新人教A版高中数学必修第二册：正态分布

授课主题
正态分布
教学目标
1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2．了解变量落在区间(μ－s，μ＋s]，(μ－2s，μ＋2s]，(μ－3s，μ＋3s]的概率大小．3．会用正态分布去解决实际问题．
教学内容
正态分布如果函数为：φμ,σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中μ，σ(σ＞0)为参数，称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线．简称正态曲线．如果对于任何实数a，b
(a6；P(μ－2σ4；P(μ－3σ4.3σ原则：正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002
6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.X(μ－σ，μ＋σ)(μ－2σ，μ＋2σ)(μ－3σ，μ＋3σ)P68.26%95.44%99.74%图题型一　正态分布的相关概念
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例1　把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法中不正确的是(　　)A．曲线C2仍然是正态曲线B．曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的数学期望比以曲线C1为概率的密度曲线的总体的数学期望大2D．以曲线C2为概率的密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率的密度曲线的总体的方差大2解析：正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线．在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中，σ始终保持不变，所以曲线的最高点的纵坐标
(即正态密度函数的最大值)不变，方差σ2也没有变化．设曲线C1的对称轴为x＝μ，那么曲线C2的对称轴为x＝μ＋2，说明数学期望从μ变到了μ＋2，增大了2.答案：C点评：正态分布的概念较多，要把握住关键的几个方面：正态密度曲线的函数特征和图象特征，σ与μ的变化对正态曲线的影响，3σ原则的使用．
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巩
固　已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝e－，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X2)＝p，则P(0INCLUDEPICTURE
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例2　下图所示是一条正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．解析：由给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的数学期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.点评：利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象实质性的两点：一是对称轴x＝μ，另一个是最值.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相应的解析式．巩
固　如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，下面3个式子中，等于图中阴影部分面积的个数为[Φ(a)＝P(X≤a)](　　)①－Φ(－a)　②Φ(1－a)　③Φ(a)－
　A．0
B．1
C．2
D．3解析：因为Φ(－a)＝P(X≤－a)，所以图中阴影部分面积等于－P(X≤－a)＝－Φ(－a)，再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积等于P(X≤a)－＝Φ(a)－，故正确的个数为①③两个．故选C.答案：C题型三　应用正态分布曲线求概率
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例3　在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．分析：由ξ～N(1，σ2)可知，密度函数关于x＝1对称，从而ξ在(0,1)内取值的概率就等于(1,2)内的概率．解析：由ξ～N(1，σ2)，得ξ落在(0,1)及(1,2)内取值的概率相同，均为0.4，如下图所示，故ξ落在(0,2)内取值的概率为P(0＜ξ＜1)＋P(1＜ξ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8.答案：0.8点评：解答此类题目的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化．在此过程中充分体现数形结合及化归(转化)的数学思想．巩
固　如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，且P(2≤X≤4)＝0.682
6，则P(x>4)＝__________.解析：因为X～N(μ，σ2)，E(X)＝3，D(X)＝1，故μ＝3，σ2＝1.又P(2≤X≤4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682
6，故P(X>4)＝＝0.158
7.答案：0.158
7题型四　正态分布在实际问题中的应用例4　一台机床生产一种尺寸为10
mm的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下(单位：mm)：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式．解析：依题意得μ＝(10.2＋10.1＋10＋9.8＋9.9＋10.3＋9.7＋10＋9.9＋10.1)＝10.σ2＝[(10.2－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.3－10)2＋(9.7－10)2＋(10－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2]＝0.03.即μ＝10，σ2＝0.03.所以η的概率密度函数为φ(x)＝.巩
固　某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50，102)，求他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率.解析：因为X～N(50,102)，所以μ＝50，σ＝10.所以P(30＜X≤70)＝P(50－2×10＜X≤50＋2×10)＝0.954
4.所以所求概率为0.954
4.例5　在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2
000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？解析：因为ξ～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954
4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954
4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682
6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率就是0.682
6.一共有2
000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2
000×0.682
6≈1
365人．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数表达式与正态曲线的关系，掌握函数表达式中参数的取值变化对曲线的影响．巩
固　已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954
4，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6，若μ＝4，σ＝1，则P(5＜X＜6)＝(　　)A．0.135
8
B．0.135
9C．0.271
6
D．0.271
8解析：P(5＜x＜6)＝P(μ＋σ＜X＜μ＋2σ)＝＝＝0.135
9.答案：BA组1．下面给出了三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)φμ，σ(x)＝e
，x∈(－∞，＋∞)；(2)φμ，σ(x)＝e
，x∈(－∞，＋∞)；(3)φμ，σ(x)＝e
，x∈(－∞，＋∞)．答案：(1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝.2．如图，曲线C1：f(x)＝
(x∈R)，曲线C2：φ(x)＝
(x∈R)，则(　　)A．μ1＜μ2B．曲线C1与x轴相交C．σ1＞σ2D．曲线C1、C2分别与x轴所夹的面积相等答案：D3．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为
(　　)A.
B.
