新人教A版高中数学必修第二册：组合

授课主题
组合
教学目标
1．通过实例，理解组合的概念．2．明确组合与排列的区别与联系．3．能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际问题．4．进一步深化组合的概念，熟悉组合数公式，会用组合知识解决简单的实际问题．5．能够解决具有限制条件的组合问题．
教学内容
组合一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．组合数从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．组合数公式：，．组合数的两个性质：性质1：；性质2：．（规定）排列组合一些常用方法特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．实际问题的解题策略（1）排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．（2）具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．题型一　组合的概念的理解
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例1　判断下列问题是排列问题还是组合问题．(1)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个组成一个集合，这样的集合有多少个？分析：取出元素之后，在安排这些元素时，与顺序有关则为排列问题，与顺序无关则为组合问题．解析：(1)当取出3个数字后，如果改变三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字后，无论怎样改变这些数字之间的排列顺序，其构成的集合都不变，故此问题只与取出的元素有关，而与元素的排列顺序无关，是组合问题．点评：区别排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些元素时，是否与顺序有关，“有序”则为排列，“无序”则为组合问题．
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巩
固　判断下列各事件是排列问题，还是组合问题．(1)8个人相互各写一封信，共写了多少封信？(2)8个人规定相互通一次电话，共通了多少次电话？(3)8支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)8支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？解析：(1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．(2)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.题型二　与组合数有关的计算例2　(1)计算：;(2)
设
求的值;(3)
求证：．分析：(1)先用组合数两个性质化简，再用组合数公式的乘积形式计算；(2)的限制条件是，可先求x的值；(3)利用组合数的阶乘形式证明.解析：(1)
；(2)
由题意可得：
，解得，∵，
∴或或，当时原式值为7；当时原式值为7；当时原式值为11．∴所求值为4或7或11．(3)证明：∵＝＝∴点评：组合数公式的应用：(1)公式一般用于求值、计算；(2)公式一般用于化简、证明.巩
固　(1)计算：3C－2C＋C＝__________；(2)若C＝C，则x＝________.解析：(1)3C－2C＋C＝3×－2×＋1＝149.(2)由已知x＝2x－6或x＋2x－6＝18，所以x＝6或x＝8.答案：(1)149　(2)x＝6或x＝8巩
固　已知C、C、C成等差数列，则C＝______.解析：由题可知2C＝C＋C，所以＝＋，所以＝＋，得：n2－21n＋98＝0，解得n＝14或n＝7(舍去)，所以C＝C＝＝91.答案：91题型三　组合数的简单应用
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例3　要从12个人中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？(1)A，B，C三人必须当选；(2)A，B，C三人不能当选；(3)A，B，C三人中只有一人当选．解析：(1)∵A，B，C三人必须当选，∴再从其他9个人中选出2人，则可组成5人小组，∴共有选法C＝＝36(种)．(2)∵A，B，C三人不能当选，∴须从其他9个人中选出5人，共有选法种数为C＝C＝＝126(种)．(3)从
A，B，C三人中选出1人，有种选法，再从其他9人中选出4人，有种选法.由分步乘法计数原理，共有选法种数为(种)．点评：根据组合数的概念先判断是否是组合问题，若是，则用组合数公式表示，再求出结果.
