新人教A版高中数学必修第二册：离散型随机变量、两点分布，超几何分布

授课主题
离散型随机变量、两点分布、超几何分布
教学目标
1．在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量、概率分布的概念．2．知道随机变量的某些函数也是随机变量，随机变量的一次函数也是随机变量．3．进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.
4．理解两点分布和超几何分布，运用两点分布、超几何分布研究有关随机变量的概率．
教学内容
随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着实验结果变化而变化的量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．例如：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量.
其值域是{0,1,2,3,4}，{X＝0}表示抽出0件次品；{X＝1}表示抽出1件次品；{X＜3}表示抽出0或1或2件次品．
概率分布列一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi
≥
0，i＝1,2,3，…，n；(2).
两点分布如果随机变量的分布列为其中，，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．两点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足点分布．两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．超几何分布一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为，为和中较小的一个．我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列．题型一　用随机变量描述随机现象例1　①某座大桥一天经过的小轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是(　　)A．①②③④
B．①②④C．①③④　
D．②③④解析：③中一天内的温度不能把其取值一一列出，不是离型随机变量．答案：B点评：随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值．巩
固　下列命题中，正确的个数是(　　)①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量．A．1个
B．2个
C．3个
D．4个解析：由随机变量的概念知四个命题都正确，故选D.答案：D题型二　离散型随机变量的判断项例2　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；(3)某林场树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；(4)某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差．解析：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球，2个白球和1个黑球，1个白球和2个黑球，3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．(4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．点评：该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出．巩
固　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)节能灯的寿命ξ；(2)老张通常在早晨6：30－6：50之间出门乘地铁上班，那么老张出门上班的时间ξ；(3)佛山市西江水位监测站所测水位在(0,35]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ；(4)某班有23名男生，17名女生，从中选出5人参加学校的某项活动，其中所含女生的人数ξ.解析：(1)节能灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．(2)老张在6：30－6：50之间的任何时间都可能出发，所以出门上班时间不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量．因为水位在(0,35]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．(4)是离散型随机变量．从40人中选出5人，所得的结果有以下几种：5个男生；4个男生和1个女生；3个男生和2个女生；2个男生和3个女生；1个男生和4个女生；5个女生．即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．题型三　随机变量的取值例3　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.分析：(1)任取5个球时可能0白5红，1白4红，2白3红，3白2红；(2)任取3球最大号码可能为3,4,5.解析：(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；X＝4表示取出的球编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.点评：本题容易忽视共3个白球，出现4白1红等情况．随机变量与试验所产生的随机事件是一种对应关系，因此准确地列出随机试验所产生的所有随机事件是正确写出随机变量取值的前提．巩
固　请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η.(2)从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ．解析：(1)ξ可取1,2,3.{ξ＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1,2,3.η可取0,1,2.{η＝i}表示取出i支红粉笔，3－i支白粉笔，其中i＝1,2,3.(2)ξ
可取3,4,5,6,7.其中，{ξ＝3}表示取出分别标有1,2的两张卡片；{ξ＝4}表示取出分别标有1,3的两张卡片；{ξ＝5}表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；{ξ＝6}表示取出分别标有2,4的两张卡片；{ξ＝7}表示取出分别标有3,4的两张卡片．题型四　随机变量的确定例4　在对电灯泡的寿命测试中，若规定寿命在1
500小时以上的灯泡为一等品，寿命在1
000到1
500之间的为二等品，寿命在1
000小时之下的为不合格品，如果按灯泡是否为合格品，应如何定义随机变量？若按是否为一等品，二等品或不合格品，应如何定义随机变量？如果我们只关心灯泡的使用寿命，应如何定义随机变量？解析：当关心“灯泡是否为合格品”时，可定义随机变量X＝当关心“灯泡是否为一等品，二等品或不合格品”时，可定义随机变量Y＝当关心“灯泡的使用寿命”时，可定义随机变量Z＝点评：灯泡的使用寿命是连续变量不是随机变量，而将使用寿命分为几个时间段，则可以用随机变量表示了．对于“灯泡是否合格”，设X＝其含义是，灯泡为不合格品时，取X＝0；灯泡为合格品时，取X＝1.也可以表示为X＝巩
固　在掷骰子试验中，随机变量的值域是什么？如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应如何定义随机变量？解析：随机变量的值域为{1,2,3,4,5,6}．
可以这样定义随机变量Y＝题型五　离散型随机变量的分布列的性质用例5　设随机变量X的概率分布P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.分析：根据概率分布列的第二条性质求出a，再根据随机变量取值表示的事件是互斥事件求出P及P.解析：(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.(2)因为X的概率分布列为P＝k(k＝1,2,3,4,5)，∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.(3)因＜X＜，只有X＝，，时满足，故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.点评：概率分布列的有关性质是对求概率分布列进行检验或对有关参数进行求值的依据，P(x1＜X＜x2)表示在(x1，x2)内X所有取值的概率的和．巩
固　随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，其中c为常数，则P(ξ≥2)＝(　　)A.