C．5
D．3解析：因为随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，因为P(ξ<2a－3)＝p(ξ>a＋2)，所以2a－3与a＋2关于x＝3对称，所以2a－3＋a＋2＝6，所以3a＝7，所以a＝.故选A.答案：AB组一、选择题1．设随机变量X～N(1,52)，且P(X≤0)＝P(X>a－2)，则实数a的值为(　　)
A．4
B．6
C．8
D．10解析：由正态分布的性质可知P(X≤0)＝P(X≥2)，所以a－2＝2，所以a＝4，故选A.答案：A2．若f(x)＝
(x∈R)，则下列关于函数最值的判断中正确的是(　　)A．有最大值，也有最小值B．有最大值，无最小值C．无最大值，有最小值D．无最大值，也无最小值答案：B　3．正态总体N(0,1)中数值落在(－∞，－3)∪(3，＋∞)的概率为(　　)A．4.6%
B．0.002C．0.003
D．0.03%答案：C4．已知随机变量服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<0)＝0.2，则P(ξ>4)
(　　)A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2解析：因为随机变量服从正态分布N(2，σ2)，所以正态分布曲线关于ξ＝2对称，又ξ<0与ξ>4关于ξ＝2对称，且P(ξ<0)＝0.2，所以P(ξ>4)＝P(ξ<0)＝0.2，故选D.答案：D5．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X＜4)＝0.84，则P(X≤0)＝(　　)A．0.16
B．0.32
C．0.68
D．0.84答案：A二、填空题6.
一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10
000,4002)，则这批灯泡使用时间在(9
200,10
800]内的概率是________．解析：μ＝10
000，σ＝400，所以P(9
200800)＝P(10
000－2×400000＋2×400)＝0.954
4.答案：0.954
47．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)上的概率和落在区间(3,5)上的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．答案：18．设X～N(0,1)：①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；②P(X＜0)＝0.5；③若P(－1＜X＜1)＝0.683，则P(X＜－1)＝0.158
5；④若P(－2＜X＜2)＝0.954，则P(X＜2)＝0.977；⑤若P(－3＜X＜3)＝0.997，则P(X＜3)＝0.998
5.其中正确的有________(填序号)．答案：①②③④⑤三、解答题9．(1)随机变量X服从正态分布N(0，1)，如果P(X＜1)＝0.841
3，求P(－1＜X＜0)的值；(2)下图是正态分布N(0,1)的正态曲线图，已知P(X≤－a)＝m，求图中阴影部分的面积．(3)如图所示是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．解析：(1)法一　由对称性可知：P(－1＜X＜0)＝P(0＜X＜1)，而P(X＜1)＝0.841
3，P(X≤0)＝0.5，∴P(－1＜X＜0)＝P(X＜1)－P(X≤0)＝0.841
3－0.5＝0.341
3.法二　∵P(X＜1)＝0.841
3，∴P(X≥1)＝P(X≤－1)＝1－0.841
3＝0.158
7.P(－1＜X＜0)＝P(0＜X＜1)＝[1－P(X≥1)－P(X≤－1)]＝(1－2×0.158
7)＝0.341
3.(2)∵P(X≤－a)＝m，由正态曲线的对称性可知：P(X≥a)＝m，从而P(－a＜X＜a)＝1－P(X≤－a)－P(X≥a)＝1－2m，从而阴影部分的面积S＝P(－a＜X＜a)＝(1－2m)＝－m.(3)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.10．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝.(1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88
mm(不包括72
mm，包括88
mm)间的零件大约占总数的百分比．解析：(1)因为正态分布曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．所以正态分布关于直线x＝80对称，且在x＝80处达到峰值，所以μ＝80.又＝，所以σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为f(x)＝e－.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件的尺寸X位于区间(72,88]内的概率为0.682
6.故尺寸在72～88
mm(不包括72
mm，包括88
mm)间的零件大约占总数的68.26%.
1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于
（
）
A、4
B、5
C、4.5
D、4.75答案：C。解析：X的分布列为X345P0.10.30.6故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。2．下列函数是正态分布密度函数的是
（
）A．
B．C．
D．答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。3．正态总体为概率密度函数是
（
）A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数答案：B。解析：。4．已知正态总体落在区间的概率是0．5，那么相应的正态曲线在
时达到最高点。答案：0.2。解析：正态曲线关于直线对称，由题意知。5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为
；方差为
。答案：84；75.6。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，0.7），η=3X∴E(X)=40×0.7=28
V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E(η)=E(3X)=3E(X)=84
V(η)=V(3X)=9V(X)=75.66．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。解：X的分布列为X123P故，。7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由已知可得，故．　　有Y的取值可以是0，1，2.
甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是，
甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是，
甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是
所以；
甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是
所以，故
所以Y的分布列是Y123P
所以
Y的期望是E（Y）=。8．一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可能销售75万元.（1）求软件成功开发且成功在发布会上发布的概率.（2）求开发商盈利的最大期望值.答案：解：（1）设A=“软件开发成功”，B=“新闻发布会召开成功”
软件成功开发且成功在发布会上发布的概率是P(AB)=P(A)P(B)=0.72.
（2）不召开新闻发布会盈利的期望值是(万元)；
召开新闻发布会盈利的期望值是（万元）故开发商应该召开新闻发布会，且盈利的最大期望是24.8万元..
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