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巩
固　一个口袋里装有7个白球和1个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)其中恰有一个红球，共有多少种不同的取法？(3)其中不含红球，共有多少种不同的取法？解析：(1)从口袋里的8个球中任取5个球，不同取法的种数是C＝C＝＝56(种)．(2)从口袋里的8个球中任取5个球，其中恰有一个红球，可以分两步完成：第一步：从7个白球中任取4个白球，有C种取法；第二步：把1个红球取出，有C种取法，故不同取法的种数是：C·C＝C＝C＝35(种)．(3)从口袋里任取5个球，其中不含红球，只需从7个白球中任取5个白球即可，不同取法的种数是C＝C＝＝21(种)．题型四　简单的综合应用题
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例4　在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查，现有100件产品，其中有98件正品，2件次品，从中任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？分析：由于抽取的产品与次序无关，因此是一个组合问题，其中：(1)不同的抽法，即为
；(2)直接分步法；(3)直接分类法或间接法．解析：(1)所求的不同抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有＝＝161
700(种)．(2)抽出的3件中恰好有一件是次品的这件事，可以分两步完成．第一步：从2件次品中任取1件，有种方法；第二步：从98件正品中任取2件，有种方法．根据分步计数原理知，不同的抽取方法共有＝2×4
753＝9
506(种)．(3)法一(直接分类法)．抽出的3件中至少有一件是次品的这件事，分为两类．第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有种；第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有种．根据分类计数原理，不同的抽法共有+=9
604(种)
．法二(间接法)．从100件产品中任取3件的抽法，有C3100种，其中抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有―=9
604(种)
．点评：(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．巩
固　(1)某人决定投资3种股票和4种债券，经纪人向他推荐了6种股票和5种债券，则此人不同的投资方式有____种．(2)某高中学生会由6名男生和4名女生组成．从男生和女生中各选2名学生去“阳光敬老院”进行某项社会调查，共有____种不同的选法解析：(1)完成这件事分两步：第一步，根据经纪人的推荐在6种股票中选3种，共有C种选法；第二步，根据经纪人的推荐在5种债券中选4种，共有C种选法．根据分步乘法计数原理，此人有C×C＝100种不同的投资方式．
(2)完成这件事分两步：第一步从6名男生中任选2名学生，共有C＝15种不同的选法；第二步从4名女生中任选2名学生，共有C＝6种不同的选法．由分步乘法计数原理得，共有15×6＝90种不同的选法．答案：(1)100　(2)90题型五　有限制条件的组合问题例5　某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)抽调的6名专家中至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)抽调的6名专家中至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
解析：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C·C种选法；②选3名外科专家，共有C·C种选法；③选4名外科专家，共有C·C种选法．根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有C－C·C－C＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C种选法；②有1名外科专家参加，有C·C种选法；③有2名外科专家参加，有C·C种选法．所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．点评：解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此．此时正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．巩
固　高一、高二、高三年级共30个班，每个年级10个班，每班有一支球队．现举行篮球比赛．首先每个年级中各队进行单循环比赛，然后将各年级的前3名集中起来进行第二轮比赛．在第二轮比赛中，除了在第一轮中已经赛过的两队外，每队要和其他队赛一场，那么先后共比赛多少场？分析：两轮比赛的场次，可按每轮比寒的场次来求解．但第二轮中，特殊条件是第一轮比赛中赛过的，不再打比赛，应用加法原理．比较难考虑，分类层次难掌握，这时可考虑间接法，即把问题变成无限制条件，减去不符合条件的就是符合条件的．解析：各年级进行单循环赛，一共比赛3C＝135(场)．在第二轮比赛中，若无限制，共需比赛C＝36(场)，但在第一轮中已赛过的球队共赛了3C＝9(场)．所以，先后一共比赛场数为135＋36－9＝162(场)．题型六　几何问题中的组合问题例6　
(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解析：(1)正方体8个顶点可构成
个四点组，其中共面的四点组是正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点，故可确定四面体－12＝58(个)．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12＝48(个)．点评：解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题一样，只要将图形中隐含的条件准确理解，分析有哪些限制条件．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．巩
固　如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有____个．解析：有一个顶点在圆内的有：C(C－4)＝248(个)；有两个顶点在圆内的有：C(C－2)＝60(个)；三个项点均在圆内的有：C＝4(个)．所以共有248＋60＋4＝312(个)．答案：312（组合一）A组1．下列问题是排列问题还是组合问题？(1)A，B，C，D，E五个人在假期里约定互通一封信，总共要写多少封信？________(2)A，B，C，D，E五个人在假期里约定互通一次电话，他们总共通几次电话？________(3)一个班里有35名同学，要选三个代表去参加会议，有几种选法？________(4)过平面上五点(无三点共线)中的任意两点，可作多少条不同的直线？________答案：排列，组合，组合，组合.2．从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的方法有(　　)A．3种
B．4种
C．6种
D．24种解析：从4名同学中选出3人，是从4个元素中选出3个元素的组合，所以方法数共有C＝4种．故选B.答案：B3．若，则x的值是________．答案：2或44．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(　　)A．20条
B．15条
C．12条
D．10条答案：DB组一、选择题1．下列计算结果为21的是(　　)A．A＋C
B．C
C．A
D．C解析：由计算可知C＝＝21.故选D.答案：D2．将甲、乙、丙三名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为(　　)A．8种
B．6种
C．4种
D．3种解析：不同的分法是：(甲丙、乙)，(乙、甲丙)，(乙丙、甲)，(甲、乙丙)，共4种不同的分法．故选C.答案：C3．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法的种数是(　　)A.
