＝A，第二类：甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙只有A个位置，而其余全排A，∴N2＝A·A·A，故N＝N1＋N2＝A＋A·A·A＝3
720(种)．法二(间接法)无限制条件的排列数共有A，而甲(或乙)在左端(或右端)的排法有A，且甲在左端同时乙在右端的排法有A，故N＝A－2A＋A＝3
720(种)．(5)相邻问题用捆绑法．男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．由分步计数原理知，共有A·A·A＝288(种)．(6)捆绑法．即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N＝A·A＝720(种)．(7)不相邻问题用插空法．先排女生共A种排法，男生在4个女生隔成的五个空隙中安排，有A种排法，故N＝A·A＝1
440(种)．(8)对比(7)，让女生插空：N＝A·A＝144(种)．(9)捆绑法．任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(A·A)·A＝960(种)．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝eq
\f(A,A)＝2
520(种)．(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的eq
\f(1,A)，∴N＝eq
\f(A,A)＝840(种)．(12)直接分步完成，共有A·A＝5
040(种)．点评：(1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法一般是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法(排除法)．(2)特别地，关于某些元素“相邻”、“不相邻”或“定序”的问题，应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”；不相邻问题，一般用“插空法”；“定序”问题，一般用排除法：N＝eq
\f(A,A).巩
固　喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？解析：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有AA＝144种排法．(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插四羊形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．A组1．下列问题是否为排列问题？(1)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘，可得多少不同的积？________(2)从(1)中各数任取两个数相除，可得多少不同的商？________(3)某班有10名三好学生，5名后进生，班委决定选出5名三好学生对5名后进生进行一帮一活动，共有多少种安排方式？________(4)若从10名三好学生中选出5名和5名后进生组成一个学习小组，共有多少种安排方式？________答案：否，是，是，否.2．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有(　　)A．50种
B．60种C．120种
D．90种解析：将5本不同的数学书放在同一层书架上，是5的全排列，所以不同的放法有A.故选C.答案：C3．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)A．120个
B．48个C．24个
D．12个解析：先排个位，有2种方法，在排前三位，是从4个数中选3个数的排列，所以，方法数是A＝4×3×2＝24，根据分步计数乘法原理，得四位偶数的个数为2A＝48(个)．故选B.答案：B4．如果＝17×16×15×…×5×4，则n＝________，m＝________.答案：17，14．B组一、选择题1．89×90×91×…×100可表示为(　　)A．A
B．A
C．A
D．A答案：C2．在A、B、C、D四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法(　　)A．4种
B．12种
C．42种
D．24种解析：这是一个排列问题，即从4个不同元素中选出2个元素的排列数，由公式知A＝4×3＝12，故选B.答案：B3．8名学生站成两排，前排4人，后排4人，则不同站法的种数为(　　)A．2A种
B．(A)2种C．A种
D.A88种解析：虽然是8人站两排，前排4人，后排4人，但本质上是8个位置站8个人，故共有A88种站法．答案：C4．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是(　　)A．8个
B．12个
C．16个
D．24个答案：B5．从4男3女志愿者中，选1女2男分别到A，B，C地执行任务，则不同的选派方法有(　　)A．36种
B．108种
C．210种
D．72种解析：选1女派往某地有方法A·A种，选2男派往另外两地有A种方法，则不同的选派方法共有A·A·A＝108(种)．故选B.答案：B二、填空题6．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点(但不是坐标轴)的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取2个非零元素作为系数A、B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A＝30(条)．答案：307．给出下列四个关系式：①n！＝；②A＝nA；③A＝；④Am－1n－1＝.其中正确的有________(填序号)．解析：④中A＝≠，故④错．答案：①②③三、解答题8．写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的可能站法．解析：画树状图如下：故共有BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种站法．9．求下列各式中的n的值．(1)90A＝A；