B.
C.
D.
解析：由P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，可知＋＋＝1，解得c＝.故P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝1)＝1－＝1－×＝，故选C.答案：C题型六　求离散型随机变量的分布列例6　一个正四面体玩具的四个面分别标有数字1,2,3,4，将这个玩具连续抛掷两次，记与桌面接触的面的数字之和为ξ，求ξ的分布列．解析：ξ的可取的值为2,3,4,5,6,7,8.将这个玩具连续抛掷两次，所以可能事件总数有4×4＝16个，根据古典概率的计算公式得P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝，P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝.所以，所求的ξ的分布列为：ξ2345678P(ξ)点评：(1)求离散型随机变量的分布列关键是搞清离散型随机变量X取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值的概率，最后列出分布列．(2)求离散型随机变量X的分布列的步骤是：①确定X的所有可能的取值；②求相应的概率P(X＝xi)＝pi；③列成表格的形式．巩
固　将一颗骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列.解析：将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36(种)等可能的基本事件，其最大点数ξ可能取的值为1,2,3,4,5,6.P(ξ＝1)＝，用(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y，则ξ＝2包含三个基本事件(1,2)，(2,1)，(2,2)，则P(ξ＝2)＝＝.同理可求P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝.故ξ的分布列为：ξ123456P题型七　两点分布例7　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出两球，记X＝求X的分布列．解析：由题设可知X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，∴P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－＝.∴X的分布列为：X01P点评：两点分布的适用范围：(1)研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；(2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律．如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等．巩
固　一个袋子中有形状大小完全相同的3个黑球和4个白球．(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出黑球，用1表示摸出白球，即X＝求X的分布列．(2)从中任意摸出两个球，用“ξ＝0”表示两个球全是黑球，用“ξ＝1”表示两个球不全是黑球，求ξ的分布列解析：(1)X符合两点分布，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，分布列如下表：X01P(2)ξ符合两点分布，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，分布列如下表：ξ01P题型八　超几何分布例8　在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析：(1)从10件产品中取出3件，这3件产品中恰有k件一等品的概率P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．所以，随机变量X的分布列是：X0123P(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A，“恰好取出2件一等品”为事件A，“恰好取出3件一等品”为事件A，则A＝A∪A∪A，且A，A，A为两两互斥事件．又P(A)＝eq
\f(C·C,C)＝，P(A)＝P(X＝2)＝，P(A)＝P(X＝3)＝.所以，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A)＋P(A)＋P(A)＝＋＋＝．点评：超几何分布的理解：(1)超几何分布的模型是不放回抽样．(2)超几何分布中的参数是M，N，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．巩
固　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.解析：(1)ξ可能取的值为0,1,2.P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2，所以ξ的分布列为ξ012P(2)由(1)知“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.A组1．随机变量X的分布列如下，则m＝(　　)X1234PmA.　　　　B.　　　　C.　　　　D.答案：D2．如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是(　　)A．ξ取每个可能值的概率是非负实数B．ξ取所有可能值的概率之和为1C．ξ取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D．ξ取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率之和答案：D3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝mk，k＝1,2,3，则m的值为(　　)A.
B.
C.
D.解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.故选B.答案：BB组一、选择题1．若随机变量ξ的概率分布列如下表所示，则表中a的值为(　　)ξ1234PaA.1　　　
B.　　　
C.　　　
D.答案：D2．下列A，B，C，D四个表，其中能成为随机变量ξ的分布列的是(　　)A.ξ01P0.60.3B.ξ012P0.902
50.0950.002
5C.ξ012…nP…D.ξ012…nP·eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2…eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n解析：对于表A，由于0.6＋0.3＝0.9＜1，故表A不能成为随机变量ξ的分布列；仿上可知，对于表C，有＋＋＋…＋＝1－＜1，故表C不能成为随机变量ξ的分布列；对于表D，知＋·＋·2＋…＋·n＝·＝1－n＋1＜1，故表D不能成为随机变量ξ的分布列；对于表B，由于0.902
5＋0.095＋0.002
5＝1，故表B可以成为随机变量ξ的分布列．答案：B3．一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任抽两件，则出现2件次品的概率为(　　)A.
