新人教A版高中数学必修第二册：二项式定理
文档属性
| 名称 | 新人教A版高中数学必修第二册：二项式定理 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 509.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-20 21:07:19 | ||
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文档简介
授课主题
二项式定理
教学目标
1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理与二项展开式解决有关的简单问题．
教学内容
二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理．二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是：①各项的次数都等于二项式的幂指数．②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．几点需注意的问题①通项是的展开式的第项，这里．②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．题型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)用二项式定理展开4＝________；(2)设S＝(x－1)4＋4×2(x－1)3＋6×4(x－1)2＋4×8(x－1)＋16，根据二项式定理得S＝( )A．(x＋2)4
B．(x－1)4C．x4
D．(x＋1)4解析：(1)法一 4＝1＋Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3＋4＝1＋＋＋＋.法二 4＝4(x＋1)4＝4(x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋1)＝1＋＋＋＋.(2)S＝C(x－1)4＋C(x－1)3×21＋C(x－1)2×22＋C(x－1)×23＋C24＝[(x－1)＋2]4＝(x＋1)4.故选D.答案：(1)1＋＋＋＋ (2)D点评：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．巩
固 化简：(1)1＋2C＋4C＋…＋2nC；(2)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解析：(1)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.(2)原式＝(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2
＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.题型二 求二项式展开式中的特定项例2 已知二项式10.(1)求展开式第四项的二项式系数；(2)求展开式第四项的系数．解析：10的展开式的通项是T＝C
(3)10－k·k
(k＝0,1，…，10)．(1)展开式的第四项的二项式系数为＝120.(2)展开式的第四项的系数为·373＝－77
760.点评：分组(或分配)问题，要注意是“平均分组”，还是“不平均分组”，以及这两种分组之间的关系．巩
固 若二项式n的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x6的系数为________(用数字作答)．解析：由题意可得，C＝C，解得n＝9.因为9的展开式的通项为Tr＋1＝rCx9－rx－＝rCx9－，令9－＝6，解得r＝2.此时的系数为2C＝9.答案：9题型三 展开式通项的应用例3 已知
n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．分析：首先由“前三项系数的绝对值成等差数列”，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的要求解答每一问．每问都与二项展开式的通项公式有关．解析：(1)证明 由题意得：2C·＝1＋C·2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8
(n＝1舍去)．∴Tk＋1＝C()8－k·k＝k·C＝(－1)k·
(0≤k≤8，k∈Z)．若Tk＋1是常数项，则＝0，即16－3k＝0，∵k∈Z，这不可能，
∴展开式中没有常数项．(2)解 由(1)知，若Tk＋1是有理项，当且仅当为整数，∴0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.点评：根据通项公式求二项展开式的某些项，要理解并准确应用项的特征，合并通项中同一字母的指数；若通项中含有根式，可把根式化为分数指数幂．巩
固 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )A．5
B．6C．7
D．8解析：由题知a＝C，b＝C，所以13C＝7C，即＝，解得m＝6，故选B.答案：B一、选择题1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是__________.解析：答案：2．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)1＋1，则S等于( )A．(x－1)3
B．(x－2)3C．x3
D．(x＋1)3解析：.
故选C.答案：C3．5展开式中的常数项为( )A．80
B．－80C．40
D．－40解析：，令10－5r＝0得r＝2.所以有常数项为.答案：C4．(x＋1)4的展开式中，x2的系数为( )A．4
B．6
C．10
D．20解析：由通项公式得
T3＝Cx2＝6x2.答案：B5.7的展开式中，倒数第三项的系数是( )A．
B．
C．
D．
解析：其展开共8项，所求项为第6项.答案：C6.5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )A．－1
B.
2
C．1
D.解析：由二项式定理，得Tr＋1＝Cx5－rr＝Cx5－2rar，所以5－2r＝3，所以r＝1，所以Ca＝10，得a＝2.