(2)A·A＝42A.解析：(1)因为90A＝A，所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)，所以n2－5n＋6＝90，即n2－5n－84＝0，∴(n－12)(n＋7)＝0，解得n＝12或n＝－7(舍去)．(2)原式＝·(n－4)！＝42(n－2)！，所以n(n－1)＝42，所以n2－n－42＝0，解得n＝7或n＝－6(舍去)．10．用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)这些四位数中偶数有多少个？能被5整除的有多少个？(2)这些四位数中大于6
500的有多少个？解析：(1)偶数的个位数只能是2,4,6，有A种排法，其他位上有A种排法，由乘法原理知，共有四位偶数A·A＝360(个)；能被5整除的数个位必须是5，故有A＝120(个)．(2)最高位上是7时大于6
500，有A个，最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2×A个．故由分类计数原理知，这些四位数中大于6
500的共有A＋2A25＝160(个)．
A组1．6名同学从左到右站成一排，其中甲不能站在两头，不同的站法有(　　)A．480种
B．240种
C．120种
D．96种解析：6名同学从左到右站成一排，共有A＝720种站法，其中甲站在两头，共有2A＝240种站法，所以满足题意的站法有720－240＝480种．故选A.答案：A2．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)A．12种
B．18种
C．24种
D．36种解析：先排第一列，有A种方法；再排第二列，有2种方法．由分步乘法计数原理知，共有A×2＝12种排列方法．答案：A3．用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是(　　)A．36个　　
　　
B．32个　　　　
C．24个　　　　
D．20个解析：奇数排在前：A·A＝12(个)；偶数排在前：A·AA＝8(个)．故共有12＋8＝20(个)，选D.答案：DB组一、选择题1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻，不同的排法共有(　　)A．1
440种
B．960种C．720种
D．480种解析：先将2位老人排列有A种方法，再将这2位老人的排列看成是1个元素，与5名志愿者一起共6个元素全排列，有A种方法.
所以，不同的排法共有AA＝1
440种．故选A.答案：A2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　　)A．6种
B．12种
C．24种
D．30种解析：分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，有A＝6种排列方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24种．答案：C3．A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，且B在A的右边，那么不同排法的种数有(　　)A．60种
B．48种
C．36种
D．24种答案：D4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　)A．3×3！种　　
B．3×(3！)3种C．(3！)4种　
　
D．9！种解析：把一家三口看作一个排列，再排列这3家，有(3！)4种．答案：C5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有(　　)A．300种
B．240种C．144种
D．96种答案：B二、填空题6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种(用数字作答)．解析：先选出文娱委员，有3种选法，再选出学习委员、体育委员，有A＝12种选法．由分步乘法计数原理知，共有3×12＝36种选法．答案：367．用1,2,3,4,5这五个数字组成比20
000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数，共有________个．答案：788．为配制某种染色剂，需要加入3种有机染料、2种无机染料和2种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为__________(用数字作答)．解析：先排无机染料和添加剂，有A种不同的排法，再排有机染料．因为它们不能相邻，所以用插空的方法排有机染料，有A种不同的排法．共有AA＝1
440种不同的试验方法．答案：1
440次三、解答题9．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解析：(1)先排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步乘法计数原理，知共有AA＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A－AA＝3
600(种)．10．在3
000与8
000之间：(1)有多少个没有重复数字且能被5整除的奇数？(2)有多少个没有重复数字的奇数？解析：(1)能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件，千位上可以是3,4,6,7中的任意一个，其余两个数字可以是余下数字中的任意两个，故适合题意的数字的个数共有4×A＝224(个)．(2)按题要求，个位可以是1,3,5,7,9中任意一个，千位上可以是3,4,5,6,7中的任意一个．因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类．第一类个位是1,9，千位可以是3,4,5,6,7中任意一个，这样的奇数有：（个）
;
第二类个位是3,5,7，千位是4,6或3,5,7中与个位不重复的数字中的任意一个，满足这些条件的奇数有（个）．由分类计数原理知，所求奇数共有：560＋672＝1
232(个)．
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