新人教A版高中数学必修第二册：综合法与分析法

授课主题
综合法与分析法
教学目标
1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
教学内容
分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．分析法是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实．题型一　综合法的应用例1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明：证法一　∵a，b∈R＋且a＋b＝1，∴a＋b≥2.∴≤.∴＋＝＝≥4.证法二　∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2>0.＋≥2>0.∴(a＋b)≥4.又a＋b＝1，∴＋≥4.证法三　∵a，b∈R＋，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号．点评：综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法是中学数学证明中最常用的方法．综合法是从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法．综合法是一种由因导果的证明方法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：→→→…→巩
固　证明：＋＋＜2.证明：因为logab＝，所以左式＝log195＋2log193＋3log192＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360＜log19361＝2，所以
＋＋＜2.题型二　分析法的应用例2　求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为π2，正方形的面积为
2，因此本题只需证明π2＞2,
要证明上式成立，只需证明＞成立，即证明＞，两边同乘以，得＞，因为上式成立，所以π2＞2.所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大．点评：分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理方法．分析法是一种执果索因的证明方法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：→→→…→得到一个明显成立的结论巩
固　当a≥2时，求证：－＜－.分析：条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．证明：要证
－＜
－
，只需证
＋＜＋
，只需证(
＋)2<(
＋)2，只需证a＋1＋a－2＋2＜a＋a－1＋2，只需证
<
，只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)，只需证a2－a－2＜a2－a，只需证－2＜0，显然成立，所以－＜
－
.题型三　综合法与分析法的综合应用例3　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，求证：f为偶函数．证明：证法一　要证f为偶函数，只需证f的对称轴为x＝0，只需证－－＝0，只需证a＝－b.因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，即x＝－－1与x＝－关于y轴对称，所以－－1＝－.所以a＝－b.所以f为偶函数．证法二　要证f是偶函数，只需证f＝f.因为f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，所以f(－x)＝f(x＋1)，f＝f＝f＝f，所以f是偶函数．点评：综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路．在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．巩
固　若tan(α＋β)＝2tan
α，求证：3sin
β＝sin(2α＋β)．证明：由tan(α＋β)＝2tan
α，得＝，即sin(α＋β)cos
α＝2cos(α＋β)sin
α.要证3sin
β＝sin(2α＋β)，即证3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，即证3[sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α]＝sin(α＋β)cos
α＋
cos(α＋β)sin
α，化简得sin(α＋β)cos
α＝2cos(α＋β)sin
α.所以，命题成立．A组1．证明不等式＋<＋的最适合的方法是(　　)A．综合法
B．分析法C．间接证法
D．合情推理法解析：证明该不等式的最合适方法是分析法．故选B.答案：B2．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数是(　　)A．1个　
B．2个
C．3个　
D．4个解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．答案：B3．要证－<成立，a，b应满足的条件是(　　)A．ab<0且a>b
B．ab>0且a>bC．ab<0且aD．ab>0且a>b或ab<0且a0且b－a<0或ab<0，b－a>0.答案：DB组一、选择题1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有(　　)A．2个
B．3个
C．4个
D．5个答案：C2．在△ABC中，“·＞0”是“△ABC为锐角三角形”的(　　)A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件答案：B3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是(　　)A．m⊥l，m∥α，l∥β
B．m⊥l，α∩β＝m，l?αC．m∥l，m⊥α，l⊥β
D．m∥l，l⊥β，m?α解析：对于A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于C，这两个平面有可能平行或重合；对于D，根据面面垂直的判定定理知选项D是正确的，故选D.答案：D4．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是(　　)A．sin(α＋β)>sin
α＋sin
βB．sin(α＋β)>cos
α＋cos
βC．cos(α＋β)α＋sin
βD．cos(α＋β)α＋cos
β解析：取α＝30°，β＝30°，可知A，B不成立，取α＝β均趋近于0°，则α＋β→0°，此时cos(α＋β)→1，而sin
α→0，sin
β→0，显然C不成立．答案：D5．已知a、b是不相等的正数，x＝，y＝，则x、y的关系是(　　)A．x＞y
B．x＜yC．x＞y
D．不确定解析：因为x＞0，y＞0，要比较x，y的大小，只需比较x2，y2的大小，即比较与a＋b的大小，因为a、b为不相等的正数，所以2＜a＋b.所以＜a＋b，即x2＜y2，所以x＜y.故选B.答案：B二、填空题6．已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是________．解析：令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2，则由题意知f(1)＜0，即12＋(k－3)×1＋k2＜0，解得－2＜k＜1.答案：(－2,1)7．命题“若sin
α＋sin
β＋sin
γ＝0，cos
α＋
cos
β＋cos
γ＝0”，则cos(α－β)＝________.解析：条件变为sin