故选B.答案：B7．
(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )A．56
B．84
C．112
D．168解析：(1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.故选D.答案：D8．若(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，则a0＝( )A．1
B．32
C．－1
D．－32解析：因为(x＋1)5＝[2＋(x－1)]5＝C25＋C24(x－1)＋…＋C(x－1)5，又(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，故a0＝C25＝32，故选B.答案：B二、填空题9.8的展开式中x2的系数为______．解析：
∵Tr＋1
＝C·x8－rr＝·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3.∴x2的系数为＝7.答案：710．在5的二项展开式中，第4项的系数为________．解析：在5的二项展开式中，由通项公式求得第4项为T4＝C(4x2)·3＝－，所以第4项的系数为－40.答案：－4011．9192除以100的余数是__________．答案：81三、解答题12．将二项式n展开：(1)若展开式中含有常数项，求最小的正整数n；(2)若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式的常数项．解析：(1)通项公式为Tr＋1＝Cxrx－＝Crx，令＝0，得n＝2r.∵n∈N
，r∈N，∴n的最小值为2.(2)∵n的展开式的前三项系数的绝对值为1，n，，∴2×n＝1＋，∴n2－9n＋8＝0.∴n＝8或n＝1(舍去)．设展开式中的常数项为第r＋1项，∴Tr＋1＝C()8－r·r＝Cr·x，令＝0，得r＝4，∴展开式中的常数项为T5＝C·4＝.13．求(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数．分析：转化为二项式问题或利用组合知识．解析：法一 ∵(x2＋3x＋2)5＝(x＋2)5·(x＋1)5＝(Cx5＋Cx4·2＋…＋C·25)(Cx5＋Cx4＋…＋C)，展开后x项为Cx·24·C＋C·25·Cx＝240x.∴(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为240.法二 ∵(x2＋3x＋2)5＝[x2＋(3x＋2)]5，设Tr＋1＝C(x2)5－r(3x＋2)r，在(3x＋2)r中，设Tk＋1＝C(3x)r－k2k，Tr＋1＝C(x2)5－rC(3x)r－k2k＝CC3r－k2kx10－r－k，依题意可知10－r－k＝1，即r＋k＝9.又0≤k≤r≤5，r，k∈N
，∴r＝5，k＝4.∴Tr＋1＝C·C·3·24·x＝240x.∴(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为240.法三 把(x2＋3x＋2)5看成5个x2＋3x＋2相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x,4个因式取2得到，C3x·C·24＝240x.故(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为240.点评：三项式求特定项的思路有：(1)分解因式法：通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后再用二项式定理分别展开．(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开．(3)利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项相合并．一、选择题1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)100的展开式的各项系数之和为( )A．199
B．2100－1C．2101－1
D．2100答案：C
2．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝( )A．8
B．9
C．10
D．11解析：由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10.
故选C.答案：C3．设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )A．0
B．1
C．6
D．15解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.答案：B4．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A．n，n＋1
B．n－1，nC．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3答案：C5．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝( )A．256
B．136
C．120
D．16解析：在展开式中令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256.故选A.答案：A6．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )A．－3
B．－2
C．2
D．3解析：第一个因式取x2，第二个因式取，得1×C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5，得2×(－1)5＝－2.所以展开式的常数项为5＋(－2)＝3，故选D.答案：D7．(1＋x＋x2＋x3)4的展开式中，奇次项系数和是( )A．64
B．128
C．120
D．256答案：B8．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为
( )A．5
B．8
C．10
D．15解析：(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.
故选A.答案：A二、填空题9．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小项是________．解析：在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝Ca5(－b)5＝－252a5b5.答案：－252a5b510．若n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：因为n的展开式的二项式系数之和为64，所以2n＝64，所以n＝6，由二项式定理的通项公式可知Tr＋1＝C(2)6－rr＝26－r(－1)rCx3－r，当r＝3时，展开式的常数项为23(－1)3C＝－160.答案：－16011．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|
a0|＋|
a1|＋|
a2|＋…＋|
a9|＝________.答案：49三、解答题12．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解析：由题意知，C＋C＋C＝121，即C＋C＋C＝121，所以1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0，解得：n＝15或－16(舍去)．所以在(1＋3x)n展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝C(3x)7＝C37x7，T9＝C(3x)8＝C38x8.13．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n-1能被31整除(n∈N
)；(2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数．解析：(1)证明：1＋2＋22＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C×31n＋C31n－1＋…＋C×31＋C－1＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然上式括号内为整数，故原式能被31整除．(2)解析：S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数．故S除以9的余数是7.