B.
C.
D.
以上都不对解析：P(X＝2)＝＝＝.故选A.答案：A4．已知离散型随机变量X的分布列如图所示，则常数c为(　　)X01P9c2－c3－8cA.
B.
C.或
D.解析：根据离散型随机变量分布列的两条基本性质可得，解得c＝.故选A.答案：A5．某12人的兴趣小组中，
有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是(　　)A．P(ξ＝2)
B．P(ξ＝3)
C．P(ξ≤2)
D．P(ξ≤3)答案：B二、填空题6．抛掷两次骰子，两次点数的和不等于10的概率为________．解析：两次点数之和等于10的有3种：4＋6,5＋5,6＋4，所以两次点数之和等于10的概率为P(ξ＝10)＝＝，所以两次点数之和不等于10的概率为1－P(ξ＝10)＝.答案：7.一盒中有12个大小、形状完全相同的小球，其中9个红的，3个黑的，从盒中任取3球，x表示取出的红球个数，P(X＝1)的值为________．解析：由题意知，取出3球必是1个红球2个黑球，故P(X＝1)＝＝.答案：8.
随机变量ξ等可能取值为1,2，…，n，n∈N
，若P(ξ<4)＝0.3，则n＝________.解析：P(ξ<4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＝0.3，解得n＝10.答案：10三、解答题9．将一枚骰子掷两次，第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差为ξ，求ξ的分布列．分析：分第一次掷出的点数和第二次掷出的点数，有先后顺序，故ξ可能的取值为－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，求出对应的概率值，列表即可．解析：由题意，第一次掷出的点数与第二次掷出的点数的差依次为：－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5，则P(ξ＝－5)＝，P(ξ＝－4)＝＝，…，P(ξ＝5)＝.故其分布列为：ξ－5－4－3－2－1012345P10．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列．解析：根据题意可知随机变量ξ的取值为3,4,5.当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1,2，故有P(ξ＝3)＝；当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球的编号只能在编号为1,2,3的三只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝；当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两球的编号为1,2,3,4的四只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝可得ξ的分布列为：ξ345P
A组1．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)A．P(0B．P(X≤1)
C．P(X＝1)
D．P(X＝2)解析：P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝P(X≤1)，故选B.答案：B2．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝(　　)A．0.8
B．0.2
C．0.4
D．0.1解析：因为Y＝3X－2，所以X＝(Y＋2)，当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.故选A.答案：A3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是(　　)A．都不是一等品
B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因为P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．故选D.答案：DB组一、选择题1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为(　　)A．1,2,3，…，6
B．1,2,3，…，7C．0,1,2，…，5
D．1,2，…，5答案：B2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(1B.
C.
D.解析：P(1B.
C.
D.解析：∵＋＋…＋＋m＝1，∴＋m＝1.∴m＝9＝.答案：C4．用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，这些数被2整除的概率是(　　)A.
B.
C.
D.解析：所求概率为：.答案：C5．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)，P(6＜ξ≤14)的值分别是(　　)A.
，
B.，
C.，
D.
，解析：P(ξ>8)＝×8＝，P(6<ξ≤14)＝×8＝.故选B.答案：B二、填空题6．随机变量ξ的分布列为：ξ012345P则ξ为奇数的概率为________．解析：ξ为奇数的概率为：P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝＋＋＝.答案：7．已知随机变量ξ的分布列为：ξ12345P0.10.20.40.20.1若η＝2ξ－3，则η的分布列为_________________________________________________．解析：η－11357P0.10.20.40.20.18．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布列为：ξ012P解析：P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.答案：0.1　0.6　0.3三、解答题9．从一批有10件合格品与3件次品的产品中，一件一件地抽取产品，每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品，直到取出合格品为止，求抽取次数ξ的分布列．解析：ξ的值取为1,2,3，…，n，…当ξ＝1时，即第一次就取到合格品，故P(ξ＝1)＝；当ξ＝2时，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，故P(ξ＝2)＝×；当ξ＝3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取到合格品，故P(ξ＝3)＝××＝2×；类似地，当ξ＝n时，即前n－1次均取到次品，而第n次取到合格品，故P(ξ＝n)＝n－1×，n＝1,2,3，…可得ξ的分布列为：ξ123…n…P×2×…n－1×…10.
盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；(2)随机变量ξ的概率分布．解析：(1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意ξ可能的取值为2,3,4,5，所以P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
所以随机变量ξ的概率分布为ξ2345P
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