新人教A版高中数学必修第二册：离散型随机变量的方差与均值

授课主题
离散型随机变量的均值与方差
教学目标
1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值的概念．2．能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题．3．通过实例理解取有限值的离散型随机变量方差的概念．4．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
教学内容
离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)，i＝1,2,3，…，n.
E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.两点分布与二项分布的均值(1)如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p
(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.离散型随机变量的方差、标准差若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)＝(xi－E(X))2pi为X的方差，称σX＝为标准差．X的方差的意义：反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，刻画随机变量离散程度(集中程度)的量．离散型随机变量的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)，i＝1,2,3，…，n.
D(Y)＝a2D(X).两点分布与二项分布的方差(1)如果随机变量X服从两点分布，那么D(X)＝p(1－p).
(p为成功概率)．(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p).题型一　求离散型随机变量的均值例1　在甲、乙等6个单位参加的一次联谊演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与数学期望．解析：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数．(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.从而知ξ的分布列为：ξ01234P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.点评：求离散型随机变量的均值的步骤：①根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值；②求出ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④利用定义求出均值．巩
固　甲、乙两人进行围棋比赛，每盘比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定某人胜三盘则比赛结束．(1)求4盘结束比赛且甲获胜的概率；(2)求比赛盘数的均值(精确到0.1)．解析：(1)甲在前四盘中应三胜且负的一盘必须在第1或第2或第3盘，所以P＝C·2··＝；(2)X＝3,4,5，则P(X＝3)＝3＋3＝，P(X＝4)＝C·2··＋Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2··＝，P(X＝5)＝C24·2·2·＋C·2·2·＝.故E(X)＝3×＋4×＋5×＝≈4.0.点评：读懂题意是解答本题的关键．题型二　均值性质的应用例2　已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．解析：(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝.(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.(3)法一　由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.法二　由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.点评：对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．巩
固　已知随机变量X的分布列为：X123P且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，所以a＝－3.答案：－3题型三　均值在实际生活中的应用例3　某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲，乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？解析：(1)由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，所以这两人的累计得分X≤3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)，由已知：X1
～B，X2～B，所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，所以E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．点评：实际问题中的均值问题：(1)均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．(2)概率模型的解答步骤：①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．巩
固　食品安全已引起社会的高度关注，卫生监督部门加大了对食品质量检测，已知某种食品的合格率为0.9，现有8盒该种食品，质检部门对其逐一检测．则：(1)8盒中恰有4盒合格的概率(保留三位有效数字)是______________；(2)设检测合格的盒数为ξ，随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________________.解析：(1)P＝C×0.94×0.14≈4.59×10－3.(2)因为ξ～B(8,0.9)，所以E(ξ)＝8×0.9＝7.2.答案：(1)4.59×10－3　(2)7.2题型四　方差与标准差的计算例4　已知离散型随机变量X的概率分布列为：X1234567P求其方差与标准差．解析：∵E(X)＝1×＋2×＋…＋7×＝4；∴D(X)＝(1－4)2×＋(2－4)2×＋…＋(7－4)2×＝4.∴＝2.点评：充分应用离散型随机变量的标准差和方差的定义及性质来解题．在应用方差定义求解时，特别要注意，在(xi－E(X))2pi中，极易把(xi－E(X))2的平方漏掉，产生错误．巩
固　已知随机变量ξ的分布列为：ξ01xPp若E(ξ)＝.(1)求D(ξ)的值；(2)若η＝3ξ－2，求的值．解析：因为＋＋p＝1，所以p＝.又E(ξ)＝0×＋1×＋x×＝.所以x＝2.故(1)D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝＝.(2)因为η＝3ξ－2，所以D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)，所以＝＝.题型五　二项分布与两点分布的方差例5　为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差σ(ξ)为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解析：由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cnpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.(1)由E(ξ)＝np＝3，(σξ)2＝np(1－p)＝，得1－p＝，从而n＝6，p＝.所以ξ的分布列为：ξ0123456P(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ＞3)＝1－＝.所以需要补种沙柳的概率为.点评：直接利用二项分布和两点分布的方差公式求解．巩
固　一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B，所以E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××＝.(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1
200.题型六　均值与方差在实际问题中的应用例6　袋中有大小相同的小球6个，其中红球2个、黄球4个，规定取1个红球得2分，1个黄球得1分．从袋中任取3个小球，记所取3个小球的分数之和为X，求随机变量X的分布列、均值和方差．解析：由题意可知，X＝5,4,3.P(X＝5)＝＝；P(X＝4)＝＝；P(X＝3)＝＝.故X的分布列为：X543PE(X)＝5×＋4×＋3×＝4.D(X)＝(5－4)2×＋(4－4)2×＋(3－4)2×＝.点评：求离散型随机变量X的均值、方差的步骤：①理解X的意义，写出X的所有可能的取值；②求X取每一个值的概率；③写出随机变量X的分布列；④由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．巩
固　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的分布列、数学期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解析：(1)由题意，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝＝.故ξ的分布列为：ξ01234P所以，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＝11，E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1，及E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75，得2.75a2＝11,1.5a＋b＝1，解得a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4.（均值）A组1．分布列为　ξ－101P的期望值为(　　)A．0　
B．－1　
C．－　　
D.答案：C2．设ξ的分布列为：ξ1234P又设η＝2ξ＋5，则E(η)＝(　　)A.