12种
B．6种
C．5种
D．4种解析：因为甲必须参加，所以只有从甲之外的4人再选2人即可，故共有C＝6种选法．故选B.答案：B4．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是(　　)A.
B．
C．
D．答案：A5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法有(　　)A．40种
B．60种
C．100种
D．120种解析：分步：第一步，从5人中选2人在星期五，有种．第二步，从剩下3人中选1人在星期六，有种．第三步，从剩下2人中选1人在星期日，有种．由分步计数原理知：共有??=60(种)
．答案：B二、填空题6．__________．解析：7．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB型时，子女一定不是O型，若某人的血型为O型，则父母血型所有可能情况有______种．解析：父母应为A或B或O，C·C＝9(种)．答案：98．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有______种．答案：34三、解答题9．解不等式：2C
<
3C.解析：因为2C<3C，所以2C<3C，所以＜3×，所以<，所以x＜，因为所以x≥2，所以2≤x<，又x∈N
，所以x＝2,3,4,5.所以不等式的解集为{2,3,4,5}．10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点．(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解析：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有＝＝45(条)．即以10个点中的2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有＝10×9＝90(条)．即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．（组合二）
A组1．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有(　　)A．12种　　
B．18种　
C．36种　　
D．54种解析：∵先从3个信封中选一个放1,2，有3种不同的选法，再从剩下的4个号中选两个放入一个信封有C＝6种，余下的放入最后一个信封，∴共有3C＝18(种)．答案：B2．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)A．60种
B．63种
C．65种
D．66种解析：和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C＝1种，取2奇数2偶数的取法有C·C＝60种，取4个数均为奇数的取法有C＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．答案：D3．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，不同的取法有(　　)A．140种
B．84种
C．70种
D．35种答案：CB组一、选择题1．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同取法有(　　)A．27种
B．24种
C．21种
D．18种
解析：分两类：一类是2个白球有C＝15种取法，另一类是2个黑球有C＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．故选C.答案：C2．计算：C＋C＋C＋C＝(　　)A.
120
B．150
C.
180
D．210解析：根据公式C＋C＝C知，原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝210.故选D.答案：D3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(　　)A．30种
B．35种
C．42种
D．48种解析：分两类，A类选修课选1门，B类选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有C·C＋C·C＝30
种选法．答案：A4．如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有(　　)A．11种
B．20种C．21种
D．12种解析：若前两个开关只接通一个，则后一个有C＋C＋C＝7(种)，此时有2×7＝14(种)，若前两个开关接通两个，则后一个有C＋C＋C＝7(种)，所以总共有14＋7＝21(种)．故选C.答案：C5．假设200件产品中有3件次品，现在从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　)A．种
B．种C．种
D．种解析：直接法种；间接法种.答案：B二、填空题6．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有____种．解析：需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空中，所以关灯方案共有C＝120(种)．答案：1207．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．答案：328．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数字作答)．解析：分类：第一类：从A，B，C中选1门，从另6门中选3门，共有
(种)．第二类：从6门中选4门，有
(种)．由加法原理知，共有：+=75
(种)．答案：75三、解答题9．已知平面M内有4个点，平面N内有5个点，则这九个点最多能确定：(1)多少个平面？(2)多少个四面体？分析：(1)空间中不共线的三点确定一个平面．(2)空间中不共面的四点确定一个四面体．解析：(1)可分三类．第一类：平面M中取一点，N中取两点，最多可确定C·C个；第二类：平面M中取两点，N中取一点，最多可确定CC个；第三类：平面M和平面N，共2个．故最多可确定平面C·C＋C·C＋2＝72(个)．(2)法一(直接分类法)　分三类．第一类：平面M内取一个点，N内取三个点，最多可确定C·C个．第二类：平面M内取两个点，N内取两个点，最多可确定C·C个．第三类：平面M内取三个点，N内取一个点，最多可确定C·C个．故最多可确定平面C·C＋C·C＋C·C＝120(个)．法二(间接法)　C－C－C＝120(个)．10．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？解析：(1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44＝256(种)．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，有C种，再将4个球分成2,1,1的三组，有C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理，共有放法：CCCA＝144(种)．(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．
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