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二项式定理
教学目标
1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理与二项展开式解决有关的简单问题．
教学内容
二项式定理这个公式表示的定理叫做二项式定理．二项式系数、二项式的通项叫做的二项展开式，其中的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：．二项式展开式的各项幂指数二项式的展开式项数为项，各项的幂指数状况是：①各项的次数都等于二项式的幂指数．②字母的按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零，字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到．几点需注意的问题①通项是的展开式的第项，这里．②二项式的项和的展开式的第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换的．③注意二项式系数（）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项公式是（只须把看成代入二项式定理）这与是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是，但项的系数一个是，一个是，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设，则得公式：．
⑥通项是中含有五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当不是很大，比较小时可以用展开式的前几项求的近似值．题型一 二项式定理的正用、逆用例1 (1)用二项式定理展开4＝________；(2)设S＝(x－1)4＋4×2(x－1)3＋6×4(x－1)2＋4×8(x－1)＋16，根据二项式定理得S＝( )A．(x＋2)4
B．(x－1)4C．x4
D．(x＋1)4解析：(1)法一 4＝1＋Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3＋4＝1＋＋＋＋.法二 4＝4(x＋1)4＝4(x4＋Cx3＋Cx2＋Cx＋1)＝1＋＋＋＋.(2)S＝C(x－1)4＋C(x－1)3×21＋C(x－1)2×22＋C(x－1)×23＋C24＝[(x－1)＋2]4＝(x＋1)4.故选D.答案：(1)1＋＋＋＋ (2)D点评：解决这一问题的关键是弄清二项式展开式左右两边的结构特征，这样我们就能够将一个二项式展开，若一个多项式符合二项展开式右边的结构特征，我们也能够将它表示成左边的形式．巩
固 化简：(1)1＋2C＋4C＋…＋2nC；(2)(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．解析：(1)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n.(2)原式＝(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2
＋C(x－1)＋C－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.题型二 求二项式展开式中的特定项例2 已知二项式10.(1)求展开式第四项的二项式系数；(2)求展开式第四项的系数．解析：10的展开式的通项是T＝C
(3)10－k·k
(k＝0,1，…，10)．(1)展开式的第四项的二项式系数为＝120.(2)展开式的第四项的系数为·373＝－77
760.点评：分组(或分配)问题，要注意是“平均分组”，还是“不平均分组”，以及这两种分组之间的关系．巩
固 若二项式n的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x6的系数为________(用数字作答)．解析：由题意可得，C＝C，解得n＝9.因为9的展开式的通项为Tr＋1＝rCx9－rx－＝rCx9－，令9－＝6，解得r＝2.此时的系数为2C＝9.答案：9题型三 展开式通项的应用例3 已知
n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．分析：首先由“前三项系数的绝对值成等差数列”，得到关于n的方程，解得n的值，然后根据题目的要求解答每一问．每问都与二项展开式的通项公式有关．解析：(1)证明 由题意得：2C·＝1＋C·2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8
(n＝1舍去)．∴Tk＋1＝C()8－k·k＝k·C＝(－1)k·
(0≤k≤8，k∈Z)．若Tk＋1是常数项，则＝0，即16－3k＝0，∵k∈Z，这不可能，
∴展开式中没有常数项．(2)解 由(1)知，若Tk＋1是有理项，当且仅当为整数，∴0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.点评：根据通项公式求二项展开式的某些项，要理解并准确应用项的特征，合并通项中同一字母的指数；若通项中含有根式，可把根式化为分数指数幂．巩
固 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )A．5
B．6C．7
D．8解析：由题知a＝C，b＝C，所以13C＝7C，即＝，解得m＝6，故选B.答案：B一、选择题1．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是__________.解析：答案：2．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)1＋1，则S等于( )A．(x－1)3
B．(x－2)3C．x3
D．(x＋1)3解析：.
故选C.答案：C3．5展开式中的常数项为( )A．80
B．－80C．40
D．－40解析：，令10－5r＝0得r＝2.所以有常数项为.答案：C4．(x＋1)4的展开式中，x2的系数为( )A．4
B．6
C．10
D．20解析：由通项公式得
T3＝Cx2＝6x2.答案：B5.7的展开式中，倒数第三项的系数是( )A．
B．
C．
D．
解析：其展开共8项，所求项为第6项.答案：C6.5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于( )A．－1
B.
2
C．1
D.解析：由二项式定理，得Tr＋1＝Cx5－rr＝Cx5－2rar，所以5－2r＝3，所以r＝1，所以Ca＝10，得a＝2.