B.
C.
D.答案：D3．设15
000件产品中有1
000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品的数学期望为(　　)A．20
B．10
C．5
D．15解析：废品率为，所以E(X)＝150×＝10.故选B.答案：BB组一、选择题1．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为(　　)A.
B.
C.
D.答案：A2．已知ξ～B，η～，且E(ξ)＝15，则E(η)等于(　　)A．5
B．10
C．15
D．20答案：B3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为(　　)A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8解析：因为E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，所以7.7＋3y＝8.9，所以y＝0.4.答案：B4．设离散型随机变量ξ可能取的值为1,2,3,4.P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝(　　)A.
B.
C.
D.答案：A　5．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最大号码，则E(ξ)值的是(　　)A．4
B．4.5
C．4.75
D．5答案：B二、填空题6．离散型随机变量的分布列为：
X012P则X的期望是________．解析：由数学期望的计算公式可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.答案：17．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望E(ξ)＝________.答案：8．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是________．答案：25三、解答题9.近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨。现由天气预报得知，某地在未来3天的指定时间的降雨概率是：前2天均为50%，后1天为80%.3天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．求不需要人工降雨的天数X的分布列和期望．解析：X的取值是0,1,2,3，其中3天不需要人工降雨的概率是：P(X＝3)＝2＝，2天不需要人工降雨的概率是：P(X＝2)＝2×＋＋＝＋＝，1天不需要人工降雨的概率是：P(X＝1)＝＋＋2＝＝，0天不需要人工降雨的概率是：P(X＝0)＝2×＝，不需要人工降雨的天数X分布列是X0123P不需要人工降雨的天数X的期望是：E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8.10．甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响．(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率；(2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布列和数学期望．解析：(1)设“甲至多命中1个球”为事件A，“乙至少命中1个球”为事件B，由题意得，P(A)＝4＋C13＝＋＝，P(B)＝1－4＝1－＝，所以甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝
.(2)乙所得分数η的可能取值为－4,0,4,8,12，则P(η＝－4)＝4＝，P(η＝0)＝C13＝，P(η＝4)＝C22＝，P(η＝8)＝C31＝，P(η＝12)＝4＝.得η分布列如下：η－404812PE(η)＝－4×＋0×＋4×＋8×＋12×＝.（方差）
A组1．下面关于离散型随机变量的数学期望与方差的叙述不正确的是(　　)A．数学期望反映随机变量取值的平均水平，方差反映随机变量取值的集中与离散的程度B．离散型随机变量的数学期望与方差都是一个数值，它们不随试验结果而变化C．离散型随机变量的数学期望是区间[0,1]上的一个数D．离散型随机变量的方差是非负的答案：C2．已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为(　　)A．100,0.8
B．20,0.4
C．10,0.2
D．10,0.8解析：由题意可得解得p＝0.2，n＝10，故选C.答案：C3．设掷一枚骰子的点数为X，则(　　)A．E(X)＝3.5，D(X)＝3.52B．E(X)＝3.5，D(X)＝C．E(X)＝3.5，D(X)＝3.5D．E(X)＝3.5，D(X)＝答案：BB组一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列为：P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)＝(　　)A．6
B．9
C．3
D．4答案：A2．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝p，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　)A．p
B．2p(1－p)C．－p(1－p)
D．p(1－p)答案：D3．随机变量X的分布列如下表：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是(　　)A.
B.
C.
D．1解析：因为a＋b＋c＝1,2b＝a＋c，所以b＝，a＋c＝，又因为E(X)＝，所以＝－a＋c，故a＝，c＝，所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.故选A.答案：A4．如果X是离散型随机变量，E(X)＝6，D(X)＝0.5，X1＝2X－5，那么E(X1)和D(X1)分别是(　　)A．E(X1)＝12，D(X1)＝1B．E(X1)＝7，D(X1)＝1C．E(X1)＝12，D(X1)＝2D．E(X1)＝7，D(X1)＝2解析：E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.答案：D5．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)A.
B.
C.
D．2解析：由题意知(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2，故选D.答案：D二、填空题6．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．解析：由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝np(1－p)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196.答案：0.1967．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：成功次数ξ～B(100，p)，所以D(ξ)＝100p(1－p)≤100×2＝25，当且仅当p＝1－p，即p＝时，成功次数的标准差最大，其最大值为5.答案：　58．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.X－1012Pabc解析：由题知a＋b＋c＝，－a＋c＋＝0,12×a＋12×c＋22×＝1，解得a＝，b＝.三、解答题9．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为ξ0123P0.30.30.20.2η012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平．解析：甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)>D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．10．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量/件0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商品不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．解析：(1)P(“当天商店不进货”)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为1件”)＝＋＝.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(“当天商品销售量为1件”)＝＝；P(X＝3)＝P(“当天商品销售量为0件”)＋P(“当天商品销售量为2件”)＋P(“当天商品销售量为3件”)＝＋＋＝.故X的分布列为：X23PX的数学期望为E(X)＝2×＋3×＝.
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