α＋sin
β＝－sin
γ，cos
α＋
cos
β＝－cos
γ，两式平方相加可推得结论cos(α－β)＝－.答案：－8．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是_______________．解析：用分析法，要证P0，－>1，求证：>.证明：由已知－>1及a
>
0可知0
<
b
<
1，要证>，只需证·>1，只需证1＋a－b－ab>1，只需证a－b－ab>0，即>1，即－>1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac.又a，b，c也成等差数列，∴b＝，代入上式得2＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C.而B＝，则A＝B＝C＝，从而△ABC为等边三角形．一、选择题1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.∵x>0，∴ex>1,0<<1∴ex－>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，他使用的证明方法是(　　)A．综合法　　　　　　　
B．分析法C．反证法
D．以上都不是[答案]　A[解析]　该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故应选A.2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0
B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0[答案]　C[解析]　要证0.只需证(2a＋b)(a－b)>0，只需证(a－c)(a－b)>0.故索的因应为C.3．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为(　　)A．p≥q
B．p≤qC．p>q
D．不确定[答案]　B[解析]　q＝≥＝＋＝p.4．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为(　　)A．A≤B≤C
B．A≤C≤BC．B≤C≤A
D．C≤B≤A[答案]　A[解析]　≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f≤f()≤f.5．对任意的锐角α、β，下列不等式关系中正确的是(　　)A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβB．sin(α＋β)＞cosα＋cosβC．cos(α＋β)＞sinα＋sinβD．cos(α＋β)0”是“P、Q、R同时大于零”的(　　)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]　C[解析]　首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.7．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)A．x<B．2xyD．x<2xy<x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<B．2个C．3个
D．4个[答案]　C[解析]　∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.9．若x，y∈R＋，且＋≤a恒成立，则a的最小值是(　　)A．2
B.C．2
D．1[答案]　B[解析]　原不等式可化为a≥＝＝要使不等式恒成立，只需a不小于的最大值即可．∵≤，当x＝y时取等号，∴a≥，∴a的最小值为.故应选B.10．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝，C(x)＝，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是(　　)①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)；④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．A．①③
B．②④C．①④
D．①②③④[答案]　D[解析]　∵S(x)＝，C(x)＝，∴S(x＋y)＝，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝·＋·＝＝＝.∴S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)同理：S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．应选D.二、填空题11．如果a＋b＞a＋b，则实数a、b应满足的条件是________．[答案]　a≥0，b≥0且a≠b[解析]　∵a＋b＞a＋b?(－)2(＋)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.12．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．[答案]　≤[解析]　∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．13．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是b>0，且a2＋＝1，则ab>a2b2；②a，b∈R，且ab<0，则≤－2；③a>b>0，m>0，则>；④≥4(x≠0)．其中正确不等式的序号为________．[答案]　①②④[解析]　①a>b>0，∴a≠∴a2＋＝1>2＝ab∴1－ab>0，∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0，∴ab>a2b2正确．②＋2＝∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2，②正确；③－＝∵a>b>0，m>0，∴b(b＋m)>0，b－a<0，∴<0，∴<，③不正确．④＝|x|＋≥4，④正确．三、解答题15．设a>0，b>0，a＋b＝1.求证：(1)＋＋≥8；(2)2＋2≥.[证明]　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2，≤，∴≥4.∴＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8，∴＋＋≥8.(2)∵≤，则≥2∴2＋2≥22＝≥≥.∴2＋2≥.16．已知a>b>0，求证<－<.[证明]　欲证<－<成立．只需证b>0，∴<1<成立．从而，有<－<.17．已知a、b、c表示△ABC的三边长，m＞0，求证：＋＞.[证明]　要证明＋＞只需证明＋－＞0即可∴＋－＝∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2∵△ABC中任意两边之和大于第三边∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0∴＋＞.18．若a，b，c为不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc.[证明]　要证lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc，只需证lg>lg(a·b·c)，即证··>abc.因为a，b，c为不全相等的正数，所以≥>0，≥>0，≥>0，且上述三式中等号不能同时成立．所以··>abc成立，所以lg＋lg＋lg>lga＋lgb＋lgc成立．
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