故选B.答案：B7．
(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )A．56
B．84
C．112
D．168解析：(1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.故选D.答案：D8．若(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，则a0＝( )A．1
B．32
C．－1
D．－32解析：因为(x＋1)5＝[2＋(x－1)]5＝C25＋C24(x－1)＋…＋C(x－1)5，又(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，故a0＝C25＝32，故选B.答案：B二、填空题9.8的展开式中x2的系数为______．解析：
∵Tr＋1
＝C·x8－rr＝·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3.∴x2的系数为＝7.答案：710．在5的二项展开式中，第4项的系数为________．解析：在5的二项展开式中，由通项公式求得第4项为T4＝C(4x2)·3＝－，所以第4项的系数为－40.答案：－4011．9192除以100的余数是__________．答案：81三、解答题12．将二项式n展开：(1)若展开式中含有常数项，求最小的正整数n；(2)若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式的常数项．解析：(1)通项公式为Tr＋1＝Cxrx－＝Crx，令＝0，得n＝2r.∵n∈N
，r∈N，∴n的最小值为2.(2)∵n的展开式的前三项系数的绝对值为1，n，，∴2×n＝1＋，∴n2－9n＋8＝0.∴n＝8或n＝1(舍去)．设展开式中的常数项为第r＋1项，∴Tr＋1＝C()8－r·r＝Cr·x，令＝0，得r＝4，∴展开式中的常数项为T5＝C·4＝.13．求(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数．分析：转化为二项式问题或利用组合知识．解析：法一 ∵(x2＋3x＋2)5＝(x＋2)5·(x＋1)5＝(Cx5＋Cx4·2＋…＋C·25)(Cx5＋Cx4＋…＋C)，展开后x项为Cx·24·C＋C·25·Cx＝240x.∴(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为240.法二 ∵(x2＋3x＋2)5＝[x2＋(3x＋2)]5，设Tr＋1＝C(x2)5－r(3x＋2)r，在(3x＋2)r中，设Tk＋1＝C(3x)r－k2k，Tr＋1＝C(x2)5－rC(3x)r－k2k＝CC3r－k2kx10－r－k，依题意可知10－r－k＝1，即r＋k＝9.又0≤k≤r≤5，r，k∈N
，∴r＝5，k＝4.∴Tr＋1＝C·C·3·24·x＝240x.∴(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为240.法三 把(x2＋3x＋2)5看成5个x2＋3x＋2相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x,4个因式取2得到，C3x·C·24＝240x.故(x2＋3x＋2)5展开式中x的系数为240.点评：三项式求特定项的思路有：(1)分解因式法：通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后再用二项式定理分别展开．(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开．(3)利用组合知识：把三项式看成几个一次项的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后应把各个同类项相合并．一、选择题1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)100的展开式的各项系数之和为( )A．199
B．2100－1C．2101－1
D．2100答案：C
2．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝( )A．8
B．9
C．10
D．11解析：由题意(1＋x)n展开式中，x5的系数就是第6项的二项式系数，因为只有它是二项式系数中最大的，所以n＝10.
故选C.答案：C3．设(x＋2)(2x＋3)10＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )A．0
B．1
C．6
D．15解析：令x＝－1，则1＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，故选B.答案：B4．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A．n，n＋1
B．n－1，nC．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3答案：C5．设(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若n＝4，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝( )A．256
B．136
C．120
D．16解析：在展开式中令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝44＝256.故选A.答案：A6．(x2＋2)5的展开式的常数项是( )A．－3
B．－2
C．2
D．3解析：第一个因式取x2，第二个因式取，得1×C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5，得2×(－1)5＝－2.所以展开式的常数项为5＋(－2)＝3，故选D.答案：D7．(1＋x＋x2＋x3)4的展开式中，奇次项系数和是( )A．64
B．128
C．120
D．256答案：B8．若(x＋3y)n展开式的系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为
( )A．5
B．8
C．10
D．15解析：(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.
故选A.答案：A二、填空题9．在(a－b)10的二项展开式中，系数最小项是________．解析：在(a－b)10的二项展开式中，奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数，因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以系数最小的项为T6＝Ca5(－b)5＝－252a5b5.答案：－252a5b510．若n的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：因为n的展开式的二项式系数之和为64，所以2n＝64，所以n＝6，由二项式定理的通项公式可知Tr＋1＝C(2)6－rr＝26－r(－1)rCx3－r，当r＝3时，展开式的常数项为23(－1)3C＝－160.答案：－16011．已知(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|
a0|＋|
a1|＋|
a2|＋…＋|
a9|＝________.答案：49三、解答题12．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解析：由题意知，C＋C＋C＝121，即C＋C＋C＝121，所以1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0，解得：n＝15或－16(舍去)．所以在(1＋3x)n展开式中二项式系数最大的项是第8、9两项，且T8＝C(3x)7＝C37x7，T9＝C(3x)8＝C38x8.13．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n-1能被31整除(n∈N
)；(2)求S＝C＋C＋…＋C除以9的余数．解析：(1)证明：1＋2＋22＋…＋25n－1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝C×31n＋C31n－1＋…＋C×31＋C－1＝31(C×31n－1＋C×31n－2＋…＋C)，显然上式括号内为整数，故原式能被31整除．(2)解析：S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2＝9(C×98－C×97＋…＋C－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数．故S除以9的余数是7.
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